와이어에서 전자는 복잡한 방식으로 서로 반동하여 일어나고있는 일을 정확히 따를 방법이 없습니다.
그러나 지난 50 년 동안 수학자와 물리학 자들은이 운동의 블리자드가 우아한 통계적 패턴으로 정착한다는 것을 파악하기 시작했습니다. 전자 이동은 도체에서 하나의 통계적 모양과 절연체에서 다른 통계적 형태를 취합니다.
적어도 그것은 직감이었습니다. 지난 반세기 동안 수학자들은 수학적 모델을 찾고 있습니다. 그들은이 아름다운 통계 사진이 실제로 절대적으로 유지된다는 것을 증명하려고 노력했습니다.
그리고 지난 여름에 온라인으로 게시 된 논문에서, 수학자 트리오가 가장 가까이 왔습니다. 이 작업에서 뉴욕 대학교의 Paul Bourgade, Harvard University의 Horng-Tzer Yau 및 로스 앤젤레스 대학교의 Jun Yin은 자료가 전기를 수행한다는 것을 증명하는“Universality”라는 수학적 서명의 존재를 증명합니다.
.뉴저지 주 프린스턴의 고급 연구 연구소의 수학자 인 톰 스펜서 (Tom Spencer)는“그들이 보여주는 것은 수학적으로 획기적인 획기적인 것입니다…
이 논문은 유명한 물리학 자 Eugene Wigner가 1960 년대에 제시 한 양자 물리학에 대한 웅장한 비전의 최신 검증입니다. Wigner는 양자 상호 작용이 정확히 설명하기에는 너무 복잡하다는 것을 이해했지만, 이러한 상호 작용의 본질이 광범위한 통계적 스트로크에서 나타나기를 바랐다.
.이 새로운 작품은 Wigner조차도 놀랐을 정도로 그의 희망이 잘 견뎌 냈다는 것을 확립합니다.
보편적으로 이상한
겉보기에 고립되고 관련이없는 이벤트조차도 예측 가능한 통계 패턴에 속할 수 있습니다. 예를 들어 살인 행위를하십시오. 한 사람이 다른 사람을 죽이게하는 상황과 감정의 스튜는 각 범죄에 독특합니다. 그러나 도시 여름의 열기에서 범죄 통계를 관찰하는 사람은 다음 기관이 떨어질 때 높은 정확도로 예측할 수 있습니다.
.독립적 인 이벤트가 따를 수있는 다양한 유형의 통계 패턴이 있습니다. 모두의 가장 유명한 통계적 패턴은 정규 분포이며, 이는 벨 곡선의 모양을 취하고 광범위한 관련이없는 사건의 통계적 분포 (예 :인구의 인구 또는 SAT 점수)를 설명합니다. 데이터 세트에서 가장 큰 숫자의 상대 크기를 설명하는 Zipf의 법칙과 데이터 세트의 숫자의 첫 자릿수 분포를 특징 짓는 Benford의 법칙도 있습니다.
.1950 년대에 Wigner는 문제에 직면했으며이를 해결하기 위해 새로운 통계 패턴의 도움이 필요했습니다. 맨해튼 프로젝트를 시작하는 데 도움이 된 후 10 년이 넘게 우라늄 핵 내부의 수백 개의 입자 간의 상호 작용을 모델링하고 싶었습니다. 문제는 직접 다루기에는 너무 복잡했습니다.
“큰 핵은 복잡한 것입니다. 우리는 첫 번째 원칙에서 그것을 이해하는 방법을 모른다”고 Spencer는 말했다.
따라서 Wigner는 문제를 단순화했습니다. 그는 매핑하기 어려운 개별 입자 상호 작용을 무시하고 대신 전체 시스템의 평균 통계적 동작에 중점을 두었습니다.
.Wigner는 입자 상호 작용 방식을 지정하는 숫자의 그리드를 사용 하여이 그림을 구현했습니다. 이 그리드는 매트릭스라고합니다. 그것은 아 원자 입자의 거동을 설명하는 데 사용되는 방정식 인 Schrödinger 방정식의 기술적 부록과 같습니다. 매트릭스의 숫자를 정확하게 지정하면 상호 작용을 정확하게 지정합니다.
Wigner는 그렇게 할 수 없었기 때문에 대신 행렬을 임의의 숫자로 채웠습니다. 그는이 단순화가 그의 계산을 진행할 수 있기를 바랐으며, 마지막에 우라늄 핵에 대한 유용한 설명을 만들어 냈습니다.
.그 일. Wigner는 자신의 "무작위"매트릭스에서 패턴을 추출 할 수 있음을 발견했습니다. 패턴에는 eigenValues라는 숫자의 두 번째 층이 포함되었으며, 이는 매트릭스의 DNA와 같습니다. 당황스럽게도 그의 임의의 매트릭스는 고유 한 값을 상관시켰다. 숫자 라인에서 고유 값은 다소 규칙적인 간격을 나타내는 것처럼 보였습니다. 마치 마치 마치 마치 마치 마치 서로를 짝수로 밀어 붙였습니다. 결과 분포는 이제 종종 Wigner-Dyson-Mehta 분포라고합니다 (발견에 기여한 3 명의 물리학 자 후). 그것은 Universality라는 현상을 설명합니다.
보편적 인 느낌을 얻으려면 키가 큰 사람들을 고려하십시오. 현실 세계에서는 타임 스퀘어의 군중에서 한 번에 두 사람을 뽑기 시작했다면, 거의 같은 높이를 가진 사람들을 찾을 수있는 합리적인 기회가 있습니다. 그러나 인구의 높이가 Wigner-Dyson-Mehta 분포를 따랐다면 무작위로 선택된 두 사람이 비슷한 높이를 가질 것으로 기대하지 않을 것입니다. 높이는 첫 번째 사람의 키가 항상 두 번째 사람과 다르기 때문에 상관 관계가 있습니다.
보편성은 눈사태의 빈도와 크기, 분산 된 대중 교통 시스템에서의 버스 타이밍, 심지어 닭의 망막에서 세포의 간격과 같은 여러 가지 종류를 설명합니다. 일반적으로 복잡한 상관 시스템과 관련이 있습니다.
우라늄 핵을 모델링 한 Wigner의 경험은 임의의 행렬이 입자가 서로 상관되는 양자 시스템을 설명 할 수 있어야한다는 가설을 세웠습니다 (모든 입자가 다른 입자에 영향을 미친다는 의미). Yau는“Wigner의 위대한 비전은 양자 시스템을 취할 수 있다고 믿었고, 상관 관계가 높으면 [EigenValue 분포]가 무작위 행렬과 유사 할 것입니다.
(나중에 연구원들은 그림의 플립 측면을 분명히 밝혔습니다. 그들은 물리적 시스템의 입자가 절연체에서와 같이 상관되지 않은 방식으로 움직일 때 고유 값이 정규 분포와 관련된“포아송”분포에 속해야한다고 추측했습니다.)
.재료가 수행 될 때, 전자가 순서대로 상호 작용하는 방식으로 상호 작용하기 때문에, 마치 전류를 운반하는 마치 마치 마치 마치 마치 마치 마치 마치 전류를 운반하는 것처럼 서로 이동하기 때문입니다. 따라서 Wigner의 추측은 양자 시스템의 고유 값이 보편성을 나타내는 경우 시스템 내의 입자가 상관 관계가있는 방식으로 상호 작용하고 시스템이 도체라는 것을 증명할 것입니다.
.수학자와 물리학 자들은 거의 즉시 그의 비전에 대한 세부 사항을 채우기 시작했지만, 수학자들은 실제 환경에서 지휘자의 통계에 대한 사실을 증명하기 위해 반세기가 걸릴 것입니다.
.단순성이 깨진
수학자들이 물리적 시스템 모델을 만들 때, 그들은 그 모델이 가능한 한 현실적이기를 원합니다. 우라늄 핵에 대한 Wigner의 모델은 어떤 의미에서 도체에 대한 현실적인 모델이 아니 었습니다. 모든 입자가 다른 모든 입자와 똑같이 상호 작용할 가능성이 있다는 가정을 포함했습니다. 이 모델은 재료에서 더 가까운 입자가 더 멀리 떨어져있는 입자보다 상호 작용할 가능성이 높다는 사실에 대한 허용되지 않았다. Spencer는“그의 시스템의 입자는 모두 핵이라고 불리는이 작은 영역에 단단히 제한되어 있기 때문에 모든 사람은 다른 모든 사람과 상호 작용하며 Wigner는 공간 구조를 고려하지 않았습니다.
입자 사이의 거리를 고려하지 않는 물리적 모델을 "평균 필드"모델이라고합니다. 그들은 함께 일하기가 더 간단하지만 물리적 세계와 더 잘 연결되어 있습니다.
“기하학적 고려 사항은 없습니다. 우리는 당신의 매체의 모든 원자가 같은 방식으로 모든 사람과 상호 작용한다는 큰 단순화를합니다.”라고 Bourgade는 말했습니다.
10 년 전에 출판 된 두 논문에서, 수학자들은 자료를 수행하기위한 고유 값이 Wigner의 보편적 패턴을 따른다는 것을 증명했지만 증거는 평균 필드 모델에만 적용됩니다. 이로 인해 보편적 인 고유 값을 입증하는보다 육체적으로 관련된 사례는 평범한 필드 모델에서 발생하며 입자가 주변의 입자와 만 상호 작용할 수 있습니다.
.이 새로운 논문은 거의 모든 길을 얻습니다. 세 저자는 입자가 즉각적인 이웃보다 더 많은 입자와 상호 작용하는 모델과 함께 작동하지만 시스템의 모든 입자와는 다릅니다. 이러한 상호 작용을 설명하는 행렬을 랜덤 대역 행렬이라고합니다 (상호 작용이 발생하는 각 입자 주위의 영역을 언급하는 "밴드"). Yau는“밴드 매트릭스는 이웃과 만 대화하는 특정 구조를 가지고 있으며 상호 작용은 그리 멀지 않습니다.
저자는 밴드가 특정 최소 너비 인 특정 임의의 대역 행렬에서 고유 값이 여전히 평균 필드 행렬에서 관찰 된 분포를 따른다는 것을 증명했습니다. 이것은 전자가 이웃의 다른 입자와 만 상호 작용하도록 제한하더라도 전체 물리 시스템은 여전히 더 많은 분쇄 프레임 워크에서 발견 된 Wigner가 발견 한 동일한 유형의 평균 통계적 행동 (고유 값의 분포)을 유지한다는 것을 의미합니다.
.Bourgade는“우리는 임의의 대역 매트릭스 모델의 경우 고유 값이 서로를 다시 펄럭 이었다는 것을 증명했습니다. 이는 전도를 의미합니다. Bourgade, Yin 및 Yau는이 작품을 전임이 아닌 사례로 확장하여 전도와 수학적 표현 사이의 관계를 징계하고 싶습니다. Wigner가 처음으로 분포 된 고유 값을 발견했을 때 불가능 해 보일 수있는 타이트한 정렬입니다. 이제 피할 수 없다고 느끼기 시작했습니다.
Bourgade는 이메일로 썼다.
