단위 부피당 탄성 변형 에너지의 유도
변형 에너지 밀도 라고도하는 단위 부피당 탄성 변형 에너지 , 탄성 변형으로 인한 재료 내에 저장된 잠재적 에너지의 양을 나타냅니다. 파생은 다음과 같습니다.
1. 변형 중 작업 :
일증 스트레스를받는 재료 (한 방향으로 스트레스)를 상상해보십시오. 응력은 σ로, 변형은 ε로 표시됩니다. 재료가 무한 양 Dε에 의해 늘어날 때, 응력에 의해 수행 된 작업은 다음과 같습니다.
dw =σ * a * dε
여기서 A는 재료의 단면적입니다.
2. 완료된 총 작업 :
재료를 ε =0에서 ε =εf (최종 변형) 변형시키는 데 수행 된 총 작업을 찾으려면 위의 방정식을 통합합니다.
w =∫dw =∫ 0 εf σ * a * dε
3. 단위량 당 변형 에너지 (U) :
변형 에너지 밀도 (U)는 단위 부피당 총 작업입니다.
u =w/v =(1/v) * ∫ 0 εf σ * a * dε
4. 응력-변형 관계 대체 :
선형 탄성 재료의 경우 응력과 변형은 Hooke의 법칙과 관련이 있습니다. σ =eε, 여기서 e는 젊은 모듈러스입니다. 이것을 u의 방정식으로 대체합니다.
u =(1/v) * ∫ 0 εf eε * a * dε
5. 적분을 단순화 :
e와 a는 상수이기 때문에 우리는 그것들을 적분에서 꺼낼 수 있습니다.
u =(ea/v) * ∫ 0 εf ε * dε =(ea/v) * (εf 2 /2)
6. 볼륨 인식 :
부피 (v)는 a * l로 표현 될 수 있으며, 여기서 L은 재료의 초기 길이입니다. 이것을 방정식으로 대체합니다.
u =(e * a * εf 2 ) / (2 * a * l) =(e * εf 2 ) / (2 * l)
7. 최종 방정식 :
마지막으로, εf =ΔL/L, 여기서 ΔL은 길이의 변화이므로 길이의 변화 측면에서 변형 에너지 밀도를 발현 할 수 있습니다.
u =(e * (Δl) 2 ) / (2 * l 2 )
이 방정식은 단축 응력을 겪는 재료에 대한 탄성 변형 에너지 밀도를 나타냅니다. 보다 복잡한 스트레스 상태의 경우, 파생에는 더 복잡한 응력-변형 관계 및 여러 차원에 대한 통합이 포함됩니다.
중요한 메모 :
*이 파생은 Hooke의 법칙에 따라 선형 탄성 재료를 가정합니다.
* 변형 에너지 밀도는 스칼라 양이며, 재료의 단위 부피당 저장된 에너지를 나타냅니다.
*이 공식은 탄성 변형 만 고려합니다. 소성 변형의 경우 에너지는 열로 소산되고 탄성 변형 에너지의 개념은 적용되지 않습니다.
