부분 분수에 의한 통합

통합은 계산의 중요한 부분이며 다양한 방법을 사용하여 수행됩니다. 통합에 사용되는 모든 방법 중에서 부분 분획으로의 통합은 방법 중 하나입니다. 이에서, 복잡한 합리적 분수는 부분 분수로 변환되며, 이는 합리적인 분수를 부분 분획으로 분해하기위한 공식을 사용하여 더 간단한 형태로 변환된다. 그런 다음 통합이 수행됩니다. 복잡한 합리적 분수로 작업하여 부분 분수로 통합을 수행하는 것을 살펴 보겠습니다.

정의

분수 형태의 대수 방정식이 복잡한 경우, 이는 분수 또는 더 간단한 부분으로 나뉩니다. 이 간단한 부분을 부분 분수라고합니다. 예를 들어, 6/8은 1/4+1/2로 나눌 수 있으며, 같은 방식으로 복잡한 합리적 분획을 더 간단한 분수로 나눌 수 있습니다.

2/(x+1) - 1/x

추가시

2/(x+1)-1/x =(x-1)/(x2+x).

지금 우리가 있다면

(x-1)/(x2+x)

따라서

(x-1)/(x2+x) =2/(x+1)-1/x>

위에서, 부분 분수가 간단한 분수로 변환된다는 것을 알 수 있습니다. 따라서이 분수를 쉽게 통합하는 것이 쉽습니다. 따라서 부분 분수에 의한 통합은

∫ [f (x)/g (x)] dx =∫ [p (x)/q (x)] dx + ∫ [r (x)/s (x)] dx

여기서, f (x)/g (x) =p (x)/q (x) + r (x)/s (x) 및

g (x) =q (x) .s (x)

합리적 분수를 부분 분수로 분해하는 규칙

아래는 합리적 분율을 부분 분수로 나눌 수있는 공식이며, 이는 통합하기 쉬운

어떤 경우 부분 분수가 작동합니까?

적절한 합리적 분수의 경우 부분 분수를 직접 수행 할 수 있습니다. 부적절한 합리적 분수의 경우,이를 적절한 합리적 분수로 나누어야합니다 (다항식 장부 방법의 도움으로 수행 할 수 있음). 

부분 분율에 의한 통합 (참고).

부분 분수로의 통합은 이해하면 쉽게 수행 할 수 있습니다. 통합 프로세스에서 부분 분수로 예를 들어 봅시다. 

have the take, ∫ [6/(x2-1)] dx

공식별 :x2-1 =(x+1) (x-1)

우리가 얻는 방정식의 공식을 사용하여 :

∫ [6/(x2-1)] dx =∫ [6/(x+1) (x-1)] dx

이런 종류의 합리적 형태에 부분 분수 공식을 사용하여 다음과 같이 얻습니다.

6/(x+1) (x-1) =a/(x-1)+b/(x+1)

이제, 우리는 양쪽에 공통 분모를 만들어 A와 B의 값을 찾아야합니다.

6/(x+1) (x-1) =[a/(x-1)] [(x+1)/(x+1)]+[b/(x+1)] [(x-1)/(x-1)]

6/(x+1) (x-1) =[a (x+1)+b (x-1)]/(x-1) (x+1)

우리는 분모를 양쪽의 분모와 동일하게 만들었으므로 분자도 같을 것입니다.

6 =[a (x + 1) + b (x-1)]

해결시,

a =3, b =-3

따라서

6/(x+1) (x-1) =3/(x-1)+(-3)/(x+1)

이제 우리는 다음을 쓸 수 있습니다.

∫ [6/(x2-1)] dx =∫ [3/(x-1)-3/(x+1)] dx

해결시 :

∫ [6/(x2-1)] dx =-3ln (| x+1 |)+3ln (| x-1 |)+c

부분 분율을 해결하기위한 팁.

• 적절한 분수가 있으면 시작하지만 부적절한 분수가 있으면 적절하게 만드는 것 사이에서 나누어야합니다.

  .

• 바닥은 선형 요인으로 고려되어야합니다.

• 이후에 모든 요소에 대한 부분 분수를 작성하고 지수를 씁니다.

  .

• 이제 전체 방정식에 바닥을 곱해야합니다.

• 계수를 해결하기 위해 제로를 바닥에 대체합니다.

부분 분율에 의한 통합을위한 해결 된 예

q. ∫xx+23-2xdx

솔루션 :부분 분수 공식을 사용하여

우리는 그것을 말할 수 있습니다. i =∫xx+23-2xdx

따라서 우리는 얻을 수 있습니다

a (3 - 2x) + b (x + 2) =x

또한 다음을 얻습니다.

3 - 2x =0

이제 x의 값을 찾아 봅시다

3 =2x

따라서 x =32

및 a (0) + b (32+ 2) =32

계산시,

b (72) =32 여기서 b =37

더 계산할 때

지금, x + 2 =0을 취할 때 여기서 x =-2

a (7)+b (0) =-2

지금, a =-27

• 우리는 ∫xx+23-2xdx =-27 × 1x+2+37 × 13-2x

• 이것은 ∫xx+23-2xdx =∫1x+2 dx+37∫13-2xdx

  로 작성할 수 있습니다.

이제 x,

=-27 log | x + 2 | + 37 × 1-2log | 3-2x | + c

그래서 이제 우리는 얻을 수 있습니다.

=-27log | x + 2 | + 3-14 로그 | 3-2x | + c

따라서 위의 부분 분수 예와 통합 솔루션이 있습니다.

결론

따라서, 우리는 위의 모든 합리적 분수가 통합하기 쉽지 않다는 결론을 내릴 수 있습니다. 일부 합리적인 분수는 일부 공식을 사용하여 부분 형식으로 변환되어 통합을 수행해야합니다. 부적절한 합리적 분수는 추가 절차를 수행하도록 나누어 적절한 합리적 분수로 변환되어야합니다. 대조적으로, 적절한 합리적 분수의 경우 부분 분수로 변환 한 다음 통합을 수행 할 수 있습니다.