세계에서 가장 큰 미해결 수학적 문제 중 하나가 마침내 이겼습니다. Caltech의 양자 정보 및 물질 연구소 (IQIM)의 양자 물리학자인 Spiros Michalakis와 Microsoft의 연구원 인 Matthew Hastings는 이제“양자 홀 효과”와 관련된 수학적 문제를 확실하게 해결 한 것으로 인정 받았습니다.
수학적 문제는 1999 년 프린스턴 물리학자인 마이클 아이젠 만 (Michael Aizenman)이 처음 제안한 13 개의 미해결 물리학 문제 중 하나입니다. 현재까지, 이것은 13 가지 문제 중 첫 번째 문제 중 하나입니다.
2015 년에 처음 출판되었지만 Michalakis와 Hastings가 제시 한 조밀 한 40 페이지의 긴 수학적 증거는 수학 커뮤니티에 의해 소화되는 데 시간이 걸렸습니다. 2018 년 4 월 뉴스 레터에서 국제 수학 물리학 협회 (IAMP)는 공식적으로 해결 된 문제를 발표했습니다. 이 솔루션은 물리의 영역에서 수학 이론의 힘과 우아함을 극적으로 보여주기 때문에 중요합니다. 물리학은 극도로 수학적이고 추상적 인 징계로 유명하며 물리학의 많은 발전은 순수한 수학의 영역에서 나왔습니다. Michalakis는이 발견이“수학 물리학 분야에 대한 관심을 불러 일으키기를 희망합니다.”
Quantum Hall 효과 :이상한 전자 행동
원래의 홀 효과는 1879 년 미국 물리학 자 Edwin Hall에 의해 처음 설명되었습니다. 홀은 도체 전류의 수직 인 벡터를 갖는 자기장을 도입했을 때 전기 도체를 가로 질러 전압이 생성된다는 것을 알아 차렸다. 이 효과에 대한 설명은 자기장이 전자의 직선 경로를 편향시켜 전도성 표면의 한쪽에 불균형 적으로 축적되어 전류의 흐름으로 도체를 가로 질러 전압을 생성한다는 것입니다. 원래의 홀 효과의 발견은 전기 전류가 양성자가 아닌 전자의 움직임에서 구성되었다는 첫 번째 실제 증거를 제공했기 때문에 주목할 만하다.
1980 년대 독일 물리학 자 클라우스 폰 클리징 (Klaus von Klitzing)의 실험은 흥미로운 것을 발견했습니다. 효과를 설명하는 홀의 원래 방정식은 홀 재료의 전기 컨덕턴스가 자기장의 강도에 비례하여 비례 적으로 증가 할 것이라고 예측했습니다. 그러나 Von Klitzing은 매우 낮은 온도에서 전기 컨덕턴스가 이었다는 것을 발견했습니다. 자기장의 크기와 관련하여 선형으로 증가합니다. 대신, 전기 컨덕턴스는 단계별 방식으로 증가하여 다른 정수 값을 취했습니다. Von Klitzing은 특정 열역학적 한계 하에서 홀 도체의 전기 전도도가 전류의 전자 밀도에 관계없이 개별 양자화 된 값을 취할 것임을 관찰했다. Hasting은 다음과 같이 지적한 것처럼이 발견은 이상합니다.“이러한 불순물은 재료에 무작위로 분포되어있어 컨덕턴스에 무작위로 영향을 미칠 것이라고 생각할 수 있습니다.”
.고전적인 물리학은 문제를보다 일반적인 용어로 배치하기 위해 전기 컨덕턴스가 지속적으로 증가하거나 감소해야한다고 예측합니다. Von Litzing은 반대로 전기 전도도가 전류의 전자 밀도에 관계없이 안정적인 개별 값을 취할 것이라고 밝혔다. 문제는 물리학 자에게 눈에 띄는 것입니다. 다른 한편으로, 전기 전류는 각각 고유 한 역학과 특성을 가진 여러 독립적 인 엔티티로 구성된다는 것이 상식과 받아 들여진 이론이다. 듀오에 의해 해결 된 주요 수학적 문제는 이러한 견해 사이의 간격을 브리지하는 방법과 변동하는 양의 전자가 어떻게 von klitzing이 관찰 한 안정적이고 강력한 전도도 값을 나타낼 수 있는지 설명하는 것이 었습니다.
.용액
솔루션의 핵심은 토폴로지에서 발견되었으며, 기하학적 표면의 수학적 특성을 설명하는 데 전념하는 필드입니다. 토폴로지가 연구하는 것 중 하나는 "토폴로지 불일치"로 알려진 것입니다. 그러한 표면의 특정 변화에서 변하지 않는 기하학적 표면의 특성입니다. 증거에 대한 주요 통찰력은 양자 홀 효과에서 비슷한 일이 일어나고 있다는 것입니다. 재료의 전기 전도도는 해당 재료의 전자 밀도의 변화와 관련하여 변하지 않습니다.
전기 공학의 일반적인 최대 값은“전기가 최소 저항의 경로를 따른다”는 것입니다. 본질적으로 전류가 가장 쉬운 경로를 찾을 것입니다. 본질적으로, Michalakis와 Hastings는 양자 홀 시스템이 주변의 전자 수에 관계없이 특정 규모 (즉, 양자 규모) 전자에 따라 특정 규모 (즉, 양자 규모) 전자가 항상 따르는 특징적인 "경로"를 가지고 있음을 증명했습니다.
.이 점을 설명하기 위해 우주에서 지구를 관찰하고 있다고 상상해보십시오. 그 수준의 해상도에서, 지구는 매끄럽고 상대적으로 방해받지 않는 것으로 보인다. 물론, 더 가까워지면 산과 계곡과 같은 장애물이 길을 방해 할 수 있습니다. Michalakis와 Hastings가 수학적으로 증명 한 것은, 가능한 곡선 기하학적 표면에 대해서는 딥이나 피크를 발견하지 못하는 하나 이상의 평평한 "경로가 존재한다는 것이었다. 양자 홀 시스템의 표면 주위에있는 경로의 횟수는 그 표면의 홀 전도도와 정확히 동일합니다. 다시 말해서, 각 홀 도체의 표면에는 특정 열역학적 한계 하에서 모든 전자가 따라서 안정적인 정수 전도도 값으로 나타날 수있는 특권 "경로"가 있습니다. Hastings에 따르면,“불순물은 전 세계를 여행 할 때 '황금'길에서 가져 가기로 결정한 작은 우회와 같습니다. 그들은 당신이 전 세계를 몇 번이나 결정하기로 결정했는지에 영향을 미치지 않습니다.”
특별한 증거는 추상 수학 기술의 과학적 성실함을 다시 한 번 보여주기 때문에 중요합니다. 물리와 수학은 오랫동안 친밀한 관계를 공유해 왔으며, 어느 분야의 모든 진보에만 깊어지는 것처럼 보입니다. 사실, 이것은 정확히 Michalakis의 감정 인 것으로 보인다.“수학의 중요한 문제의 증거와 마찬가지로 종종 해결책은 새로운 아이디어와 기술로 이어지는 몇 가지 중요한 질문을 해결하기위한 문을 열어줍니다.” Michalakis는 또한 새로운 이해가 양자 컴퓨팅 및 초전도기와 같은 기타 양자 기술에서 가능한 연구 및 응용의 길을 열 수 있다고 주장합니다.
