과학자들은 우주를 둘러보고 놀라운 구조를 봅니다. 환상적인 복잡성의 대상과 과정이 있습니다. 우리 우주의 모든 행동은 수학적 언어로 완벽하게 표현되는 정확한 자연의 법칙을 따릅니다. 이러한 자연의 법칙은 생명, 특히 지능적인 삶을 가져 오기 위해 미세 조정 된 것처럼 보입니다. 이러한 자연의 법칙은 정확히 무엇이며 어떻게 찾을 수 있습니까?
우주는 너무 구조적이고 질서 있으므로 시대의 가장 복잡하고 정확한기구와 비교합니다. 18 세기와 19 세기에 우주는 완벽하게 작동하는 시계 나 시계와 비교되었습니다. 그런 다음 철학자들은 시계 제작자에 대해 논의했습니다. 20 세기와 21 세기에 가장 복잡한 대상은 컴퓨터입니다. 우주는 완벽하게 작동하는 슈퍼 컴퓨터와 비교됩니다. 연구원들은이 컴퓨터가 어떻게 프로그래밍을 얻었는지 묻습니다.
이 모든 구조를 어떻게 설명합니까? 왜 법이 삶을 생산하기에 완벽 해 보이고 왜 그런 정확한 수학적 언어로 표현 되는가? 우주는 실제로 보이는 것처럼 구성되어 있습니까?
이 질문들 중 일부에 대한 한 가지 대답은 플라톤주의 (또는 사촌 현실주의)입니다. 이것은 자연의 법칙이 객관적이며 항상 존재했다는 믿음입니다. 그들은 플라톤의 영역에 존재하는 정확한 이상적인 형태를 가지고 있습니다. 이 법은 완벽한 상태에 있으며 우리 주변에서 볼 수있는 우주를 형성했습니다. 자연의 법칙은이 영역에 존재할뿐만 아니라 완벽하게 형성된 모든 수학과 함께 산다. 이것은 법이 수학의 언어로 작성된 이유를 설명하는 데 도움이됩니다.
플라톤주의는 많은 것을 원합니다. 주요 문제는 플라톤주의가 과학이 아니라 형이상학이라는 것입니다. 그러나 우리가 그것을 참으로 받아 들여도 많은 질문이 남아 있습니다. 이 플라톤 세계는 왜 다른 법률보다는 지능적인 생명을 가져 오는 법을 가지고 있습니까? 이 플라톤 다락방은 어떻게 설정 되었습니까? 우리의 물리적 우주는 왜이 미묘한 규칙을 따르는가? 과학자와 수학자들은 어떻게 플라톤의 정확한 이상적인 보물 상자에 접근 할 수 있습니까?
Multiverse는 최근에 아주 유행이 된 또 다른 대답입니다. 이 이론은 우리 우주가 왜 생명을주는 법을 가지고 있는지 설명하려는 시도입니다. 다중 사람을 믿는 사람은 우리 우주가 많은 우주 중 하나라고 주장합니다. 각 우주에는 자체 규칙 세트와 그 규칙과 함께 제공되는 가능한 구조가 있습니다. 다국적 이론을 추진하는 물리학 자들은 각 우주의 법률이 다소 임의적이라고 생각합니다. 우리가 우주에서 생명에 적합한 구조를 보는 이유는 우리가 그러한 법을 가진 거의 우주 중 하나에 살기 때문입니다. Multiverse는 우리가 보는 구조 중 일부를 설명하지만 질문이 열려 있습니다. 우주가 왜 구조를 가지고 있는지 묻지 않고, 우리는 질문을 뒤로 밀고 왜 Multiverse가 그 구조를 가지고 있는지 물어볼 수 있습니다. 또 다른 문제는 Multiverse가 그것이 존재한다면 우리가 제기 한 몇 가지 질문에 대답 할 것이지만 누가 그것이 실제로 존재한다고 말하는가? 대부분은 우리가 가능한 다른 우주와 접촉하지 않는다고 믿기 때문에, 다중 사람의 존재에 대한 문제는 본질적으로 형이상학입니다.
자연 법칙의 구조에 대한 또 다른 흥미로운 설명이 있습니다. 우주가 매우 구조적이라고 말하는 것이 아니라 우주는 대부분 혼란스럽고 대부분 구조가 부족하다고 말합니다. 우리가 우리가하는 구조를 보는 이유는 과학자들이 체처럼 행동하고 구조를 가지고 있고 예측할 수있는 현상에만 초점을 맞추기 때문입니다. 그들은 모든 현상을 고려하지 않습니다. 오히려 그들은 다룰 수있는 현상을 선택합니다.
어떤 사람들은 과학이 모든 신체적 현상을 연구한다고 말합니다. 이것은 단순히 사실이 아닙니다. 다음 대통령 선거에서 이기고 백악관으로 이사 할 사람은 누구나 어려운 과학자들이 절대적인 예측을 제공하기 위해 모험을하지 않을 것이라는 물리적 인 질문입니다. 주어진 입력에 대해 컴퓨터가 중단 될지 여부는 물리적 질문으로 볼 수 있지만 Alan Turing 은이 질문에 대답 할 수 없다는 것을 알게되었습니다. 과학자들은 다양한 유형의 구름의 일반적인 질감과 높이를 분류했지만 일반적으로 구름의 정확한 모양에 전혀 관심이 없습니다. 모양은 물리적 현상이지만 과학자들은 그것을 연구하려고 시도하지 않습니다. 과학은 모든 신체적 현상을 연구하지는 않습니다. 오히려 과학 연구는 예측 가능한 물리적 현상. 그것은 거의 팽팽한학입니다 :과학은 예측 가능한 현상을 예측합니다.
과학자들은 그들이 공부하기로 결정한 현상의 기준을 설명했습니다.이를 대칭이라고합니다. 대칭은 변화에도 불구하고 그 일부가 동일하게 남아있는 속성입니다. 얼굴에 대칭이 있다고 말하면 왼쪽이 반사되어 오른쪽으로 교환되면 여전히 동일하게 보입니다. 물리학자가 대칭이라는 단어를 사용하면 물리적 현상의 컬렉션에 대해 논의하고 있습니다. 일련의 현상은 변화 후에 동일하다면 대칭이 있습니다. 가장 분명한 예는 위치의 대칭입니다. 즉, 두 곳에서 동일한 실험을 수행하면 결과가 동일해야합니다. 시간의 대칭은 실험의 결과가 실험시기에 의존해서는 안된다는 것을 의미합니다. 그리고 다른 많은 유형의 대칭이 있습니다.
연구를 위해 과학자들이 선택한 현상은 다양한 유형의 대칭을 가져야합니다. 물리학자가 많은 현상을 볼 때, 그녀는 먼저 이러한 현상에 대칭이 있는지 확인해야합니다. 그녀는 다른 장소와 다른 시간에 실험을 수행합니다. 그녀가 동일한 결과를 얻으면 근본 원인을 찾기 위해 연구합니다. 대조적으로, 그녀의 실험이 대칭이되지 않았다면, 그녀는 무시할 것입니다.
갈릴레오와 뉴턴과 같은 과학자들은 물리적 현상에서 대칭을 인식했지만, 대칭의 힘은 처음으로 Albert Einstein에 의해 진정으로 악용되었습니다. 그는 실험자가 빛의 속도에 가까워 지더라도 물리 법칙이 동일해야한다고 가정했다. 이 대칭을 염두에두고 그는 특별한 상대성 이론의 법칙을 구성 할 수있었습니다. 아인슈타인은 대칭이 물리학의 정의 특성이라는 것을 가장 먼저 이해했습니다. 대칭이있는 것은 자연의 법칙을 가질 것입니다. 나머지는 과학의 일부가 아닙니다.
아인슈타인이 과학적 노력에 대칭의 중요한 중요성을 보여준 후에, 에미 노 에테르 (Emmy Noether)는 대칭과 보존법 사이의 연관성을 확립 한 강력한 정리를 입증했다. 이것은 현대 물리학의 중심 인 자연의 상수와 관련이 있습니다. 다시 말하지만, 대칭이 있으면 보존법과 상수가 있습니다. 물리학자는 체가되어 대칭을 가진 현상을 연구하고 대칭이없는 사람들이 손가락을 통해 미끄러지도록 허용해야합니다.
.우주에서 발견 된 구조에 대한이 설명에는 몇 가지 문제가 있습니다. 우선, 우리가 선택하고 자연의 법칙을 가진 현상이 정확히 모든 것을 생성하는 현상 인 것 같습니다. 현상. 입자 물리학, 중력 및 양자 이론의 법칙은 모두 대칭을 가지고 있으며 물리학 자들이 연구합니다. 모든 현상은 이러한 이론들, 심지어 대칭이없는 것 같습니다. 따라서 다음 대통령이 누구인지 결정하는 것은 과학을 넘어서는 반면, 현상은 사회학에 의해 결정될 것이며, 이는 심리학에 의해 결정되는 것이며, 이는 입자 물리학 및 양자 역학에 의존하는 신경 생물학에 의해 결정됩니다. 선거의 승자를 결정하는 것은 과학자가 다루기에는 너무 복잡하지만, 선거 결과는 과학의 일부인 물리 법칙에 의해 생성됩니다.
자연의 법칙의 구조에 대한 우리의 설명이 실패 했음에도 불구하고, 우리는 그것이 가되는 최고의 후보라고 생각합니다. 해결책. 그것은 형이상학 적 원칙이나 보이지 않는 수많은 우주의 존재를 불러 내지 않는 유일한 해결책 중 하나입니다. 우리는 우주에서 찾은 구조의 원인을 찾기 위해 우주 밖에서 볼 필요가 없습니다. 오히려 우리는 우리가 현상을 어떻게 바라보고 있는지 살펴 봅니다.
계속 진행하기 전에 솔루션에는 Multiverse 솔루션과 공통된 속성이 있음을 지적해야합니다. 우리는 대부분 우주가 혼란스럽고 그 안에 그다지 많은 구조가 없다고 가정했다. 그러나 우리는 소량의 구조에만 중점을 둡니다. 마찬가지로, Multiverse를 믿는 사람은 대부분의 다중 사람들이 지능적인 삶을 형성하기위한 구조가 부족하다고 믿습니다. 우리가 복잡한 구조를 찾는 것은 소수의 우주에만 있습니다. 그리고 우리는이 복잡한 우주의 주민들이 그 희귀 한 구조에 초점을 맞추고 있습니다. 두 솔루션 모두 혼란스러운 전체의 소량의 구조에 초점을 맞추는 것입니다.
숫자 시스템의 계층
우리가 현상의 서브 세트를 선택하고 있기 때문에 구조 만 본다는이 아이디어는 참신하고 머리를 감싸기가 어렵습니다. 수학에는 이해하기가 훨씬 쉬운 유사한 상황이 있습니다. 우리는이 선택 과정을 매우 명확하게 볼 수있는 중요한 예에 중점을 둘 것입니다. 먼저 여러 숫자 시스템과 그 속성을 약간 둘러야합니다.
실수를 고려하십시오. 고등학교가 시작될 때 교사는 보드에 실수 라인을 그려서 이것이 필요한 모든 숫자라고 말합니다. 두 가지 실수가 주어지면, 우리는 추가, 빼기, 곱하기 및 나누는 방법을 알고 있습니다. 그들은 과학의 모든 측면에서 사용되는 숫자 시스템으로 구성됩니다. 실수는 또한 중요한 속성을 가지고 있습니다. 그들은 완전히 주문됩니다. 즉, 두 가지 다른 실수가 주어지면 하나는 다른 것보다 적습니다. 실수 줄을 생각해보십시오. 라인에 두 개의 다른 지점이 주어지면 하나는 다른 하나의 오른쪽에있을 것입니다. 이 속성은 너무 명백해서 간신히 언급되어 있습니다.
실수는 완전한 그림처럼 보이지만 이야기는 끝나지 않습니다. 이미 16 세기에 수학자들은 더 복잡한 숫자 시스템을보기 시작했습니다. 그들은“가상”숫자 i 로 일하기 시작했습니다 그것은 광장이 -1이라는 속성을 가지고 있습니다. 이것은 정사각형이 결코 부정적이지 않은 실수와는 대조적입니다. 그들은 상상의 숫자를 실제 숫자의 산물로 정의하고 i . 수학자들은 실수의 합계와 가상 숫자의 복소수를 정의했습니다. r 1 인 경우 및 r 2 실수, 그런 다음 r 1 입니다 +r 2 i 복소수입니다. 복소수는 두 가지 실수로 구축되므로 일반적으로 2 차원 평면에 모든 것을 그립니다. 실수 라인은 복잡한 평면에 있습니다. 이것은 모든 실수, r 1 이라는 사실에 해당합니다. , 복소수 r 1 로 볼 수 있습니다 +0 i (즉, 복잡한 구성 요소가 0이 있습니다.
우리는 복소수를 추가, 빼기, 곱하기 및 나누는 방법을 알고 있습니다. 그러나 복소수와는 다른 속성이 하나 있습니다. 실수와 달리 복소수는 완전히 주문되지 않습니다. 두 개의 복소수가 주어지면 3 + 7.2 i 및 6 - 4 i , 우리는 어느 것이 더 많고 어느 것이 더 적은지 알 수 있습니까? 명백한 대답은 없습니다. (실제로, 복소수를 완전히 주문할 수는 있지만 순서는 복소수의 곱셈을 존중하지 않습니다.) 복소수는 완전히 주문되지 않았다는 사실은 실수에서 복소수로 갈 때 구조를 잃는다는 것을 의미합니다.
.이야기는 복소수로 끝나지 않았습니다. 실수 쌍에서 복소수를 구성 할 수 있으므로 복소수 쌍에서 쿼터니언을 구성 할 수 있습니다. c 1 를하자 =r 1 + r 2 i 및 c 2 =r 3 + r 4 i 복잡한 숫자; 그런 다음 q =c 1 로 쿼터니언을 구성 할 수 있습니다. + c 2 j 여기서 j 특별 번호입니다. 모든 쿼터니언은
로 쓸 수 있습니다.r 1 + r 2 i + r 3 j + r 4 k ,
여기서 i , j 및 k 복소수와 비슷한 특수 번호입니다 ( ijk 에 의해 정의됩니다. =-1 = i = j = k ). 따라서 복소수는 두 가지 실수로 구성되지만 쿼터니언은 4 가지 실수로 구성됩니다. 모든 복소수 r 1 + r 2 i 특수 유형의 쿼터 니온으로 볼 수 있습니다 :r 1 + r 2 i + 0 j + 0 k . 우리는 쿼터니언을 복소수를 2 차원 하위 집합으로 갖는 4 차원 공간으로 생각할 수 있습니다. 우리 인간은 이러한 고차원 공간을 시각화하는 데 어려움을 겪습니다.
Quaternions는 본격적인 번호 시스템입니다. 그들은 추가, 빼기, 곱하기 및 쉽게 나눌 수 있습니다. 복소수와 마찬가지로, 그들은 완전히 주문되지 않습니다. 그러나 그들은 복소수보다 구조가 훨씬 적습니다. 복소수의 곱셈은 정류적이지만, 즉, 모든 복소수 C 1 에 대해 및 c 2 우리는 그 c 1 을 가지고 있습니다 c 2 =c 2 c 1 , 이것은 모든 쿼터니언에 사실이 아닙니다. 이것은 Quaternions q 1 가 있음을 의미합니다 및 Q 2 따라서 Q 1 Q 2 q 2 와 다릅니다 Q 1 .
새로운 특별 번호로 숫자 시스템을 두 배로 늘리는 과정을 수학자 Arthur Cayley와 Leonard Eugene Dickson의 이름을 딴“Cayley -Dickson Construction”이라고합니다. 특정 유형의 숫자 시스템이 주어지면, 하나는 원래 시스템의 두 배의 차원 인 또 다른 숫자 시스템을 얻습니다. 개발하는 새로운 시스템은 시작 시스템보다 구조가 적다 (즉, 공리가 적음).
Cayley -Dickson Construction을 Quaternions에 적용하면 Octonions라는 숫자 시스템을 얻습니다. 이것은 8 차원 수 시스템입니다. 즉, 각각의 멍청이는 8 개의 실수로
로 쓸 수 있습니다.r 1 + r 2 i + r 3 j + r 4 k +r 5 l + r 6 m + r 7 n + r 8 p .
약간 복잡하지만, 추가, 빼기, 곱하기 및 나누는 방법은 알려져 있습니다. 모든 쿼터 니온은 마지막 4 개의 계수가 0 인 특수 유형의 오토 니온으로 작성 될 수 있습니다.
Quaternions와 마찬가지로 Octonions는 완전히 질서 나 정류적이지 않습니다. 그러나 Octonions도 연관성이 없습니다. 자세히, 우리가 지금까지 논의한 모든 숫자 시스템은 연관 재산을 보유하고 있습니다. 이는 세 가지 요소 인 A, B 및 C의 경우 A (BC) 및 (AB) C를 곱하는 두 가지 방법이 동일하다는 것을 의미합니다. 그러나 Octonions는 연관성이 없습니다. 즉, octonions o 1 가 있습니다 , o 2 및 O 3 따라서 o 1 (o 2 o 3 ) ≠ (O 1 o 2 ) o 3 .
우리는이 배가를 계속할 수 있으며 Sedenions라고 불리는 훨씬 더 큰 16 차원 수 시스템을 얻을 수 있습니다. 세도니언을 설명하기 위해서는 16 개의 실수를 주어야합니다. Octonions는 특별한 유형의 세도니언입니다. 마지막 8 개의 계수는 모두 0입니다. 그러나 연구원들은 중요한 재산을 잃어 버리기 때문에 진정을 피하십시오. 세대를 추가하고 빼고 곱할 수는 있지만, 잘 나눌 수있는 방법은 없습니다. 대부분의 물리학 자들은 이것이 창백하고 "정당한"수학을 넘어서고 있다고 생각합니다. 수학자들조차도 세대를 다루기가 어렵다는 것을 알게됩니다. 32 차원 수 시스템과 64 차원 수 시스템 등을 공식화 할 수 있습니다. 그러나 현재는 많은 응용 프로그램이 없기 때문에 일반적으로 논의되지 않습니다. 우리는 Octonions에 집중할 것입니다. 모든 숫자 시스템의 요약은이 벤 다이어그램에서 볼 수 있습니다.
이 숫자 시스템의 적용 가능성에 대해 논의합시다. 실수는 물리학의 모든 측면에서 사용됩니다. 물리적 물체 또는 프로세스의 모든 수량, 측정 및 길이는 실수로 제공됩니다. 수학자들에 의해 복소수가 공식화되어 방정식을 해결하는 데 도움이되었지만 ( i 방정식 x =-1)에 대한 해결책, 물리학 자들은 19 세기 중반에 파도를 논의하기 위해 복소수를 사용하기 시작했습니다. 20 세기에 복소수는 양자 역학 연구의 기본이되었습니다. 지금까지 복소수의 역할은 많은 물리학 분야에서 매우 중요합니다. 쿼터니언은 물리학에 나타나지 만 주요 선수는 아닙니다. Octonions, Sedenions 및 더 많은 수 시스템은 물리학 문헌에서 거의 발생하지 않습니다.
우리가 찾은 수학의 법칙
이 숫자 시스템의 일반적인 관점은 실수가 기본적이라고 생각하는 반면 복잡한, 쿼터니언 및 오토는 수학자와 일부 물리학자를 바쁘게 유지하는 이상한 더 큰 세트라고 생각하는 것입니다. 더 큰 수 시스템은 중요하지 않고 덜 흥미로워 보입니다.
이보기를 머리에 돌리자. 실수를 중심과 강의를 이상한 더 큰 숫자 시스템으로 보는 대신 Octonions를 기본적으로, 다른 모든 숫자 시스템을 단지 특수한 오토의 하위 집합으로 생각하십시오. 실제로 존재하는 유일한 숫자 시스템은 Octonions입니다. Leopold Kronecker를 역설적으로 말하면서,“하나님께서는 멍청이를 만드셨습니다. 다른 모든 것은 사람의 일입니다.” Octonions에는 우리가 필요로하는 모든 숫자가 포함되어 있습니다. (그리고 앞에서 언급했듯이, 우리는 Sedenions 및 64 차원 수 시스템과 동일한 속임수를 할 수 있습니다. 우리는 아이디어를 Octonions로 고칠 것입니다.)
.우리가 익숙한 숫자 시스템의 모든 속성을 어떻게 도출 할 수 있는지 살펴 보겠습니다. Octonions의 곱셈은 연관성이 아니지만 연관성 곱셈을 원한다면 Octonions의 특수 하위 집합을 볼 수 있습니다. (우리는 "서브 세트"라는 단어를 사용하고 있지만 숫자 시스템의 작동과 관련된 특수 유형의 하위 집합이 필요합니다. 이러한 서브 세트는 "하위 그룹", "하위 필드"또는 "하위 노르트 디비전 대수"라고합니다.
r 1 + r 2 i + r 3 j + r 4 k + 0 l + 0 m + 0 n + 0 p ,
곱셈은 쿼터니언과 같이 연관됩니다. 형태의 모든 멍청이를 더 보면
r 1 + r 2 i + 0 j + 0 k + 0 l + 0 m + 0 n + 0 p ,
그러면 곱셈은 복잡한 숫자와 같이 정류됩니다. 하나가 더 형태의 모든 octonions를 선택하면
r 1 + 0 i + 0 j + 0 k + 0 l + 0 m + 0 n + 0 p ,
그러면 그들은 완전히 주문한 번호 시스템을 가질 것입니다. 만족하고자하는 모든 공리는 "내부에 앉아"오토 회주가 발견됩니다.
이것은 이상하지 않습니다. 구조가있을 때마다 특정 속성을 만족시키는 특수 요소의 하위 집합에 집중할 수 있습니다. 예를 들어 모든 그룹을 가져 가십시오. 우리는 그룹의 요소를 살펴보고 그 x 를 선택할 수 있습니다. 모든 원소에 대해 y , 우리는 그 xy 를 가지고 있습니다 = yx . 이 하위 집합은 정류 (아벨 리안) 그룹입니다. 즉, 어떤 그룹에서나 정류 그룹 인 하위 집합이 있다는 것은 사실입니다. 우리는 단순히 공리를 만족시키는 부분을 선택하고 그렇지 않은 것들을 무시 (“브래킷 아웃”) 부분을 선택합니다. 우리가 만드는 요점은 시스템에 특정 구조가 있으면 해당 시스템의 특수 하위 집합이 시작 시스템보다 더 많은 공리를 만족시킬 것입니다.
이것은 우리가 물리학에서하고있는 것과 비슷합니다. 우리는 모든 현상을 보지 않습니다. 오히려, 우리는 대칭과 예측 성의 요구 사항을 충족시키는 현상을 선택합니다. 수학에서, 우리는 그것을 설명하는 공리와의 서브 세트를 설명합니다. 물리학에서 우리는 자연의 법칙을 가진 현상의 선택된 하위 집합을 설명합니다.
우리는 다음 다이어그램으로 우리가 만든 비유를 설명 할 수 있습니다.
공리를 만족시키기 위해 선택한 서브 세트의 수학은 전체 세트의 수학보다 쉽습니다. 수학자들이 공리와 함께 일하기 때문입니다. 그들은 이론을 증명하고 공리를 사용하여 모델을 만듭니다. 그러한 공리가 없으면 수학이 더 복잡하거나 불가능 해집니다.
우리의 비유에 따라, 현상의 하위 집합은 수학에 언급 된 자연의 법칙으로 더 쉽게 설명하기가 더 쉽습니다. 대조적으로, 우리가 더 큰 현상을 볼 때, 자연의 법칙과 수학이 더 복잡하거나 불가능하다는 것을 찾기가 더 어렵다.
.탠덤에서 일하고 앞으로 나아가
물리와 수학 사이에는 중요한 비유가 있습니다. 두 분야에서 시스템 전체를 보지 않고 시스템의 특수 하위 집합을 보면 더 많은 구조가 보입니다. 물리학에서 우리는 특정 현상 (대칭 유형이있는 것)을 선택하고 나머지를 무시합니다. 수학에서 우리는 구조의 특정 하위 집합을보고 나머지를 무시하고 있습니다. 이 두 브래킷 작업은 손에 작동합니다.
물리학의 임무는 관찰 된 물리적 현상의 수집에서 수학적 구조로의 기능을 공식화하는 것입니다.
관찰 된 물리적 현상 → 수학적 구조.
즉, 우리는 우리가 관찰 한 세상에 수학적 구조를 제공해야합니다. 물리학이 발전하고 점점 더 관찰 된 물리 현상을 이해하려고 노력함에 따라, 우리는 더 크고 더 큰 종류의 수학이 필요합니다. 이 기능의 관점에서, 우리가 함수의 입력을 확대하려면, 우리는 함수의 출력을 확대해야합니다.
.물리와 수학 의이 확대에 대한 많은 예가 있습니다.
물리학 자들이 양자 역학으로 일하기 시작했을 때, 그들은 완전히 주문한 실수가 그들의 요구에 너무 제한적이라는 것을 깨달았습니다. 그들은 공리가 적은 숫자 시스템이 필요했습니다. 그들은 복소수를 찾았습니다.
Albert Einstein이 일반적인 상대성을 설명하기를 원했을 때, 그는 평평한 공리 (유클리드의 다섯 번째 공리)가있는 유클리드 공간의 수학적 구조가 너무 제한적이라는 것을 깨달았습니다. 그는 일반적인 상대성 이론의 시공간을 설명하기 위해 곡선의 비 유클리드 공간이 필요했습니다.
양자 역학에서 일부 시스템의 경우 먼저 X를 측정 한 다음 Y를 측정 한 다음 y를 측정 한 다음 X를 측정하는 것과는 다른 결과를 얻을 것입니다.이 상황을 수학적으로 설명하기 위해서는 멋진 정류의 세계를 떠나야합니다. 그들은 통근성이 가정되지 않는 더 큰 부류의 구조를 요구했습니다.
Boltzmann과 Gibbs는 통계 역학에 대해 이야기하기 시작했을 때, 그들이 제시 한 법이 더 이상 결정적이지 않다는 것을 깨달았습니다. 실험 결과는 더 이상 발생하지 않습니다 (p (x) =1) 또는 발생하지 않습니다 (p (x) =0). 오히려 통계 역학을 사용하면 확률 이론이 필요합니다. 실험의 특정 결과의 가능성은 확률 (p (x))는 제한적인 유한 서브 세트 {0,1})보다는 무한 세트 [0,1]의 요소입니다.
.과학자들이 양자 사건의 논리에 대해 이야기하기 시작했을 때, 그들은 분배하는 일반적인 논리가 너무 제한적이라는 것을 깨달았습니다. 그들은 분배 공리가 반드시 사실이 아니라는 더 큰 논리를 공식화해야했습니다. 이것을 현재 양자 논리라고합니다.
폴 A.M. Dirac은 약 85 년 전에 다음을 썼을 때이 공리의 풀기를 이해했습니다.
물리학의 꾸준한 진보는 이론적 공식화가 지속적으로 더 발전하는 수학을 요구합니다. 이것은 자연스럽고 예상됩니다. 그러나 지난 세기의 과학 노동자들이 기대하지 않은 것은 수학 발전의 선이 취할 것이라는 특별한 형태였습니다. 즉, 수학은 점점 더 복잡해 질 것으로 예상되었지만, 공리와 정의의 영구적 인 기초에 달려있을 것으로 예상되는 반면, 실제로 현대적인 신체 발전은 지속적으로 기초를 변화시키고 더 추상적 인 수학을 필요로했습니다. 한 번에 비 유클리드 지오메트리와 비 통신 대수는 순전히 마음의 마음과 논리적 사상가들의 오락 시간으로 간주되었으며, 이제는 물리적 세계의 일반적인 사실에 대한 설명에 매우 필요한 것으로 밝혀졌습니다. 추상화가 증가하는이 과정은 미래에 계속 될 것으로 보이며 물리학의 발전은 고정 된 기초에서 하나의 수학적 체계의 논리적 개발보다는 수학 기반에서 공리의 지속적인 수정 및 일반화와 관련이있는 것으로 보인다.
.물리학이 진행되고 우리는 점점 더 많은 물리적 현상을 알게되면서, 더 크고 더 큰 종류의 수학적 구조가 필요하며, 우리는 공리가 더 적고 적어서 그것을 얻습니다. Dirac은 이러한 수학적 구조를 "추상화 증가"와 "공리의 일반화"로 부릅니다. Dirac이 지금 살았다면, 그는 강아지의 부상과 필요한 수 시스템 내에서 심지어 들리는 것에 대해 이야기 할 것이라는 데는 의심의 여지가 없습니다.
더 많은 현상을 설명하기 위해, 우리는 더 크고 더 큰 종류의 수학적 구조가 필요하므로 공리가 적고 적습니다. 이 추세에 대한 논리적 결론은 무엇입니까? 얼마나 멀리 갈 수 있습니까? 물리학은 우리 우주에서 점점 더 많은 현상을 묘사하고 싶어합니다. all 를 설명하는 데 관심이 있다고 가정 해 봅시다 우리 우주의 현상. 어떤 유형의 수학이 필요합니까? 모든 현상을 설명하기 위해 수학적 구조에 몇 개의 공리가 필요할까요? 물론 예측하기는 어렵지만 추측하기가 더 어렵습니다. 한 가지 가능한 결론은 우리가 우주를 전체적으로 보면서 현상의 하위 집합을 괄호하지 않으면 우리가 필요로하는 수학에는 전혀 공리가 없을 것이라는 것입니다. 즉, 총체적인 우주에는 구조가 없으며 그것을 묘사하기 위해 공리가 필요하지 않습니다. 총 무법자! 수학은 구조가없는 평범한 세트입니다. 이것은 자연과 수학적 구조의 법칙을 다룰 때 마침내 모든 형이상학을 제거 할 것입니다. 그것은 우리에게 구조의 환상을주는 우주를 보는 방식 일뿐입니다.
물리학에 대한 이러한 견해로 우리는 더욱 심오한 질문에옵니다. 이것이 과학의 미래 프로젝트입니다. 우리가 보는 구조가 환상적이고 특정 현상을 바라 보는 방식에서 나오면 왜 우리는이 환상을 보는가? 과학자들이 공식화 한 자연의 법칙을 보는 대신, 우리는 과학자들과 과학자들이 선택하는 방식 (현상의 서브 세트와 그들의 수반되는 자연 법칙을보아야합니다. 우리를 정찰에 능숙하게 만드는 것은 인간에 대해 무엇입니까? 우리는 우주를 보는 대신 way 를보아야합니다. 우리는 우주를 본다.
많은 도움이되는 대화를 위해 Jim Cox, Karen Kletter, Avi Rabinowitz 및 Karl Svozil에게 감사합니다.
Noson S. Yanofsky는 박사 학위를 받았습니다. 뉴욕시 대학교 대학원 센터에서 수학. 그는 뉴욕시 대학교 브루클린 대학의 컴퓨터 과학 교수입니다. 연구 논문을 작성하는 것 외에도 그는 공동 저술 를 공동 저술했습니다. 컴퓨터 과학자를위한 양자 컴퓨팅 및 저자 이성의 외부 한계 :과학, 수학 및 논리가 우리에게 말할 수없는 것. <노손은 아내와 네 자녀와 함께 브루클린에 살고 있습니다.
참조
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추가 읽기
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이 기사는 원래 2017 년 6 월에“터무니없는”문제에 출판되었습니다.
