1. 문제 설정
* 구 : 우리는 반경 *r *및 균일 밀도 *ρ *의 구를 고려할 것입니다.
* 회전 축 : 우리는 구의 중심을 통과하는 회전 축을 선택합니다.
* 관성의 순간 : 구의 관성 모멘트 (I)는 구를 구성하는 모든 무한 질량 요소 (DM)의 관성 모멘트의 합의 합입니다.
2. 무한 질량 요소 (DM) 정의
*구를 반경 *r *와 두께 *dr *의 얇은 구형 껍질로 나누는 것을 상상해보십시오.
*각 쉘의 볼륨은 대략 *4πr² dr *입니다.
*각 쉘의 질량은 *dm =ρ (4πr² dr) *입니다.
3. 단일 쉘의 관성 순간
*회전 축에 대한 단일 쉘의 관성 모멘트 (di)는 *di =(dm) r² *입니다.
* *dm *:*di =ρ (4πr² dr) r² =4πρr⁴ dr *에 대한 표현을 대체합니다.
4. 구체에 통합
*구체의 총 관성 모멘트 (i)를 찾으려면 *di *를 *r =0 *~ *r =r *로 통합합니다.
* i =idi =∫₀ᴿ 4πρr⁴ dr
5. 적분 해결
* i =4πρ 4 r ⁴ dr =4πρ [r⁵/5] ₀ᴿ =(4πρr⁵)/5
6. 질량과 밀도 관련
*구의 총 질량 (m)은 *m =ρ (4/3) πr³ *입니다.
* *ρ *를 해결하면 *ρ =(3m)/(4πr³) *가 제공됩니다.
7. 최종 결과
* * ρ *에 대한 표현을 관성 공식의 순간으로 대체합니다.
* i =(4π (3M)/(4πr³))/5
* i =(2/5) mr²
따라서, 중심을 통과하는 축을 중심으로 균일 한 밀도 및 질량의 고체 구체의 관성 모멘트는 (2/5) mr², 여기서 m은 질량이고 R은 반경입니다.
