이것은 기본적이지만 벡터와의 협력에 대한 소개를 소개하지만 희망적으로 상당히 포괄적입니다. 벡터는 변위, 속도 및 가속도에서 힘과 들판에 이르기까지 다양한 방식으로 나타납니다. 이 기사는 벡터의 수학에 전념합니다. 특정 상황에서의 응용 프로그램은 다른 곳에서 해결 될 것입니다.
벡터 및 스칼라
A 벡터 수량 , 또는 벡터 , 크기뿐만 아니라 수량의 방향에 대한 정보를 제공합니다. 집으로 지시를 내릴 때 10 마일 떨어진 곳에 있다고 말하는 것만으로는 충분하지 않지만 정보가 유용하려면 10 마일의 방향에도 제공되어야합니다. 벡터 인 변수는 변수 위의 작은 화살표로 표시되는 벡터를 보는 것이 일반적이지만 굵은 표면 변수로 표시됩니다.
우리가 다른 집이 -10 마일 떨어져 있다고 말하지 않는 것처럼, 벡터의 크기는 항상 양수 또는 오히려 벡터의 "길이"의 절대 값입니다 (수량은 길이가 아닐 수 있지만 속도, 가속, 힘 등) 벡터 앞의 음성은 벡터의 방향에 대한 변화를 나타내지 않을 수 있습니다.
.위의 예에서, 거리는 스칼라 양 (10 마일)이지만 변위 입니다. 벡터 수량 (북동쪽에서 10 마일)입니다. 마찬가지로 속도는 스칼라 수량이고 속도는 벡터 수량입니다.
단위 벡터 크기가 1 인 벡터입니다. 단위 벡터를 나타내는 벡터는 일반적으로 대담하지만 캐럿이 있습니다 (^ ) 변수의 단위 특성을 나타 내기 위해. 장치 벡터 x 캐럿으로 작성된 경우 캐럿은 변수의 모자처럼 보이기 때문에 일반적으로 "x-hat"으로 읽습니다.
제로 벡터 , 또는 null 벡터 , 크기는 0 인 벡터입니다. 0 로 작성되었습니다 이 기사에서.
벡터 구성 요소
벡터는 일반적으로 좌표계에 배향되며, 가장 인기있는 것은 2 차원 직교 평면입니다. 데카르트 평면에는 수평 축이 있으며 x로 표시되고 y라는 수직 축이 있습니다. 물리학에서 벡터의 일부 고급 응용은 축이 X, Y 및 Z 인 3 차원 공간을 사용해야합니다. 이 기사는 주로 2 차원 시스템을 다루지 만 개념은 너무 많은 문제없이 3 차원으로 약간의주의를 기울여 확장 될 수 있습니다.
.다중 차원 좌표 시스템의 벡터는 구성 요소 벡터로 분해 될 수 있습니다 . 2 차원의 경우, 이는 x-component 을 초래합니다 및 a y-component . 벡터를 구성 요소로 분해 할 때 벡터는 구성 요소의 합입니다.
f = f x + f y
theta f x f y f
f x / f =cos theta 및 f y / f =sin theta 우리에게
f x 를 제공합니다 = f cos theta 및 f y = f sin theta
여기의 숫자는 벡터의 크기입니다. 우리는 구성 요소의 방향을 알고 있지만 크기를 찾으려고 노력하고 있으므로 방향 정보를 제거하고 이러한 스칼라 계산을 수행하여 크기를 파악합니다. 삼각법의 추가 적용은 이러한 수량 중 일부 사이에 관련된 다른 관계 (예 :접선)를 찾는 데 사용될 수 있지만 지금은 충분하다고 생각합니다.
수년 동안, 학생이 배우는 유일한 수학은 스칼라 수학입니다. 북쪽으로 5 마일, 동쪽으로 5 마일을 여행하면 10 마일을 여행했습니다. 스칼라 수량을 추가하면 방향에 대한 모든 정보가 무시됩니다.
벡터는 다소 다르게 조작됩니다. 방향은 항상 조작 할 때 항상 고려해야합니다.
구성 요소 추가
두 개의 벡터를 추가하면 벡터를 가져 와서 끝까지 배치하고 시작점에서 끝점까지 실행되는 새 벡터를 만든 것처럼 보입니다. 벡터가 동일한 방향을 갖는 경우, 이것은 크기를 추가하는 것을 의미하지만 방향이 다른 경우 더 복잡해 질 수 있습니다.
.벡터를 구성 요소로 나누고 다음과 같이 구성 요소를 추가하여 벡터를 추가합니다.
a + b = c
ax + a y + b x + b y =
( a x + b x ) + ( a y + b y ) = c x + c y
두 개의 X- 구성 요소는 새로운 변수의 X- 성분을 초래하는 반면, 두 개의 y 구성 요소는 새로운 변수의 y 구성 요소를 초래합니다.
벡터 첨가의 특성
벡터를 추가하는 순서는 중요하지 않습니다. 실제로 벡터 첨가를위한 스칼라 첨가물의 여러 속성 :
벡터 첨가의 ID 속성
a + 0 = a
벡터 첨가의 역 특성
a + - a = a - a = 0
벡터 첨가의 반사 특성
a = a
벡터 첨가의 정류 특성
a + b = b + a
벡터 첨가의 연관 속성
( a + b ) + C = a + ( b + C )
벡터 첨가의 전이 특성
a 인 경우 = b 및 C = b , 그런 다음 a = C
벡터에서 수행 할 수있는 가장 간단한 작업은 스칼라를 곱하는 것입니다. 이 스칼라 곱셈은 벡터의 크기를 변경합니다. 다시 말해, 벡터를 더 길거나 짧게 만듭니다.
음성 스칼라를 곱하면 결과 벡터가 반대 방향을 가리 킵니다.
스칼라 제품 두 벡터 중 스칼라 양을 얻기 위해 함께 곱할 수있는 방법입니다. 이것은 두 벡터의 곱셈으로 기록되며 중간에는 점수가 곱셈을 나타냅니다. 따라서 종종 도트 제품 이라고합니다 두 벡터의
두 벡터의 도트 생성물을 계산하려면 그 사이의 각도를 고려합니다. 다시 말해, 동일한 출발점을 공유한다면 각도 측정 ( theta ) 그들 사이. 도트 제품은 다음과 같이 정의됩니다.
a * b = ab cos theta
ab Abba
벡터가 수직 인 경우 (또는 theta =90도), cos theta 0이됩니다. 따라서 수직 벡터의 도트 곱은 항상 0입니다 . 벡터가 평행 할 때 (또는 theta =0도), cos theta 1 is 1, 그래서 스칼라 제품은 크기의 산물 일뿐입니다.
이러한 깔끔한 작은 사실은 구성 요소를 알고 있다면 (2 차원) 방정식과 전적으로 theta의 필요성을 제거 할 수 있음을 증명할 수 있습니다.
.a * b = a x b x + a y b y
벡터 제품 a 형식으로 작성되었습니다 x b , 일반적으로 Cross Product 이라고합니다 두 벡터의. 이 경우, 우리는 벡터를 곱하고 스칼라 양을 얻는 대신 벡터 수량을 얻게됩니다. 이것은 이기 때문에 우리가 다룰 벡터 계산 중 가장 까다로운 것입니다. 정류 및 끔찍한 오른쪽 규칙의 사용을 포함합니다 , 곧 갈 것입니다.
크기 계산
다시 말하지만, 우리는 같은 지점에서 그려진 두 개의 벡터를 고려하며, 각도 theta 그들 사이. 우리는 항상 가장 작은 각도를 취합니다. 그래서 theta 항상 0에서 180 사이의 범위에 있으므로 결과는 결코 부정적이지 않습니다. 결과 벡터의 크기는 다음과 같이 결정됩니다.
if c = a x b , 그런 다음 c = ab sin theta
평행 (또는 반 파설) 벡터의 벡터 생성물은 항상 0입니다
벡터의 방향
벡터 생성물은이 두 벡터에서 생성 된 평면에 수직입니다. 평면을 테이블에 평평하게 묘사하면 결과 벡터가 올라가거나 (우리의 관점에서, 우리의 관점에서 우리의 "아웃") 또는 아래로 (또는 "테이블에", 우리의 관점에서 "
.두려운 오른손 규칙
이것을 알아 내리려면 오른쪽 규칙 라는 것을 적용해야합니다. . 학교에서 물리학을 공부했을 때 나는 을 혐오했다 오른쪽 규칙. 내가 그것을 사용할 때마다 책을 꺼내서 어떻게 작동했는지 찾아야했습니다. 바라건대 내 설명은 내가 소개 한 것보다 조금 더 직관적이기를 바랍니다.
a 가있는 경우 x b b 의 길이를 따라 오른손을 배치합니다. 손가락 (엄지 손가락 제외)이 a 를 따라 가리키기 위해 구부릴 수 있습니다. . 다시 말해, 당신은 일종의 각도를 만들려고 노력하고 있습니다. 손바닥과 오른손의 네 손가락 사이. 이 경우 엄지가 똑바로 튀어 나옵니다 (또는 화면에서 컴퓨터까지 시도하는 경우). 너클은 두 벡터의 출발점과 대략 줄을 서게됩니다. 정밀도는 필수적이지 않지만 제공 할 사진이 없기 때문에 아이디어를 얻기를 원합니다.
그러나 b 을 고려하고 있다면 x a , 당신은 반대를 할 것입니다. a 을 따라 오른손을 넣을 것입니다 b 을 따라 손가락을 가리 킵니다 . 컴퓨터 화면 에서이 작업을 수행하려는 경우 불가능하다는 것을 알게되므로 상상력을 사용하십시오. 이 경우 상상의 엄지 손가락이 컴퓨터 화면을 가리키고 있음을 알 수 있습니다. 이것이 결과 벡터의 방향입니다.
오른쪽 규칙은 다음과 같은 관계를 보여줍니다.
a x b =- b x a
CABC
c x = a y b z - a z b y
c y = a z b x - a x b z
c z = a x b y - a y b x
ab c x c y C
최종 단어
더 높은 수준에서 벡터는 작업하기가 매우 복잡해 질 수 있습니다. 선형 대수와 같은 대학의 전체 과정은 매트릭스 (이 소개에서 친절하게 피한), 벡터 및 벡터 공간 에 많은 시간을 투자합니다. . 이러한 세부 수준은이 기사의 범위를 벗어나지 만 물리 교실에서 수행되는 대부분의 벡터 조작에 필요한 기초를 제공해야합니다. 물리학을 더 깊이 공부하려고한다면 교육을 진행할 때 더 복잡한 벡터 개념을 소개 할 것입니다.
