우리의 이름은 노틸러스는 문화적, 신화적인 대상이 아닙니다. 그것은 또한 그것에 대한 풍부한 (상상하지 않은) 수학을 가지고 있습니다. 자연의 프랙탈 중 하나이기 때문입니다. 이들은 주어진 길이 척도의 모양이 소규모 부품의 모양에 의해 반영되는 물체입니다. Fractals는 수학을 넘어 확장되어 물리학을 주식 시장과 현대 음악에 연결합니다. 그리고“Fractal”이라는 단어를 발견하고 지명 한 Benoit Mandelbrot 교수보다 이것에 대해 누가 더 잘 말하는가? 확실히 지난 50 년 동안 가장 잘 알려진 수학자 중 한 명인 Mandelbrot은 프랑스 시골의 나치에서 숨어있는 동안 타원을 공부하면서 자랐습니다. 뉴욕 북부의 IBM Research에서 35 년이 지난 후 75 세의 나이에 Yale의 교수직이 시작된 후, 프랙탈에 대한 그의 대화는 하얀 곱슬 머리의 충격으로 잘 알려졌습니다. Mandelbrot은 2010 년에 세상을 떠났습니다. 우리는 사후 인터뷰를 조립하기 위해 출판되지 않은 3 개를 포함하여 18 개의 다른 출처를 두 드렸습니다. 이탤릭체로 된 단어는 우리입니다. 나머지는 Mandelbrot입니다. 우리는 그 남자와 대화 할 기회를 놓쳤다. 그러나 우리는 우리가 있다면 이런 일이 있었을 것이라고 확신합니다. (완전히 참조 된 인터뷰 버전은 여기에서 찾을 수 있습니다.)
당신은 많은 지저분한 아이디어에 관심이있는 수학자입니다. 왜?
서클, 타원 및 파라볼라는 내가 젊은 사람이었을 때 나의 사랑 이었지만 야생에서는 매우 드 rare니다. 갈릴레오는 과학에서 그 모양이 필요하다고 주장하는 것이 절대적으로 옳았습니다. 그러나 그들은 충분하지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 단지 대부분의 세계가 큰 거칠고 무한한 복잡성이기 때문입니다. 부러진 돌을 가져 가라. 모두가 복잡하다고 말합니다. 나는 돌이 끊어진 후 라틴어가 언급 한 Fractus에서 Fractal이라는 단어를 만들었습니다. 거칠고 불규칙하며 분해됩니다. 이제 부러진 돌의 모양을 어떻게 묘사합니까? 깨진 금속 조각의 모양을 어떻게 설명 하시겠습니까? 놀랍게도, 거칠기를 정의하는 데 사용되는 절차는 매우 불만족스럽고 매우 임시로, 그들은 전혀 물질을 잡지 못했습니다. Fractal Geometry의 경우 결과는 특별하고 깨끗한 단순성입니다. 이 모양의 본질을 설명하는 것은 적절한 언어입니다.
정확히 프랙탈은 무엇입니까?
프랙탈의 단일 수학적 정의는 없습니다. 프랙탈을 이해하려면 나무를 생각하는 것이 가장 좋습니다. 나무에서, 당신이 지점을 가져 가면, 서브 브랜치가있는 가지는 나무 전체와 매우 비슷하지만 자연스럽게 작습니다. 더 작은 가지를 가져 가면 다시 나무 전체 나 각 지점과 같습니다. 따라서 나무는 부분으로 나눌 수 있으며 각 부분은 전체 나무와 매우 가깝습니다. 최종 분석에서, 프랙탈 방법은 자연적이든 인공적이든 자체 유사한 방식으로 분해되는 "부품"으로 분해되는 "시스템"을 분석하는 역할을 할 수 있습니다.
거칠기와 자기 유사성은 밀접하게 연결되어 있습니다. 그러나 거칠기가 정말로 그렇게 중요합니까?
거칠기는 자연과 문화에서 유비쿼터스입니다. 은하의 분포와 폐의 해안선, 산, 구름, 나무 및 다양한 덕트의 형태에서. 또한 스톡 가격 차트, 그림, 음악 및 몇 가지 수학적 구성 (잘 알려진 것과 내가 아버지가있는 것)에서도.
그래서 당신은 많은 실제 상황에 과학을 연결했습니다.
나는 코페르니쿠스가 아니라 케플러가 아니라 케플러를 모방 할 수있는 분야를 깊이 파악하고 싶었다. 나는 정확한 순간에 매우 높은 가치를 부여하고 모든 응용 프로그램에서 매우 추상적이고 장난감으로 제거 된 아이디어가 도구로 만들어져 자연의 혼란의 일부를 이해하는 데 사용될 때 매우 높은 가치를 부여합니다. 나는 항상“순수한”수학의 필요와 그리스 신화의 특정 영웅 인 Antaeus 사이의 친밀한 친밀감을 보았습니다. 지구의 아들 인 그는 어머니와의 접촉을 다시 확립하기 위해 땅을 자주 만지야했다. 그렇지 않으면 그의 힘이 약 해졌다. 그를 교살시키기 위해, Hercules는 단순히 그를 땅에서 붙 잡았습니다.
당신은 자신을 응용 과학자라고 부릅니까?
나는 나 자신을 수학적 과학자라고 부릅니다. 예일에서 내 의자의 공식 이름이며 조심스럽게 선택되었습니다. 의도적으로 모호합니다. 다른 시대에 나는 나 자신을 자연 철학자라고 불렀을 것입니다. 어떤 사람들은 저를 실험 철학자라고 부릅니다.이 용어는 다른 의미가 없기 때문에 의문의 여지가 없기 때문에 나는 철학자입니다. 나는 또한 물리학 자, 경제학자, 그리고 일종의 예술가입니다.
당신은 당신의 전형적인 학업처럼 들리지 않습니다.
거의 모든 대학을 다소 작고 매우 좁은 기반 비즈니스, 즉 다양한 부서로 묘사 할 수 있습니다. 저의 작품은 과학 분할이 매우 해롭다는 강한 믿음에서 영감을 받았습니다.
어떻게 그렇게?
놀랍고 실망스러운 정도로 과학은 기꺼이 프로 스포츠의 특징으로 낮아졌으며, 선수의 가치는 좁게 정의 된 사건 내에서만 평가됩니다. 나에게 이것은 올림픽을 매우 둔한 형태의 전문 엔터테인먼트로 만듭니다.
그리고 당신은 그 반대편에서 기쁨을 얻었습니다.
저를 가장 기뻐하는 것은 일반적인 조건 하에서 유기적 링크가 없어야했지만 동일한 리듬과 매우 다른 방향으로 완전히 함께 발전한 많은 다른 측면이 있다는 사실입니다.
이 접근법에 대한 가격을 지불 했습니까?
한때, 여전히 어렸을 때, 나는 미국 최고의 대학에서 받았을 때, 다음 날 딘이 다른 여러 분야에서 나의 전문적인 활동에 걱정하게 된 후 다음날 매우 매력적인 제안을 받았습니다. 기존의 동료 검토 비둘기 구멍에 나에게 맞는 방법을 모르면서 대학은 저를 고용 할 방법을 보지 못했습니다. 경제학 분야에서 일할 때, 나는 연구 논문에서 내 방법이 일반적인 철학의 일부, 불규칙성과 혼돈에 대한 특정 접근법의 일부이며 물리학에서도 중요하다는 것을 알려줄 수 있도록 죽어 가고있었습니다. 변함없이, 심판은이 진술을 꺼내라고 요청했습니다. 나중에 나는 난기류를 공부하기 위해 갔고 편집자들은 그들이“모호한 철학”으로 경멸 한 것을 잘라 내고 조작에 대한 더 많은 공식과 더 많은 세부 사항을 제공하도록 강요했다. 각각의 경우, 나는 현장에서 기술자 인 척했다.
경제에 대한 관심을 어떻게 발전 시켰습니까?
배경은 고대 주제, 즉 개인 소득 분배 법에 대해 이전에 한 일에 있습니다. 나는 Hendrik S. Houthakker가 감독 한 하버드 세미나에서 연설하도록 초대되었습니다. “행크스”사무실에 들어서 자, 그 날을 내 인생에서 가장 기억에 남는 날 중 하나로 만든 놀라움을 받았습니다. 그의 칠판에있는 독특한 다이어그램은 내가 강의에서 그려려고했던 것과 거의 동일하게 보였다! 나는 어떻게 개인 소득에 대해 방금 발견 한 것이 이미 이미 전시되어 있다고 어떻게 물었다. “당신이 무슨 말을하는지 모르겠습니다. 이 다이어그램은 면화 가격에 관한 것입니다.” 그는 내가 도착하기 전에 학생과 함께 일하고 있었고, 칠판은 아직 지워지지 않았습니다.
왜 다이어그램이 비슷 했습니까?
모든 가격 차트는 비슷하게 보입니다. 물론, 일부는 올라가고 일부는 내려갑니다. 그러나 매일, 매월, 매년, 전반적인 외관에는 큰 차이가 없습니다. 날짜와 가격 마커를 제거하면 어느 것이 어느 것을 알 수 없습니다. 그들은 모두 똑같이 흔들립니다. 그러나 이것이 바로 우리가 면화 데이터에서 볼 수있는 것입니다 :프랙탈 패턴. 여기서, 프랙탈 스케일링은 콜리 플라워의 꽃과 같은 모양으로 이루어지지 않습니다. 오히려, 그것은 가격이 다른 방식으로 다른 종류의 패턴에 적용되고 있습니다. 금융의 핵심은 프랙탈입니다. 그래서 모든 것이 완전한 원입니다. Houthakker의 면화 차트가 내 소득 차트처럼 보인 것은 우연이 아닙니다. 수학은 동일했습니다.
당신은 이질적인 아이디어를 시각적으로 연결했습니다.
그것은 나의 과학적 삶의 이야기입니다 :내가 찾을 때, 나는보고,보고,보고, 그리고 사진을 가지고 놀아라. 사진을 보면 과학 도구를 읽는 것과 같습니다. 하나는 결코 충분하지 않습니다. 위대한 생물 학자이자 철학자 인 독일 태생의 친구는 과학의 진보가 가능한 한 그림을 제거하는 데있어 이론화하기까지했습니다. 수학은 초등학교 교과서에서도 완전히 추방 되었기 때문에 완벽했습니다. 나는 사진을 다시 넣었다. 이것은 대부분의 동료들에 의해 매우 적대적인 방식으로 받았습니다. 그 이후로, 그림에 대한 반대는 단순히 매우 유익했고 인간이 지속적으로 변화하고 있기 때문에 단순히 약화되었습니다.
이런 종류의 도구는 위험이 없지만
사진은 속이고 지시 할 수 있습니다. 뇌는 그것이 패턴으로 상상하는 것을 강조합니다. 그것은 모순 된 정보를 무시합니다. 인간 본성은 세계에서 질서와 계층 구조를보고 싶어합니다. 그것을 찾을 수없는 곳에 발명 할 것입니다.
왜 이런 생각이 더 흔하지 않습니까?
그림은 과학에서 저평가되었습니다. 그들은 신뢰할 수 없습니다. 그것은 부분적으로 프랑스 수학자 Lagrange와 LaPlace의 200 세의 유산이며, 모든 논리적 사고를 정확하게 정밀하게 줄이고 신중하게 선택된 단어를 감소시키기 위해 엄청나게 일했습니다. 조잡한 다이어그램은 의심되었습니다. 그들의 동기는 부분적으로 기술적 인 것이 었습니다. 당시 그림은 부정확하고 비용이 많이 들었습니다. 그러나 우리의 일생 동안 컴퓨터는 모든 것을 바꿨습니다.
일반 대중 중 당신은 의 일부로 가장 잘 알려져 있습니다. 당신의 일에서 나온 아름다운 프랙탈 사진 .
수학은 불합리하게 효과적인 아름다운 모양의 원천입니다. 그들은 우리에게 자신의 용어로 예술가들과 경쟁하는 특권을줍니다. 그것은 창조의 가장 위대한 화가들에 의한 사람들과 동등하지 않을 수있는 모양을 만드는 것입니다. 그들은 초보자 일뿐입니다. 그들은 그 분야에서 전문적이지 않습니다. 우리는 그리는 법을 배우고 있습니다. 컴퓨터 예술의 렘브란트 또는 피카소는 아직 자신을 나타내지 않았습니다. 그러나 우리가 이미 보는 것은 아마도 공식별 예술이 새로운 형태의 예술의 시작 일 수 있다는 것을 매우 고무적입니다.
Benoit의 신체 프랙탈 퀴즈
인체는 프랙탈로 가득합니다. 우리는 그들 중 일부를 끌어 냈습니다. 어느 신체 부분과 어떤 프랙탈 모양이 진행되는지 추측 할 수 있습니까?
예술이 수학을 섹시하게 만들 수 있습니까?
많은 친구들이 프랙탈 기하학에 대한 위대한 것 중 하나는 아내와의 관계를 개선했다는 것입니다. 오랫동안 그들은 아내에게 그들이하고있는 일이 너무나 아름답다고 말하고 있었기 때문에 환상적인 아름다운 정리, 오래된 정리에 대한 환상적으로 아름다운 증거, 또는 환상적으로 아름다운 무언가에 대한 생각을 발견했습니다. 그리고 그들의 아내들은“그렇습니다.”라고 말하는 일종의 고개를 끄덕였습니다. 그런 다음 같은 남편이 내 사물이나 사물을 위해 사진을 가지고 돌아와서 내 생각을 사용하고 아내들에게“당신은 아름다움에 대해 말하고 있습니다…”
왜 프랙탈 아트를 특별하게 만드는가?
가장 최소한의 예술가의 예술조차 가져 가서 수신자가 정확하게 재현 할 수 있도록 편지로 설명하려고 노력하십시오. 그렇게하려면 말로 매우 긴 설명이 필요합니다. 그러나 프랙탈 드래곤을 생성하는 방정식은 한 줄 길이이며, 올바른 지적 및 컴퓨팅 장비를 가진 사람에게 주면 정확히 재현 할 수 있습니다. 이 예술은 가장 최소한입니다.
수학과 예술이 이런 식으로 상호 작용하는 것은 드문 일입니까?
수학자들은 다른 모든 과학자들과 실제로 다른 모든 인간들과 다릅니다. 수학은 당신에게 모호함을 견딜 수 없도록 훈련하기 때문입니다. 요구 사항입니다. 그러나 우리는 논란의 여지가 있지만 고대 주제의 새로운 형태를 다루고 있으며 수학 개념의 모든 그래픽 표현은 예술의 형태이며, 화가의 용어를 빌릴 때 가장 단순 할 때 가장 좋은 예술의 형태라는 것이 "최소 예술"이라고 불릴 수 있습니다. 그중 일부는 M.C.를 연상시킵니다. 에셔? Escher는 Fricke &Klein 1897의 쌍곡선 타일링에서 영감을 얻게 된 장점이 있었기 때문에 프랙탈“New Geometric Art”는 그랜드 마스터 그림이나 Beaux Arts Artsucture에 놀라운 친밀감을 보여줍니다. 진정으로 익숙하지 않기 때문에 프랙탈 아트가 쉽게 받아 들여질 수 있습니다.
예술과의 연결이 너무 강력하다면, 예술가들은 자신의 작품을 알아 차렸을 것입니다.
놀랍도록 많은 예술가들은 프랙탈의 본질에 대한 그들의 이해를 표현할 어휘가 없었지만, 그러한 이해는 그들의 작품에서 분명히 이루어집니다.
몇 가지 예를 제시 할 수 있습니까?
엄격하게 프랙탈 음악의 여러 학교가 있습니다. [미국 작곡가 Charles] Wuorinen은 그의 작품에서 프랙탈 테마를 매우 강력하게 사용하지만 프랙탈 음악을 구성하지는 않습니다. [헝가리 작곡가] Gyorgy Ligeti도 저의 매우 좋은 친구입니다. 그는 언어가 설명 할 수없는 음악에 존재하는 특정 구조에 대한 느낌이 있다고 말했다. 그는 예를 들어 학생들에게 다소 가르쳐야 할 것입니다. 그리고 그가 프랙탈에 관한 책을 처음 보았을 때 그는이 구조가 단순히 프랙탈 구조라는 것을 깨달았으며 그에 크게 영향을 받았습니다. 그는 내 사진을 볼 때까지 음악의 중요한 측면을 이해하지 못했다고 확신했다. 프랙탈이어야하기 때문에 기뻐하는 것처럼 자유롭지 않다. 음악 학교는 음악을 소음과 구별하는 방법을 결코 가르쳐주지 않았습니다. Wuorinen과 Ligeti는 나에게 와서 어린 시절에 어떤 작품이 너무 세부적이었고, 다른 작품이 너무 많은 세부 사항을 가지고 있었고, 음악이 다른 일을하기 전에, 작은 세부 사항, 중간 크기의 세부 사항 및 큰 세부 사항을 가져야한다고 말했기 때문에 음악이 어렸을 때 음악이 무엇인지 오랫동안 이해했다고 말했다. 모차르트 소나타를 듣는다면 아주 잘 보입니다. 그것은 조각으로 자르고 무언가가 항상 바뀝니다. 그리고 그 원소 아이디어는 음악의 수용 가능성에 필수적입니다.
및 외부 음악?
러시아 화가는 Wassily Kandinsky가 약 3 피트 정사각형의 종이로 작업하면서 촬영되었습니다. 그는 전체적으로 슬래시로 시작한 다음 더 짧은 슬래시를 추가했습니다. 영화가 멈췄을 때, 그는 칸딘스키의 그림을보고있는 느낌을 확인하면서 많은 짧은 슬래시를하고있었습니다. 이탈리아에서 주로 일한 프랑스 화가 인 Claude Lorrain은 현실적이라고 주장하는 풍경을 그렸지만 실제로는 매우 단순화되고 손쉬운 용어로 쉽게 해석됩니다. 바다에서 타는 선박의 조셉 터너 (Joseph Turner)의 특별한 야생 이미지는 유클리드와 프랙탈 모양을 완벽하게 결합합니다. 아티스트의 출판 된 편지에서 찾을 수있는 그의“젊은 화가에게 조언”에서 유진 델라 크로이 (Eugene Delacroix)는 자신이 직관적으로 프랙탈을 이해했음을 보여 주었지만 그 당시 아무도 후속 조치를 취할 수 없었습니다. 나는 과학자들이 놓친 현상을 모으는 역할을 가득 채웠으며 화가 나 사진가들은 구현했지만 결코 공식화되지 않았다.
특히 프랙탈이 예술가들과 공명 했는가?
그리스도 앞 6 세기에 아름다움의 생각은 매우 요약되었습니다. 다른 어떤 것보다도 아름다움은 부분과 전체 사이의 균형을 의미합니다. 숙련 된 예술가들은 모든 크기의 에디 혼합물과 같은 배열을 찾아야합니다. 그렇다고 모든 크기의 요소가 자연, 즉 프랙탈로 분포된다는 것을 의미하지 않습니까? 나는 파리 오페라가 엄청난 건물이라는 사실에도 불구하고 파리 오페라가 인간의 규모가 아니라고 말하는 사람을 결코 듣지 못했습니다. 왜 그 느낌을 이끌어 내지 못합니까? 건축가 Charles Garnier는 그의 디자인이 모든 규모의 특징을 통합 할 것이라고 확신했기 때문에.
예술과 공명하는 수학의 다른 예는 무엇입니까?
유클리드의 첫 번째 번역은 피렌체 언어로 이루어졌습니다. 다시 말해, 이탈리아어로. 유클리드를 고려한 이탈리아 최초의 사람들은 누구입니까? 수학자가 아니라 건축가와 화가. 1300 년경 Giotto와 같은 화가들은 관점을 나타내는 방법을 찾고있었습니다. 그들은 실패했습니다. 나중에 유클리드가 알려지고 관점이 확고해질 때까지. Pierre Della Francesca의 작품에서 1500 년경 관점은 너무 강하고 압도적이어서 처음으로 그림에서 공간과 대상의 분리가 있음을 알 수 있습니다. 많은 사람들은이 그림의 영향이 과학에 매우 크다고 생각합니다. 그런 다음 과학 자체가 참조 지점과 그에 대한 사건을 분리 할 수 있습니다.
예술과 과학 사이에 양방향 거리가 있습니까?
나는 예술을 과학에서 분리하고 각 활동을 비 전달 작품으로 나누는 것이 잘못이라고 생각합니다. 나는 [물리학 자 Richard] Feynman과의 멋진 방문을했고, 우리는 그것에 대해서만 이야기했습니다. 누군가는 어떻게 그림이나 무언가를 가지고 있지 않고 당신의 손을 잡지 않고 아무것도 이해한다고 주장 할 수 있습니까? 그리고 그는이 용어로 표현하지 않은 것이 불완전하고 이해할 수 없다는 생각에 대해 매우 강조했습니다.
자신은 어떻습니까? 당신은 당신의 작품을 예술로 보았습니까?
나는 매일 수학과 예술을 혼합합니다. 독일어가 Kunst [Art]를 자유롭게 사용하는 것을 꺼려하지 않았다면,이 오페라 애호가는 그의 삶의 노력을 gesamtkunstwerk [All-embracing Art Form]으로 묘사 할 것입니다.
당신은 프랙탈에 대한 아이디어로 강력하게 식별했습니다.
오늘은 프랙탈 형상이 조직 될 때까지 내 인생이 프랙탈 궤도를 따라 갔다고 말할 수 있습니다. 나는 청소년기 이후로 나를 밀어 붙인 야생의 야망을 계속 생각하고 있습니다. 각 부분 성공은 오래된 기대 나 오래된 굶주림을 불러 일으켰습니다. 아이러니하게도,이 같은 패턴은 내 연구에서 종종 다루는 패턴입니다. 반복해서, 나는 다른 과학자들에 대한 경쟁 우위로 한동안 축복을 받았지만, 그 이유는 내가 수학자로서 더 강력하다는 것이 아니라 내 생각이 그 자신의 독특한 길을 따라 진행하는 방법을 가지고 있었기 때문입니다. 내 인생 이야기의 [외부]는 지속적으로 깨진 것처럼 보입니다. 나는 많은 분야를 통해 매우, 매우 희미한 실을 추구하고 있다는 느낌이 들었습니다. 훈련과 내가 아무것도 알지 못하는 분야에 들어가서 바보라고 부르 겠다는 의지로 인해 내 이름을 철자 해야하는 분야에 들어가서 평화로운 외부인으로 대우받는 분야에 들어가는 것입니다.
그리고이 희미한 스레드는 어떤 결론으로 당신을 이끌었습니까?
수학, 과학 및 아름다움은 마음의 별도의 활동이 아닙니다. 그들은 동일합니다. 하나의 크고 놀라운 영역의 다른 구석.
최근에 출판 된 의 모든 발췌 Benoit B. Mandelbrot의 Fractalist 는 Random House, Inc.의 부서 인 Pantheon의 허가에 의해 발췌됩니다. Copyright © 2012 By Benoit Mandelbrot. 모든 권리 보유. 이 발췌문의 일부는 출판사의 서면 허가없이 재생산되거나 재 인쇄 될 수 없습니다. 이 책은 구입할 수 있습니다 여기 .
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