Lagrange의 운동 방정식은 입자 시스템의 운동을 설명하는 2 차 미분 방정식 세트입니다. 그것들은 최소 행동의 원칙에서 파생되며, 이는 두 지점 사이의 시스템에 의해 취한 실제 경로가 행동 적분을 최소화하는 경로임을 나타냅니다.
동작 적분은 시간이 지남에 따라 Lagrangian의 적분으로 정의됩니다.
$$ s =\ int_ {t_1}^{t_2} l (q_i, \ dot {q_i}, t) dt $$
$ q_i $는 시스템의 일반화 된 좌표이며 $ \ dot {q_i} $는 시간 파생 상품이며 $ l $는 Lagrangian입니다. Lagrangian은 일반화 된 좌표, 시간 파생 상품 및 시간의 기능입니다.
최소 조치의 원리는 두 지점 사이의 시스템에 의해 취한 실제 경로가 동작 적분을 최소화하는 경로라고 명시하고 있습니다. 이것은 수학적으로 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.
$$ \ delta s =0 $$
여기서 $ \ delta s $는 동작이 적분의 변형입니다.
Lagrange의 운동 방정식은 변형의 미적분을 사용하여 최소 작용의 원리에서 파생 될 수 있습니다. 변형의 미적분학은 기능을 최소화하거나 최대화하는 기능을 찾는 것을 다루는 수학의 분야입니다.
동작 적분을 최소화하는 기능을 찾으려면 동작 적분의 변형을 찾아 0으로 설정해야합니다. 조치 적분의 변형은 다음과 같이 주어집니다.
$$ \ delta s =\ int_ {t_1}^{t_2} \ left (\ frac {\ partial l} {\ partial q_i} \ delta q_i + \ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {q_i}} \ dot \ dot {q_i} + delta \ frac {\ partial l} {\ partial t} \ delta t \ right) dt $$
여기서 $ \ delta q_i $, $ \ delta \ dot {q_i} $ 및 $ \ delta t $는 일반화 된 좌표, 시간 파생 상품 및 시간의 변형입니다.
동작의 변형을 0과 동일하게 설정하면 다음을 얻습니다.
$$ \ frac {\ partial l} {\ partial q_i} =\ frac {dt} \ left (\ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {q_i}} \ right) $$
이것들은 Lagrange의 운동 방정식입니다. 그것들은 입자 시스템의 운동을 설명하는 일련의 2 차 미분 방정식입니다.
예 :
1 차원 전위 $ V (x) $로 이동하는 질량 $ m $의 입자를 고려하십시오. 이 시스템의 Lagrangian은 다음과 같습니다.
$$ l =\ frac {1} {2} m \ dot {x}^2 -V (x) $$
이 시스템의 일반화 된 좌표는 $ x $이며 시간 파생물은 $ \ dot {x} $입니다. Lagrangian은 $ x $, $ \ dot {x} $ 및 $ t $의 함수입니다.
이 시스템에 대한 Lagrange의 운동 방정식은 다음과 같습니다.
$$ \ frac {\ partial l} {\ partial x} =\ frac {dt} \ left (\ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {x}} $$
Lagrangian을이 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
$$- \ frac {\ partial v} {\ partial x} =m \ frac {d^2 x} {dt^2} $$
이것은 1 차원 전위 $ v (x) $로 이동하는 질량 $ m $의 입자에 대한 Newton의 제 2 법칙입니다.
