수학은 우리가 알고있는 것보다 환경 과학이 더 많을 수 있습니다. 비록 그것이 영원한 진실을 찾는 것이지만, 많은 수학적 개념은 그들의 기원을 일상적인 경험에 추적합니다. 점성술과 건축은 이집트인들과 바빌로니아 사람들에게 기하학을 개발하도록 영감을주었습니다. 17 세기의 과학 혁명 동안 역학에 대한 연구는 우리에게 미적분학을 가져 왔습니다.
놀랍게도, 양자 이론의 아이디어는 기본 입자를 다루는 일상적인 경험이 거의 없더라도 엄청난 수학적 힘을 전달하는 것으로 밝혀졌습니다. 기괴한 양자 이론의 세계는 동시에 두 곳에있는 것처럼 보일 수 있고 확률의 법칙에 영향을받는 것보다 앞서있는 것보다 자연에 대한보다 근본적인 설명을 나타내는 것뿐만 아니라 현대 수학에 대한 풍부한 맥락을 제공합니다. 양자 이론의 논리적 구조는 한 번 완전히 이해되고 흡수되어“Quantum Mathematics”라고 할 수있는 새로운 수학 영역을 고무시킬 수 있습니까?
물론 수학과 물리 사이에는 오랜 스탠드와 친밀한 관계가 있습니다. 갈릴레오는 유명하게 해독되기를 기다리는 자연의 책에 대해 썼다. 그러나이 책은 언어를 이해하고 언어가 구성된 문자를 읽는 법을 먼저 배우지 않는 한이 책을 이해할 수 없습니다. 그것은 수학의 언어로 작성되었습니다.” 더 현대적인 때부터 우리는 추상 수학의 감정가로 알려지지 않은 Richard Feynman을 인용 할 수 있습니다. … 자연에 대해 배우고 자연에 감사하기 위해서는 그녀가 말하는 언어를 이해해야합니다.” (다른 한편으로, 그는 또한“오늘 모든 수학이 사라지면 물리학은 정확히 일주일로 되돌릴 것”이라고 말했습니다.
수학 물리학 자이자 노벨상 수상자 유진 와이너 (Eugene Wigner)는 현실을 묘사 할 수있는 수학의 놀라운 능력에 대해 설득력있게 글을 썼으며,“자연 과학에서 수학의 불합리한 효과”로 특징 지었다. 동일한 수학적 개념이 광범위한 상황에서 나타납니다. 그러나 요즘 우리는 현대 수학에서 양자 이론의 불합리한 효과를 반대하는 것 같습니다. 입자 물리학에서 유래하는 아이디어는 가장 다양한 수학 분야에서 나타나는 경향이 있습니다. 이것은 현악 이론에 특히 그렇습니다. 수학에 대한 자극적 인 영향은 기본 물리학에서의 최종 역할이 무엇이든, 지속적이고 보람있는 영향을 미칠 것입니다. 분석, 지오메트리, 대수학, 토폴로지, 표현 이론, 조합, 확률 - 목록은 계속되는 학문의 수는 현기증입니다. 이 모든 것을 배워야하는 가난한 학생들에게 미안하다고 느끼기 시작합니다!
양자 이론의 불합리한 효과에 대한 근본적인 이유는 무엇입니까? 내 생각에, 그것은 양자 세계에서 일어날 수있는 모든 일이 일어난다는 사실과 밀접한 관련이 있습니다.
매우 회로도로, 고전적인 역학은 입자가 a 에서 어떻게 이동하는지 계산하려고합니다. b 까지 . 예를 들어, 바람직한 경로는 곡선 공간에서 길이가 최소의 경로 인 측지제를 따라있을 수 있습니다. 양자 역학에서 a 의 가능한 모든 경로의 수집을 대신 고려합니다. b 까지 그러나 길고 복잡합니다. 이것은 Feynman의 유명한 "역사에 대한 합"해석입니다. 그런 다음 물리 법칙은 각 경로에 특정 가중치를 할당하여 입자가 해당 특정 궤적을 따라 이동할 확률을 결정합니다. 뉴턴의 법칙에 순종하는 고전적인 솔루션은 단순히 많은 사람들 중 가장 가능성이 높습니다. 따라서 자연스럽게 양자 물리학은 모든 경로의 세트를 가중 앙상블로 연구하여 모든 가능성을 합산 할 수 있습니다.
한 번에 모든 것을 고려하는이 전체적인 접근법은 현대 수학의 정신에있어서 매우 많으며, 여기서 물체의 "범주"에 대한 연구는 특정 개별 예보다 상호 관계에 훨씬 더 집중됩니다. Quantum 이론에 대한이 조감도는 놀라운 새로운 연결을 이끌어냅니다.
양자 계산기
양자 이론의 마법의 놀라운 예는 미러 대칭입니다. 이 이야기는 열거 형 지오메트리로 시작되며, 잘 확립되어 있지만 대상을 계산하는 대수 지오메트리의 매우 흥미로운 지점은 아닙니다. 예를 들어, 연구원들은 Calabi-Yau 공간의 곡선 수를 세고 싶을 수도 있습니다. 이는 끈 이론에 특히 관심이있는 아인슈타인의 중력 방정식의 6 차원 솔루션, 추가 공간 치수를 말리는 데 사용됩니다.
.실린더 주위에 고무 밴드를 여러 번 감쌀 수있는 것처럼, Calabi-yau 공간의 곡선은 Degree라는 정수로 분류되어 얼마나 자주 감싸는지를 측정합니다. 주어진 정도의 곡선의 수를 찾는 것은 가장 간단한 칼라 비 야 우 공간 인 소위 5 중심에도 유명한 어려운 문제입니다. 19 세기의 고전적인 결과는 학위 1 곡선 (학위 1 곡선)의 수가 2,875와 같습니다. 학위 2 곡선의 수는 1980 년경에만 계산되었으며 훨씬 더 큰 것으로 판명되었습니다 :609,250. 그러나 3 도의 곡선의 수에는 현악기의 도움이 필요했습니다.
1990 년경, 한 그룹의 문자열 이론가들은 지오메터 에게이 숫자를 계산하도록 요청했습니다. Geometers는 복잡한 컴퓨터 프로그램을 고안하고 답변으로 돌아 왔습니다. 그러나 문자열 이론가들은 그것이 잘못되었다고 의심했으며, 이는 코드에서 실수를 제안했다. 점검하자마자 지오미터는 그곳에 있음을 확인했지만 물리학 자들은 어떻게 알았습니까?
현악 이론가들은 이미이 기하학적 문제를 물리적 문제로 번역하기 위해 노력하고있었습니다. 그렇게함으로써 그들은 한 번에 어느 정도의 곡선 수를 계산하는 방법을 개발했습니다. 수학적 원 에서이 결과의 충격을 과대 평가하기는 어렵습니다. 아무리 높더라도 모든 산을 오르는 방법을 고안하는 것과 비슷했습니다!
양자 이론 내에서 모든 정도의 곡선 수를 단일 우아한 기능으로 결합하는 것이 완벽합니다. 이런 식으로 조립하면 간단한 물리적 해석이 있습니다. Calabi – Yau 공간에서 전파되는 문자열에 대한 확률 진폭으로 볼 수 있으며, 서적 원칙이 적용되었습니다. 문자열은 가능한 모든 정도의 가능한 모든 곡선을 동시에 조사하는 것으로 생각 될 수 있으므로 매우 효율적인 "Quantum Calculator"입니다.
.그러나 실제 솔루션을 찾기 위해서는 두 번째 성분이 필요했습니다. 소위 "거울"칼라비-야 우주를 사용한 물리학의 동등한 제형. "거울"이라는 용어는 기만적으로 간단합니다. 일반 거울이 이미지를 반사하는 방식과 달리 여기서 원래 공간과 거울은 매우 다른 모양입니다. 그들은 같은 토폴로지도 가지고 있지 않습니다. 그러나 양자 이론의 영역에서 그들은 많은 속성을 공유합니다. 특히, 두 공간에서의 문자열 전파는 동일하다는 것이 밝혀졌습니다. 원래 매니 폴드의 어려운 계산은 미러 매니 폴드에서 훨씬 더 간단한 표현으로 해석되며, 여기서 단일 적분으로 계산할 수 있습니다. et voilà!
평등의 이중성
거울 대칭은 이중성이라는 양자 이론의 강력한 속성을 보여줍니다. 마치 마법 지팡이가 흔들리고 모든 차이가 갑자기 사라지는 것처럼 양자 시스템으로 간주 될 때 두 가지 고전 모델이 동등해질 수 있습니다. 이원성은 근본적인 양자 이론의 깊지 만 종종 신비한 대칭을 가리킨다. 일반적으로, 그들은 잘 이해되지 않았으며 양자 이론에 대한 우리의 이해가 기껏해야 불완전하다는 것을 나타냅니다.
이러한 동등성의 첫 번째이자 가장 유명한 예는 전자와 같은 모든 양자 입자가 입자와 파수로 간주 될 수 있다고 말하는 잘 알려진 입자 파 이중성이다. 두 관점 모두 장점이 있으며 동일한 물리적 현상에 대해 다른 관점을 제공합니다. “올바른”관점 (입자 또는 파도)은 전자의 특성이 아니라 질문의 특성에 의해서만 결정됩니다. 미러 대칭의 양면은 "Quantum Geometry"에 대한 이중적이고 동일하게 유효한 관점을 제공합니다.
수학은 다른 세상을 연결하는 훌륭한 능력을 가지고 있습니다. 방정식에서 가장 간과 된 상징은 겸손한 동일 부호입니다. 마치 동일한 부호가 "AHA!"를 비추는 전류를 수행하는 것처럼 아이디어가 흐릅니다. 우리의 마음 속의 전구. 이중 선은 아이디어가 양방향으로 흐를 수 있음을 나타냅니다. Albert Einstein 은이 속성을 보여주는 방정식을 찾는 데 절대적인 마스터였습니다. e 를 가져 가십시오 = MC 의심 할 여지없이 역사상 가장 유명한 방정식. 절제된 모든 우아함에서, 그것은 상대성의 출현 이전에 완전히 구별되는 질량과 에너지의 물리적 개념을 연결합니다. 아인슈타인의 방정식을 통해 우리는 질량이 에너지로 변형 될 수 있으며 그 반대도 마찬가지입니다. 아인슈타인의 일반적인 상대성 이론의 방정식은 덜 눈에 띄지 않고 잘 알려져 있지만 기하학과 물질의 세계를 똑같이 놀랍고 아름다운 방식으로 연결합니다. 이론을 요약하는 간결한 방법은 질량이 공간에 구부러지는 방법을 알려주고 우주는 미사에게 움직이는 방법을 알려줍니다.
미러 대칭은 동등한 부호의 힘의 또 다른 완벽한 예입니다. 두 가지 다른 수학 세계를 연결할 수 있습니다. 하나는 많은 역학의 기초가되는 수학의 지점 인 Symplectic Geometry의 영역입니다. 다른쪽에는 대수 지오메트리의 영역, 복소수의 세계가 있습니다. 양자 물리학은 아이디어가 한 분야에서 다른 분야로 자유롭게 흐르고이 두 수학적 분야의 예기치 않은 "웅대 한 통일"을 제공합니다.
수학이 양자 물리학과 현악 이론의 직관적이고 종종 부정확 한 추론을 어떻게 흡수 할 수 있었는지, 이러한 많은 아이디어를 엄격한 진술과 증거로 바꾸는 것은 위안입니다. 수학자들은이 정확성을 상동 거울 대칭에 적용하는 데 가깝습니다. 어떤 의미에서, 그들은 만족하는 모든 관계를 포함하여 두 개의 별도의 수학 세계에 나타나는 물체의 전체 사전을 쓰고 있습니다. 놀랍게도, 이러한 증거는 종종 물리적 주장이 제안한 길을 따르지 않습니다. 물리학 자 이후 청소하는 것은 수학자의 역할이 아닙니다! 반대로, 많은 경우에 증거를 찾기 위해 완전히 새로운 사고 라인이 개발되어야했다. 이것은 양자 이론과 궁극적으로 현실의 기초가되는 깊고 아직 발견되지 않은 논리의 추가 증거입니다.
Niels Bohr는 상보성이라는 개념을 매우 좋아했습니다. 이 개념은 Werner Heisenberg가 그의 불확실성 원리로 증명했듯이 양자 역학에서 운동량을 측정 할 수 있다는 사실에서 나왔습니다. 입자 또는 그 위치의 Q 그러나 동시에 둘 다 아닙니다. Wolfgang Pauli는 1926 년 10 월 19 일자 Heisenberg에게 보낸 편지 에이 이원성을 재치있게 요약했습니다. -예, q 로 볼 수 있습니다 -예,하지만 두 눈을 열면 미쳤다.”
그의 후반에 Bohr는이 아이디어를 훨씬 더 광범위한 철학으로 밀어 내려고 노력했습니다. 그가 가장 좋아하는 보완 쌍 중 하나는 진실과 명확성이었습니다. 아마도 수학적 엄격함과 신체적 직관 쌍은 두 가지 상호 배타적 특성의 또 다른 예로 추가되어야합니다. 당신은 수학적 눈이나 보완적인 육체적 눈으로 세상을 볼 수 있지만 둘 다 열리지 마십시오.
이 기사는 에서 스페인어로 재 인쇄되었습니다 Inversigacionyciencia.es .
