수학적 커뮤니티에서는 대머리 반점을 남기지 않고도 고슴도치를 빗질 수 없다는 것이 잘 알려진 사실입니다. 놀랍게도,이 사소한 통찰력은 Poincare-Hopf의 기본 정리로 이어집니다. 이 정리는 결함이라고 불리는 몇 가지 유형의 대머리 반점이 있으며, 빗질 표면의 특성에 항상 요약 해야하는 토폴로지 전하가 부여되어 있습니다.
이 특성은 다시 표면을 분류하여 정확한 모양을 무시하고 구멍의 수와 치수에 따라 엄숙합니다. 예를 들어, 커피 머그는 하나의 구멍 (손잡이)이 있으므로 도넛과 동일한 토폴로지가 있습니다. 두 가지 특성은 0입니다. 또 다른 매우 큰 모양의 모양은 구멍을 포함하지 않는 3D 세계의 어떤 모양을 포함하여 특성은 2입니다.
.물리적 실험은 다양한 물리적 시스템 (예 :곡선 기판에서 자라는 결정은 도메인의 특성에 의해 결정적으로 영향을 받는다. 물리학 자들은 기하학적 좌절이라는 용어를 만들어 냈으며, 예를 들어, 정기적 인 결정 구조, 예를 들어, 전체 시스템 전체에서 전파 될 수 없다고 설명했다. 이러한 물리적 결함에 Poincare Hopf 정리의 개념도 적용될 수 있습니다.
물리학의 상호 작용과 도메인의 기하학적 특성에 대한 연구는 번성하는 생물학적 응용 물리학 분야에서 새로운 관심을 받았다. 예를 들어, 많은 생물학적 구조에서, 대사 과정은 캡슐화 막에 의해 제어된다. 포유 동물 세포 저장 및 소포라고하는 수송 구획은로드 형 입자로 구성된 에멀젼으로 덮여 있습니다. 이들 입자는 평행 한 경향이 있지만, 고도로 불규칙하지만 구체와 같은 형상의 기하학적 제약으로 인해 완전한 표면 전체에서 그러한 순서를 표현할 수 없으며 결함이 발생합니다. 이러한 소포의 생성 과정과 분해 과정을 조사하면 소포 표면의 결함 위치가 소포의 파괴가 트리거되는 중추적 인 지점임을 나타냅니다.
우리의 연구에서, 우리는 표면의 막대와 같은 입자로 구성된 일반 시스템에 중점을 둡니다. 이들의 순서는 모든 막대가 서로 평행하고 표면과 평행하게 정렬되는 원하는 접지 상태를 정의하는 자유 에너지에 의해 설명된다. 이 지상 상태로부터의 편차는 불가피하게 에너지 비용이 들도록 불이익을받습니다. 그러나 Poincare Hopf 정리 결함으로 인해 완전한 표면 전체에지면 상태가 확립 될 수 없도록 피할 수 없습니다. 우리의 연구의 한 가지 측면은 이러한 입자 시스템의 수치 시뮬레이션과 에너지 최소값에 대한 역학을위한 방법을 개발하는 것입니다. 이러한 방법으로, 우리는 신흥 결함 구성과 시스템의 지오메트리에 대한 의존성, 국부 곡률의 영향에 대한 의존성을 체계적으로 조사합니다. 이론적으로 그리고 실험에 의해 확립되어 토론 전하에 따라 결함이 일치하는 곡률이있는 지역에 의해 끌리는 것이 이루어졌다. 더욱
우리의 이론적 주장과 숫자 실험은 곡률이 결함에 대한 지역력을 유도하는 방법에 대한 통찰력을 제공합니다. 충분한 강력한 곡률을 위해,이 기하학적 힘은 매력을 능가하고 쌍별 결함 소멸을 억제합니다. 곡률을 더욱 증가 시키면 결함 쌍의 생성을 관찰합니다. 따라서 우리는 곡률의 국소 조절이 어떻게 Poincare Hopf 정리의 실현을 정의하여 비 인간 결함 구성을 가능하게하는지 입증 할 수있었습니다.
.이러한 측면 외에도, 우리는 부피 (3D)와 표면 (2D)의 입자 시스템에 대한 설명 사이의 간격을 연결하는 이론적 인 주장을 제공합니다. 사라지는 두께가있는 관형 부피로 표면을 고려하는 것을 고려하여 곡률이 최소 곡률 라인을 따라 전 세계적으로 선호되는 입자의 정렬을 유도하는 방법은 빛을 발산합니다. 무엇 보다도이 결과는 다음 논문에 나와 있습니다.
- m. Nestler, I. Nitschke, S. Praetorius, A. Voigt - 표면의 방향 순서 - 토폴로지, 기하학 및 역학의 결합
- i. Nitschke, M. Nestler, S. Praetorius, A. Voigt - 곡선 표면의 네마 틱 액정 - 박막 한계
이러한 결과는 표면에 대한 오리엔테이션 순서 :토폴로지, 지오메트리 및 역학이라는 저널 기사에 설명되어 있습니다. 이 작품은 Institut für Wissenschaftliches Rechnen, Technische Universität Dresden, Dresden, Germany의 Michael Nestler가 주도했습니다.
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