표현 대체

발현 치환은 매우 복잡한 기능을 한도 형태로 변환해야 할 때 유용합니다. 우리는 역 삼각형 함수, 기능의 분화, 때로는 함수의 통합에서 표현 대체를 사용할 수 있습니다. 기능과 관련된 표현을 찾으면 먼저 올바른 대체를 한 다음 진행해야합니다. 그러한 표현이 발견되지 않으면 대체없이 수학적 작업을 수행 할 수도 있습니다.

발현 치환 :

다음은 수학 표현을 단순화하고 차별화 및 통합 프로세스를보다 쉽게 ​​만드는 데 가장 유용한 대체물 중 일부입니다.

x =asinθ 또는 x =acosθ는 함수 f (a2 -x2)

x =a secθ 또는 x =acosecθ는 함수 f (x2 -a2)

x =atanθ 또는 x =acotθ는 함수 f (x2+a2)에 사용됩니다. f (a2+x2)

x =cos2θ는 함수 f (a-xa+x), f (a+xa-x)

x =atan θ는 함수 f (a-xa+x), f (a+xa-x)

x =atan θ는 함수 f (2 × 1+x2), f2x1-x2

a =rcosα, b =rsinα는 함수 f (x) =acosx + bcosx

x =a sin2 θ + b cos2 θ는 함수 f (x) =x -α 또는 ꞵ -x

x =a (1 - cos θ)는 함수 f (2ax -x2)

대체에 의한 통합 :

대수 기능이 표준 형식에 있지 않기 때문에 주어진 함수의 통합을 직접 수행 할 수없는 경우 치환에 의한 통합이 사용됩니다. 또한, 제공된 기능은 적절하게 대체함으로써 표준 형태로 감소 될 수있다. 

평가를 위해 함수 f (x)의 무기한 적분 ∫f (x) .dx를 고려하십시오. x를 G (t)로 교체하고 대체 함으로써이 적분은 다음과 같이 다른 형태로 변경 될 수 있습니다.

x =g (t).

i =∫f (x) .dx

x =g (t) 여기서 dx/dt =g '(t)

dx =g '(t) .dt

i =∫f (x) .dx =∫f (g (t)). g '(t) .dt

치환 무기한 통합 수행 :

아래 지침은 대체에 의한 통합 접근법을 완료하는 데 도움이됩니다.

1 단계 :주어진 함수가 줄어들려면 새 변수 t.

2 :여기서 f (x)는 x와 관련하여 통합되어 주어진 적분에 대한 dx 값을 찾으십시오.

3 단계 :기능 f (x)와 새로운 값 dx.

4 단계 :대체에서 얻은 함수를 통합합니다.

5 단계 :최종 솔루션을 얻으려면 최종 답변에서 원래 변수 X를 교체하십시오.

여기서 수행 된 방법

를 찾으려면 i =∫f (x) dx

dxdt =g '(t) dx =g'(t) dt

치환 값 i =∫f (x) dx =∫f (g (t)) g '(t) dt

다른 방식으로 이것을 이해하도록 도와 드리겠습니다.

미분의 체인 규칙은 적분 대체에 해당합니다.

f (u)를 f (u)의 방해로 취득합니다.

∫f (u) du =f (u)+c

Take u =u (x)는 차별화 가능한 함수이며 체인 규칙이 적용됩니다

ddx∫f (u (x)) =f '(u (x)) u'(x) =f (u (x)) u '(x)

양측 통합

∫f (u (x)) u '(x) dx =f (u (x))+c

∫f (u (x)) u '(x) dx =∫f (u) du, 여기서 u =u (x)

표현 치환과 관련된 수치 :

1. ∫etan-1 × 1+x2dx

솔루션 :표현식은 다음과 같습니다

tan-1x =t를 가져 와서 구별하십시오 :ddxtan-1x =dtdx

11+x2 =dtdx

dx =(1+x2) dt

값을 대체합니다 :

∫etan-1 × 1+x2dx =∫et (1+x2) 1+x2dt =∫etdt =et+c =etan-1x+c

2xsec2 (x2+1)의 적분을 찾아 봅시다

표현식은 다음과 같습니다. ∫2xsec2 (x2+1) dx

x2+1 =t를 가져 와서 구별 :ddx (x2+1) =dtdx

2x =dtdxdx =dt2x

값을 대체합니다 :

∫2xsec2 (x2+1) dx =∫2xsec2 (x2+1) dt2x =∫sec2tdt =tant+c =tan (x2+1)+c

결론 :

치환은 하나의 변수를 다른 변수로 표현하여 방정식에서 하나의 변수를 제거함으로써 방정식 시스템을 단순화하는 기술입니다. 그런 다음이 방정식을 계산하고 솔루션을 찾을 때까지 교체하십시오. 표현 대체는 단일 변수로 방정식을 다시 작성하여 방정식을 단순화하는 것을 목표로합니다. 여기서 기억해야 할 중요한 점은 당신이 끊임없이 동등한 값을 대체하고 있다는 것입니다.