현재 프린스턴 대학교의 이론 물리학자인 알렉산더 폴리아 코프 (Alexander Polyakov)는 1981 년에 양자 이론의 미래를 엿볼 수있었습니다. 끈의 흔들림에서 쿼크를 양성자로 바인딩하는 것에 이르기까지 다양한 수학 도구를 요구했습니다.
"과학에는 많은 다른 문제의 마스터 키 역할을하는 방법과 공식이 있습니다." . "현재 우리는 임의의 표면에 대한 합계를 처리하는 기술을 개발해야합니다."
.Polyakov의 제안은 강력한 것으로 판명되었습니다. 그의 논문에서 그는 혼란스러운 표면의 평균을“Liouville Field”의 평균을 계산하는 방법을 대략적으로 설명하는 공식을 스케치했다. 그의 작품은 물리학 자들이 새로운 수학 분야로 데려 왔는데, 이는 문자열이라는 이론적 대상의 행동을 잠금 해제하고 양자 중력의 단순화 된 모델을 구축하는 데 필수적인 것입니다.
.수년간의 수고는 Polyakov가 물리학의 다른 이론에 대한 솔루션으로 이어질 것이지만, Liouville 분야의 수학을 완전히 이해하지 못했습니다.
.그러나 지난 7 년 동안 수학자 그룹은 많은 연구자들이 불가능하다고 생각한 일을 해냈습니다. 랜드 마크 출판물의 3 부작에서, 그들은 완전히 엄격한 수학적 언어를 사용하여 폴리아코프의 공식을 재구성했으며, Liouville 필드가 현상 폴리 아코프가 그럴 것이라고 생각했다는 것을 증명했습니다.
.프랑스 국립 과학 연구 센터의 수학자이자 Aix-Marseille University의 Rémi Rhodes의 연구 공동 저자 인 Vincent Vargas는“4 페이지를 이해하는 데 40 년이 걸렸습니다.
세 가지 논문은 깨끗한 수학 세계와 물리학의 지저분한 현실 사이의 다리를 만들어 냈으며, 수학적 확률 이론의 수학 분야에서 새로운 근거를 깨뜨려서 그렇게합니다. 이 작품은 또한 기본 물리학의 주요 이론 :양자 분야에서 중심을 차지하는 대상에 관한 철학적 질문에 대해서도 다루고 있습니다.
펜실베이니아 대학교 (University of Pennsylvania)의 수학자 인 Xin Sun은“이것은 수학 물리학의 걸작입니다.
무한 필드
오늘날 물리학에서 가장 성공적인 이론의 주요 행위자는 분야입니다. 분야는 공간을 채우는 대상으로, 장소마다 다른 가치를 취합니다.
예를 들어, 고전 물리학에서 단일 필드는 힘이 어떻게 물체를 밀어 넣는 지에 대한 모든 것을 알려줍니다. 지구의 자기장을 가져 가라 :나침반 바늘의 꼬임은 지구의 모든 지점에서 필드의 영향 (강도와 방향)을 드러냅니다.
분야는 양자 물리학의 중심입니다. 그러나 양자 이론의 깊은 무작위성으로 인해 여기의 상황이 더 복잡합니다. 양자 관점에서 지구는 하나의 자기장을 생성하지 않고 오히려 무한한 수의 다른 것들을 생성하지 않습니다. 어떤 사람들은 우리가 고전 물리학에서 관찰 한 분야처럼 보이지만 다른 사람들은 크게 다릅니다.
그러나 물리학 자들은 여전히 이상적으로 일치하는 예측,이 경우 산악인이 나침반에서 읽는 것을 예측하기를 원합니다. 양자 필드의 무한 형태를 단일 예측으로 동화시키는 것은“양자 필드 이론”또는 QFT의 강력한 작업입니다. 이것은 하나 이상의 양자 필드, 각각의 무한한 변형, 행동 및 상호 작용의 모델입니다.
엄청난 실험적지지에 의해 주도 된 QFT는 입자 물리학의 기본 언어가되었습니다. 표준 모델은 전자 필드의 무한대에서 나오는 퍼지 범프와 같은 전자와 같은 기본 입자를 묘사하는 이러한 QFT 중 하나입니다. 그것은 현재까지 모든 실험 테스트를 통과했습니다 (다양한 그룹이 첫 번째 구멍을 찾기 직전에있을 수 있지만)
물리학 자들은 여러 QFT와 놀아줍니다. 표준 모델과 마찬가지로 일부는 우주의 4 차원 (3 개의 공간 치수와 1 차원의 시간)을 통해 움직이는 실제 입자를 모델링하려고합니다. 다른 사람들은 2 차원 평지에서 6 차원 우버 월드에 이르기까지 이상한 우주의 이국적인 입자를 묘사합니다. 현실과의 관계는 멀지 만 물리학 자들은 우리 세상으로 되돌아 갈 수있는 통찰력을 얻기 위해 연구합니다.
Polyakov의 Liouville 필드 이론은 그러한 예 중 하나입니다.
중력의 필드
1800 년대 프랑스 수학자 인 Joseph Liouville이 개발 한 복잡한 분석의 방정식을 기반으로 한 Liouville 필드는 완전히 무작위 2 차원 표면, 즉 지구의 지각과 같은 표면이지만 모든 지점의 높이가 무작위로 선택되는 표면을 설명합니다. 그러한 행성은 무한히 큰 봉우리의 산맥으로 분출 될 것이며, 각각은 무한 얼굴로 다이를 굴려서 할당됩니다.
이러한 대상은 물리학에 대한 유익한 모델처럼 보이지 않을 수 있지만 무작위성에는 패턴이 없습니다. 예를 들어, 벨 곡선은 거리에서 7 피트 농구 선수를 무작위로 통과 할 가능성을 알려줍니다. 마찬가지로, 구름 구름과 주름진 해안선은 임의의 패턴을 따르지만 그럼에도 불구하고 대규모 스케일 기능과 소규모 특징 사이의 일관된 관계를 분별할 수 있습니다.
Liouville 이론은 가능한 모든 임의의 들쭉날쭉 한 표면의 끝없는 환경에서 패턴을 식별하는 데 사용될 수 있습니다. Polyakov는이 혼란스러운 지형이 현악기를 모델링하는 데 필수적이라는 것을 깨달았습니다. 이론은 또한 2 차원 세계에서 양자 중력을 설명하기 위해 적용되었습니다. 아인슈타인은 중력을 시공간의 곡률로 정의했지만, 그의 설명을 양자 필드 이론의 언어로 번역하면 지구가 무한한 자기장 수집을 생성하는 것처럼 무한한 수의 공간 시간을 만듭니다. Liouville 이론은 모든 표면을 하나의 물체로 함께 포장합니다. 물리학자는 임의의 2D 표면의 모든 위치에서 곡률을 측정하고 중력을 측정하는 도구를 제공합니다.
"양자 중력은 기본적으로 임의의 형상을 의미합니다. 양자는 무작위를 의미하고 중력은 기하학을 의미하기 때문입니다."
무작위 표면의 세계를 탐험하는 Polyakov의 첫 번째 단계는 종 곡선이 특정 높이의 누군가를 만나는 확률을 정의하는 것처럼 특정 뾰족한 행성을 찾을 확률을 정의하는 표현을 적어 두는 것이 었습니다. 그러나 그의 공식은 유용한 수치 예측으로 이어지지 않았습니다.
양자 필드 이론을 해결하는 것은 필드를 사용하여 관찰을 예측할 수 있어야합니다. 실제로 이것은 한 지점에서 필드의 측정이 다른 지점에서 측정과 관련이 있거나 상관되는 정도를 설명함으로써 필드의 "상관 함수"를 계산하는 것을 의미합니다. 예를 들어, 광자 필드에서 상관 관계 기능을 계산하면 양자 전자기의 교과서 법칙을 줄 수 있습니다.
Polyakov는 더 추상적 인 무언가를 겪었습니다. 임의의 표면의 본질은 구름을 구름이나 해안선으로 해안선으로 만드는 통계적 관계와 유사합니다. 그는 Liouville 필드의 우연히 높이 사이의 상관 관계가 필요했습니다. 수십 년 동안 그는 두 가지 다른 방법을 계산하려고 시도했습니다. 그는 Feynman Path Integral이라는 기술로 시작하여 Bootstrap으로 알려진 해결 방법을 개발하게되었습니다. 새로운 작품 뒤에있는 수학자들이보다 정확한 공식으로 연합 할 때까지 두 방법 모두 다른 방식으로 짧게 나타났습니다.
추가
양자 필드가 취할 수있는 무한히 많은 형태를 설명하는 것은 불가능하다고 생각할 것입니다. 그리고 당신이 옳을 것입니다. 양자 물리 개척자 인 Richard Feynman은 1940 년대 에이 당황한 상황을 다루기위한 처방전을 개발했지만이 방법은 심각하게 제한되어 있습니다.
.다시 지구의 자기장을 가져 가십시오. 목표는 양자 필드 이론을 사용하여 특정 위치에서 나침반을 읽을 때 관찰 할 내용을 예측하는 것입니다. 이를 위해 Feynman은 모든 필드의 형태를 함께 합산하는 것을 제안했습니다. 그는 당신의 독서가 모든 필드의 가능한 모든 형태의 평균을 나타낼 것이라고 주장했다. 적절한 가중치로 이러한 무한 필드 구성을 추가하는 절차는 Feynman Path Integral이라고합니다.
일부 양자 필드에 대해서만 콘크리트 답변을 생산하는 우아한 아이디어입니다. 알려진 수학적 절차는 일반적으로 공간의 무한 공간을 덮는 무한 수의 물체를 의미있게 평균적으로 할 수 없습니다. 경로 적분은 정확한 수학 레시피보다 물리 철학에 가깝습니다. 수학자들은 유효한 작전으로서 존재를 의문을 제기하고 물리학 자들이 그것에 의존하는 방식에 의해 방해받습니다.
독일 본 대학의 수학자 인 Eveliina Peltola는“나는 정의되지 않은 것에 의해 수학자로 방해 받고있다.
물리학 자들은 Feynman의 경로를 활용하여 가장 지루한 필드에 대한 정확한 상관 관계 기능을 계산할 수 있습니다. 다른 필드와 상호 작용하지 않는 자유 필드 또는 심지어는 자신과 상호 작용하지 않습니다. 그렇지 않으면, 그들은 필드가 무료 인 척하고 가벼운 상호 작용 또는“섭동”을 추가하는 것을 퍼지해야합니다. 섭동 이론으로 알려진이 절차는 자연의 힘이 상당히 연약하기 때문에 표준 모델의 대부분의 필드에 대한 상관 관계 기능을 얻습니다.
그러나 폴리아 코프에게는 효과가 없었습니다. 그는 처음에 Liouville 분야가 가벼운 섭동을 추가하는 표준 해킹에 적합 할 수 있다고 추측했지만, 너무 강하게 상호 작용한다는 것을 알았습니다. 자유 분야와 비교할 때 Liouville 필드는 수학적으로 불가능 해 보였고 상관 관계는 달성 할 수없는 것처럼 보였습니다.
부트 스트랩에 의해폴리 아코프는 곧 해결 방법을 찾기 시작했습니다. 1984 년에 그는 Alexander Belavin과 Alexander Zamolodchikov와 협력하여 Bootstrap이라는 기술을 개발했습니다.
사다리를 등반하기 위해서는 필드의 3 점에 불과한 측정 간의 상관 관계를 표현하는 함수가 필요합니다. 이“3 점 상관 함수”와 필드의 입자가 취할 수있는 에너지에 대한 추가 정보는 부트 스트랩 사다리의 하단 런그를 형성합니다.
거기에서 한 번에 한 번에 한 번에 올라갑니다. 3 점 기능을 사용하여 4 점 기능을 구성하고 4 점 기능을 사용하여 5 점 기능을 구성하는 등을 구성하십시오. 그러나 첫 번째 런에서 잘못된 3 점 상관 함수로 시작하면 절차가 상충되는 결과를 생성합니다.
Polyakov, Belavin 및 Zamolodchikov는 부트 스트랩을 사용하여 다양한 간단한 QFT 이론을 성공적으로 해결했지만 Feynman Path Integral과 마찬가지로 Liouville Field에서 작동 할 수 없었습니다.
.그런 다음 1990 년대에 Harald Dorn과 Hans-Jörg Otto, Zamolodchikov와 그의 형제 Alexei는 1990 년대에 Liouville 필드 (그리고 양자 중력에 대한 간단한 설명)를 완전히 해결할 수있게 해주는 3 점 상관 함수에 부딪쳤다. 그들의 초기에 의해 Dozz 공식으로 알려진 그들의 결과는 물리학 자들이 Liouville 분야와 관련된 예측을 할 수있게했습니다. 그러나 저자조차도 소리 수학을 통해서가 아니라 우연히 부분적으로 도착했다는 것을 알았습니다.
Vargas는“그들은 공식을 추측 한 이런 종류의 천재들이었습니다.
교육받은 추측은 물리학에 유용하지만, 나중에 Dozz 공식이 어디에서 왔는지 알고 싶어하는 수학자를 만족 시키지는 않습니다. Liouville 필드를 해결 한 방정식은 아무도 그것을 얻는 방법이 가장 희미한 생각을 가지고 있지 않더라도 필드 자체에 대한 설명에서 나왔을 것입니다.
Kupiainen은“이것은 나에게 공상 과학 소설처럼 보였습니다. "이것은 결코 누구에게나 입증되지 않을 것입니다."
야생 표면 길림
2010 년대 초반, Vargas와 Kupiainen은 이론가 Rémi Rhodes와 물리학 자 François David 확률과 힘을 합쳤다. 그들의 목표는 Liouville 필드의 수학적 느슨한 끝을 묶는 것이 었습니다. Polyakov가 포기했던 Feynman 경로 적분을 공식화하고 어쩌면 Dozz 공식을 탈취 할 수 있습니다.
.그들이 시작하자 그들은 Jean-Pierre Kahane이라는 프랑스 수학자가 수십 년 전에 폴리아코프의 마스터 이론의 열쇠로 판명 될 것임을 알게되었습니다.
.Vargas는“어떤 의미에서는 Liouville이 우리 앞에 정의되지 않았다는 것이 완전히 미쳤습니다. “모든 재료가 거기에있었습니다.”
통찰력은 2014 년에서 2020 년 사이에 수학 물리학에서 3 개의 이정표 논문을 이끌었습니다.
그들은 Liouville 필드가 그 자체로 강력하게 상호 작용하기 때문에 Polyakov에 실패한 경로 정착성을 먼저 연마하여 Feynman의 섭동 도구와 호환되지 않기 때문입니다. 대신, 수학자들은 Kahane의 아이디어를 사용하여 Wild Liouville 필드를 가우스 자유 필드로 알려진 다소 온화한 임의의 대상으로 재발했습니다. 가우스 프리 필드의 피크는 Liouville 필드의 피크와 동일한 무작위 극단으로 변동하지 않으므로 수학자들이 평균 및 기타 통계적 측정을 현명한 방식으로 계산할 수 있습니다.
.펠라 톨라는“어떻게 든 가우스 프리 필드를 사용하는 것입니다. "그로부터 그들은 이론의 모든 것을 구성 할 수 있습니다."
2014 년에는 결과를 발표했습니다. 1981 년에 The Path Integral Polyakov의 새롭고 개선 된 버전이 작성되었지만 신뢰할 수있는 가우스 자유 분야의 관점에서 완전히 정의되었습니다. Feynman의 경로 적분 철학이 확실한 수학적 실행을 발견 한 것은 드문 사례입니다.
독일 Electron Synchrotron의 물리학자인 Jörg Teschner는“경로 적분은 존재할 수 있습니다.
엄격하게 정의 된 경로가 적분 한 상태에서 연구원들은 Liouville 필드에서 답을 얻고 상관 관계 기능을 도출하기 위해이를 사용할 수 있는지 확인하려고 노력했습니다. 대상은 신화적인 Dozz 공식이었다. 그러나 그것과 경로의 통합은 광대 한 것처럼 보였다.
Kupiainen은“우리는 선전의 이유로 Dozz 공식을 이해하고 싶다는 논문에 글을 썼습니다.
팀은 확률 론적 경로를 정착 시켜서 부트 스트랩을 작동시키는 데 필요한 모든 기능을 실제로 가지고 있음을 확인하면서 수년을 보냈습니다. 그렇게했던 것처럼 그들은 Teschner의 초기 작업을 구축했습니다. 결국, Vargas, Kupiainen 및 Rhodes는 2017 년에 게시 된 논문과 2020 년 10 월 Colin Guillarmou와 함께 논문으로 성공했습니다. 그들은 경로 적분에서 Dozz와 다른 상관 관계 기능을 도출했으며 이러한 공식이 물리학 자들이 부트 스트랩을 사용하여 도달 한 방정식과 완벽하게 일치 함을 보여주었습니다.
.Vargas는“이제 우리는 끝났습니다. "두 물체 모두 동일합니다."
이 작품은 Dozz 공식의 기원을 설명하고 수학자들이 스케치를 고려한 부트 스트랩 절차를 검증 된 수학 객체와 연결합니다. 모두 Liouville 필드의 최종 신비를 해결합니다.
Peltola는“어떻게 든 시대의 끝입니다. "하지만 새롭고 흥미로운 것들의 시작이기를 바랍니다."
QFTS에 대한 새로운 희망
Vargas와 그의 공동 작업자는 이제 유니콘을 손에 들고 있습니다. QFT는 수치 적 예측을하는 간단한 수학적 공식으로 비방 적 방식으로 완벽하게 묘사 된 QFT를 강력하게 상호 작용합니다.
.이제 문자 수백만 달러의 질문은 다음과 같습니다. 이러한 확률 적 방법은 얼마나 멀리 갈 수 있습니까? 모든 QFT에 대해 깔끔한 공식을 생성 할 수 있습니까? Vargas는 그들의 도구가 Liouville 이론의 2 차원 환경에만 해당된다고 주장하면서 그러한 희망을 빨리 돌파 할 수 있습니다. 더 높은 차원에서는 자유 필드조차 너무 불규칙하므로 그룹의 방법이 우리 우주에서 중력장의 양자 행동을 처리 할 수 있다고 의심합니다.
.그러나 폴리아코프의 "마스터 키"의 신선한 광산은 다른 문을 열 것입니다. 그 영향은 이미 확률 이론에서 느껴지고 있으며, 수학자들은 이제 이전에 물리학 공식을 처벌 할 수 있습니다. Liouville 작업에 의해 대담한 Sun과 그의 협력자들은 이미 물리학에서 방정식을 수입하여 임의의 곡선에 관한 두 가지 문제를 해결했습니다.
물리학 자들은 도로를 더 내려 가면서 실질적인 혜택을 기다리고 있습니다. Liouville 분야의 엄격한 구조는 수학자들에게 중력의 장난감 이론뿐만 아니라 현실의 가장 깊은 물리적 비밀에 직접적으로 견딜 수있는 실제 입자와 힘에 대한 설명을 제공하는 다른 다루기 어려운 QFT의 특징을 입증하는 데 도움을 줄 수있었습니다.
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"[수학자]는 우리가 상상조차 할 수없는 일을 할 것입니다."
