입자 물리학의 무한대 해결:새로운 접근 방식

입자물리학의 핵심에 숨어 있는 끝없는 무한성을 길들이는 방법

입자물리학에서는 모든 계산의 결과가 무한대여야 합니다. 물리학자들은 방정식의 특정 부분을 무시함으로써 이 문제를 해결합니다. 이는 대략적인 답을 제공하는 접근 방식입니다. 그러나 연구자들은 '부활'이라고 알려진 기술을 사용하여 무한을 끝내고 완벽하게 정확한 예측을 하기를 희망합니다.

Quanta Magazine의 토미 파커

소개

양자 이론의 핵심에 있는 치명적인 결함을 고치는 비결은 1980년대의 세 가지 알려지지 않은 교과서에 있을 수 있습니다. 그러나 물리학자들은 그 책이 아마추어적이고 위협적인 것처럼 보이기 때문에 잠재적으로 변화를 가져올 수 있는 아이디어를 간과한 점을 용서받을 수 있습니다.

Jean Écalle의 대작의 몇 안 되는 실제 사본은 미화된 사본에 불과해 보입니다. 두꺼운 검정 잉크로 휘갈겨 쓴 커다란 수학 기호는 깔끔하게 입력된 문장을 방해하는 경우가 많습니다. 텍스트도 프랑스어로 작성되어 영어권 연구자에게는 불편함을 줍니다.

수학 자체가 또 다른 장벽을 제시합니다. 3부작의 1,110페이지에는 독창적인 수학적 대상과 기괴한 화폐가 가득합니다. "트랜스 시리즈", "분석 가능한 세균", "외계 파생물", "가속 합계"와 같은 이상하게 들리는 용어가 많이 있습니다.

책장에 "역사적 문서"라고 부르는 것을 보관하고 매일 Écalle에서 개발한 도구를 사용하는 제네바 대학의 수학 물리학자인 Marcos Mariño는 "처음으로 이것을 보고 주의깊게 읽지 않으면 미친 짓을 쓰는 미친 놈이라고 생각할 수 있습니다"라고 말했습니다. "물론 그렇지 않습니다. 그는 선구적인 수학자 중 한 사람입니다."

그의 환상적인 수학은 지난 70년 동안 물리학자들이 어느 정도 무시해 왔던 심오한 개념적 당혹감을 극복하는 데 꼭 필요한 것일 수도 있습니다. 그 기간 동안 물리학자들은 아원자 세계에 대해 놀라울 정도로 정확한 예측을 하는 방법을 배웠습니다. 그러나 이러한 예측은 비록 정확하더라도 근사치입니다. 절대적인 정확성을 추구한다면 교과서 양자 이론은 무너지고 무한한 답을 제시합니다. 많은 물리학자들이 수학적 쓰레기로 간주하는 무의미한 결과입니다.

물리학자들은 Écalle의 오래된 교과서를 연구함으로써 이러한 무한한 답에 셀 수 없이 많은 보물이 포함되어 있으며, 그가 개발한 수학적 도구를 통해 충분한 노력을 기울이면 무한대를 취하여 모든 양자 질문에 대한 유한하고 흠 없는 답을 찾아낼 수 있을 것이라고 의심하게 되었습니다.

'부활'이라는 이름으로 통칭되는 이 전략을 연구하는 물리학자 마르코 세로네(Marco Serone)는 "실제로 많은 경우 매우 아름답게 작동한다"고 말했습니다. "어느 시점에서 이 과정은 끝나고, 눈앞에 보이는 것은 원래 문제에 대한 정확한 해결책입니다."

부활 커뮤니티는 규모가 작지만 수년에 걸쳐 꾸준한 발전을 이루었습니다. 이 기술의 프로토타입은 입자의 행동으로 제한되는 양자역학에서 정확한 결과를 얻었습니다. 그리고 더욱 정교한 구현을 통해 일부 물리학자들은 양자장 이론, 그리고 최근에는 끈 이론의 어두운 바다 속으로 더 깊이 들어갈 수 있게 되었습니다. 그러나 이는 부활 실무자들이 품고 있는 큰 꿈의 시작일 뿐입니다. 그들은 물리학 이론의 무한성에 대해 생각하는 새로운 방식을 목표로 하고 있습니다. 이는 이론상으로 그리고 어쩌면 실제로도 유한한 세계에 더 잘 부합하는 방식입니다.

폭발적인 가능성

양자장 이론(전자와 같은 입자가 기본 양자장에서 실제로 지속되는 파문이라는 개념)은 전후 물리학자들이 무한대에 정면으로 직면하게 만들었습니다.

이러한 양자 장은 상상할 수 없을 정도로 복잡한 짐승입니다. 일시적인 잔물결과 응집력 있는 파동이 겉으로는 빈 공간을 휘젓고 있습니다. 이러한 지나가는 잔물결은 원칙적으로 언제, 어떤 수로, 어떤 에너지로든 나타날 수 있습니다. 물리학자들은 단순한 실험의 정확한 결과를 이해하기 위해 끝없이 배열된 아원자 혼합을 설명해야 합니다.

1940년대에 도모나가 신이치로, 줄리안 슈윙거, 리처드 파인만은 모두 양자 전자기장의 무한한 복잡성에서 유한한 답을 얻는 동등한 방법을 연구했습니다. 오늘날 파인만의 프레젠테이션에서 가장 잘 알려진 계산은 점점 더 비잔틴적인 양자 가능성의 행렬을 나타내는 "파인만 다이어그램"의 무한한 문자열 형태를 취했습니다. 가능한 가장 간단한 사건(예:공간을 통해 이동하는 전자)에 대한 다이어그램으로 시작하고 전자가 자기장에서 얼마나 흔들리는지와 같은 측정 가능한 특성을 계산합니다. 다음으로 전자가 잠깐 동안 광자를 방출했다가 즉석에서 재흡수하는 등 더 복잡한 시나리오의 결과를 추가합니다. 그런 다음 섭동 이론으로 알려진 널리 사용되는 수학적 기술에 일시적인 잔물결 두 개, 세 개 등을 포함하는 아원자 드라마를 추가합니다.

서류상으로 이 속성을 계산하면 끝이 없는 "멱급수"가 생성됩니다. 이 방정식은 x라고 부르는 특정 임계값을 포함하는 방정식입니다. , x 제곱, x 세제곱, x의 거듭제곱이 점점 더 높아집니다. , 모두 서로 다른 계수를 곱합니다:

F(x ) =a 0 + a 1x + 에 2x 2 + a 3x 3 + … + a 1,000,000x 1,000,000 + ….

전자기장의 경우 x 값 는 자연의 핵심 상수인 알파로 1/137에 가깝습니다. 이는 세력의 상대적인 약점에 걸맞는 작은 숫자이며, 이 작은 숫자를 더 큰 세력으로 올리면 용어가 급격히 줄어들게 됩니다.

파인만 다이어그램은 물리학자들에게 각 항에 대한 계수(a)를 제공합니다. ’는 계산하기 어려운 부분입니다. 입자가 자기장에서 흔들리는 방식과 관련된 숫자인 전자의 "g-인자"를 계산해 보세요. 가장 간단한 Feynman 다이어그램은 a를 제공합니다. 0, 이는 정확히 2와 같습니다. 그러나 첫 번째 임시 잔물결이 나타나는 조금 더 복잡한 파인만 다이어그램을 고려한다면 a를 계산해야 합니다. 1항, 무한이 고개를 드는 곳입니다. 토모나가(Tomonaga), 슈윙거(Schwinger), 파인만(Feynman)은 이 용어를 유한하게 만드는 방법을 찾아냈습니다. 전자의 g 인자에 대한 약 2.002의 계산은 그 세대의 실험 측정치와 일치했으며, 양자장 이론이 타당할 수 있음을 입증했으며, 그들 중 세 사람은 1965년 노벨 물리학상을 받았습니다.

그들의 접근 방식은 또한 물리학자들이 더 많은 a를 계산하기 위해 점점 더 높은 파인만 다이어그램의 산을 확장해야 하는 새로운 시대를 열었습니다. 의. 그 산들은 가파르고 빨라집니다. 2017년에 한 물리학자는 891개의 파인만 다이어그램에서 털이 많은 방정식을 계산해야 하는 전자의 g 인자를 정확하게 계산하는 20년 간의 노력을 마쳤습니다. 그 결과 시리즈의 다섯 번째 항목이 공개되었습니다.

파인만 다이어그램은 현대 물리학에서 여전히 매우 중요합니다. 전자의 사촌격인 뮤온에 대한 유사하지만 훨씬 더 복잡한 계산 모음이 2021년 헤드라인을 장식했습니다. 한 실험에서 이론적 예측과 십진수 8자리 불일치가 밝혀졌습니다. 이 작은 변칙성은 파인만과 그의 동료들의 노력으로 성장한 우뚝 솟은 건물 너머에 무엇이 있는지 볼 수 있는 최고의 희망 중 하나를 나타냅니다.

그러나 이러한 일련의 실험적 승리는 양자장 이론에 접근하는 이러한 방식이 실제로 전혀 작동하지 않는다는 사실을 숨겼습니다.

파인만 다이어그램의 몰락

또 다른 전후 선구자인 프리먼 다이슨(Freeman Dyson)은 교란적인 양자 이론이 아마도 종말을 고할 것이라는 점을 인식한 최초의 물리학자였습니다. 때는 1952년이었고, 다른 사람들은 파인만의 거듭제곱 시리즈의 첫 두 항이 작고 유한하게 만들어질 수 있다는 사실을 축하하고 있는 반면, 다이슨은 시리즈의 나머지 부분에 대해 걱정하고 있었습니다.

물리학자들은 전자기장의 파인만 다이어그램 처리가 수학자들이 "수렴"이라고 부르는 것으로 밝혀지기를 순진하게 바랐습니다. 수렴 계열에서는 각 후속 항이 이전 항보다 훨씬 작으며, 항이 많을수록 합이 하나의 유한수로 수렴됩니다. 대조적으로, 계열은 "발산"될 수도 있습니다. 즉, 이후 항은 이전 항보다 크고 계열은 제한 없이 늘어납니다. 합계가 "발산"하여 명확하고 의미 있는 답을 제공하지 않습니다.

파인만의 합의 첫 번째 항은 알파의 작은 값으로 인해 실제로 축소되었으며, 다이슨 자신도 처음에 섭동 양자 전자기학이 전체적으로 수렴해야 한다고 결론지었습니다.

그러나 다이슨은 시리즈의 운명에 대해 보다 정교한 추측을 하기 위해 수학적 추론과 물리적 추론을 혼합했습니다. 수학적으로 생각해보면 Dyson은 수렴하는 거듭제곱 계열이 x일 때 더 빠르게 수렴한다는 것을 알고 있었습니다. 더 높은 항(x의 거듭제곱을 포함함)이 더 작아지기 때문입니다. ) 더 빨리 축소됩니다.

하지만 그가 x를 허용했을 때 0을 통과하면 모든 것이 무너졌습니다.

그 이유는 양전하와 음전하를 띤 일시적인 잔물결 쌍을 지속적으로 생성하는 진공과 관련이 있습니다. 이러한 잔물결은 일반적으로 서로를 끌어당기고 사라집니다. 그러나 알파가 음수로 변하면 그 잔물결은 서로를 밀어내고 실제 입자가 될 것입니다. 무(無)에서 입자가 지속적으로 분출되면 다이슨이 말했듯이 "진공의 폭발적인 붕괴"인 우주 붕괴가 촉발될 것입니다.

물리적으로 부정적인 알파는 문제입니다. 그러나 수학적으로 x의 부호는 관련이 없습니다:계열이 작은 음수 x로 분기되는 경우 그러면 작은 양수 x에 대해서도 분기되어야 합니다. . 따라서 작은 양수 알파(즉, 1/137)의 경우 계열도 분기되어야 합니다. 다이슨의 파멸적인 물리적 상황은 파인만의 유명한 양자 전자기학 처리 방식이 결국 무한을 예측했음을 암시했습니다.

메릴 셔먼/Quanta 매거진

오늘날 물리학자들은 양자 전기역학(전자기학의 양자장 이론이라고 함)이 137번째 항쯤에서 발산하기 시작할 것으로 예상합니다. 아마도 a일 것입니다. 138x 138은 a보다 클 수 있습니다. 137x 137이며 이를 합계에 포함하면 예측의 정확도가 낮아지게 됩니다.

문제는 더 높은 항이 파인만 다이어그램의 수에서 폭발적인 증가, 즉 요인 증가로 이어진다는 것입니다. 이는 a를 계산한다는 의미입니다. 9에는 대략 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1(약 362,880개)의 다이어그램이 필요하며 a 10에서는 약 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1(3,628,800)개의 다이어그램이 필요합니다. a에 기여하는 다이어그램의 이러한 계승적 성장 의 힘은 결국 알파의 힘의 축소를 이겨낼 것이며, 그 합은 무한대를 향해 길들여지지 않고 커질 것입니다.

대부분의 물리학자들에게 가장 단순한 양자장 이론의 불가피한 발산은 수십억 년 안에 태양이 죽는 것과 같은 추상적인 문제로 남아 있습니다. 계산이 많고 테스트는 훨씬 적지만 시리즈의 10번째 용어조차 공상 과학 소설처럼 보이는 시기에, 왜 100번째 용어 너머에 숨어 있는 위험에 대해 초조해 하시나요?

그러나 선택된 소수에게는 현대 물리학에서 가장 잘 이해되는 이론이 기술적으로 당신이 묻고 싶은 모든 질문에 대한 무한한 답을 제공한다는 사실이 여전히 매우 혼란스럽습니다. 파인만 다이어그램을 넘어서는 새로운 방법을 연구하고 있는 보스턴 대학의 물리학자 에마누엘 카츠(Emanuel Katz)는 "우리는 무제한의 계산 자원을 사용해도 원칙적으로는 세상을 시뮬레이션하는 방법을 모릅니다."라고 말했습니다.

악마의 발산

한편, 수학자들은 다이슨이 양자 이론에 대해 초조해하기 시작하기 전까지 100년 넘게 다양한 계열에 대해 고민해 왔습니다.

1828년 Niels Henrik Abel은 "다이버전트 시리즈는 악마의 발명품이며 이를 바탕으로 시연하는 것은 부끄러운 일입니다. 대부분의 경우 결과는 타당하고 사실이지만 이상합니다. 이유를 찾고 있습니다."라고 말했습니다.

아벨은 이듬해 26세의 나이로 세상을 떠났습니다. 그러나 세기 말에 앙리 푸앵카레는 분기형 시리즈를 그토록 미끄럽게 만든 이유를 이해하는 데 중요한 발걸음을 내디뎠습니다. 즉, 그것들은 악마적인 것이 아니라 단지 불완전했을 뿐입니다.

푸앵카레는 오래된 질문을 골랐습니다. 세 개의 천체가 어떻게 서로 공전할 수 있을까요? 그는 100년 후 파인만과 다이슨이 양자장을 만났을 때 했던 것처럼 섭동 이론을 사용하여 문제를 해결하기 시작했습니다. 푸앵카레는 무한히 긴 단순한 단위의 합을 사용하여 세 몸체의 궤적을 설명하는 신비롭고 아마도 복잡한 기능을 구축하려고 했습니다. 이는 단순한 레고 조각으로 자동차를 만드는 것과 유사한 과정입니다. 시리즈가 유한한 답으로 수렴되기를 바랐는데, 이는 시리즈가 고유한 기능을 완벽하게 표현했다는 표시입니다.

처음에 그는 자신이 성공했다고 생각했습니다. 1890년에 스웨덴과 노르웨이의 오스카 2세 국왕은 유명한 문제에 대한 그의 진전을 인정하여 푸앵카레에게 상을 수여했습니다. 그러나 그의 해결책이 발표되기 직전에 그는 왕에게 출판을 중단할 것을 요청했습니다. 시리즈가 다양했어요. (혼돈 이론의 기초가 되는) 추가 분석은 그것이 하나가 아니라 두 개의 서로 다른 기능과 일치한다는 것을 보여주었습니다. 이는 이제 물리학자들 모두에게 너무나 친숙한 합병증이었습니다.

세인트루이스에 있는 워싱턴 대학의 수리 물리학자인 칼 벤더(Carl Bender)는 물리학에서 섭동 계열의 많은 항을 계산하고 그 행동을 연구했습니다.

칼 벤더 제공

“당신이 관심을 갖고 있는 물리학 문제가 실제로 수렴 계열과 연관되어 있다면 그것은 완전한 기적이 될 것입니다.” 세인트루이스에 있는 워싱턴 대학의 저명한 수학 물리학자인 칼 벤더(Carl Bender)가 말했습니다. (오늘날 물리학자들은 세 개의 천체가 매우 다양한 방식으로 셀 수 없이 상호 작용할 수 있으며 어떤 간단한 방정식도 모든 가능성을 포함할 수 없다는 것을 알고 있습니다.)

Bender는 Poincaré가 접한 다양한 계열을 함수에 대한 모호한 관점에 비유합니다. 레고 차량의 블록 실루엣이 수많은 스포츠카와 어울릴 수 있는 것처럼 흐림 효과는 가능한 많은 기능을 수용합니다. 복잡한 함수를 "점근적" 계열로 확장하면 "정보를 잃게 됩니다"라고 벤더는 말했습니다.

푸앵카레 시대 이래로 수학자 및 물리학자들은 다른 유형의 항, 즉 "모든 차수를 뛰어넘는" 항, 즉 가장 작은 거듭제곱 항보다 훨씬 작은 항이 있다는 사실을 인식하게 되었습니다. 이러한 "기하급수적으로 작은" 용어는 e 형식으로 나타날 수 있습니다. (−1/x ) 예를 들어 손실된 정보를 제공합니다. 시리즈에 포함하고 적절한 "재개" 절차를 선택하여 시리즈를 유한하게 만들면 전부는 아니더라도 일부 흐림을 제거할 수 있습니다. 페라리와 람보르기니를 구별하는 데 필요한 나노 레고 블록입니다.

물리학자들은 이러한 추가 용어를 "비섭동적"이라고 부릅니다. 왜냐하면 이러한 용어는 섭동 이론의 범위를 벗어나기 때문입니다. 파인만 다이어그램을 그리고 a를 계산하는 데 수조 년이 걸릴 수 있습니다. ', 그리고 당신은 이러한 비교란적인 용어로 인코딩된 특정 물리적 사건에 대해 결코 배우지 못할 것입니다. 이러한 작은 용어로 설명되는 효과는 드물거나 미묘할 수 있지만 현실 세계에서는 극적인 차이를 만들 수 있습니다.

예를 들어, 입자의 파동적 행동을 설명하는 양자 역학의 슈뢰딩거 방정식을 생각해 보십시오. 이는 물리학자들이 종종 섭동 이론을 사용하여 근사화하는 복잡한 방정식입니다. 그 결과 무한 시리즈는 많은 실험을 아름답게 예측하지만, 입자가 본질적으로 장벽을 통해 순간 이동하는 터널링이라고 알려진 극히 가능성이 없지만 불가능한 것은 아닌 이벤트를 완전히 놓치고 있습니다.

터널링은 양자물리학의 많은 비섭동 현상 중 하나이지만 비섭동 효과는 어디에나 있습니다. 눈송이의 분기 성장, 구멍이 있는 파이프를 통한 액체의 흐름, 태양계 행성의 궤도, 둥근 섬 사이에 갇힌 파동의 잔물결 및 수많은 기타 물리적 현상은 비교란적입니다.

Durham 대학의 물리학자인 Daniele Dorigoni는 "그들은 거기에 있으며 매우 중요합니다."라고 말했습니다. “섭동 이론만으로는 충분하지 않습니다.”

보편적인 특성으로 인해 수많은 수학자 및 물리학자들이 비섭동 항을 계산하는 방법에 대한 메타 문제의 다양한 측면을 연구해 왔습니다. 그리고 20세기 말에 이르러 다양한 연구자들이 섭동 계열이 예상보다 더 많은 것을 알고 있는 것 같다는 감질나는 힌트를 찾기 시작했습니다.

이들 연구자 중에서 1980년대 프랑스 Saclay 핵 연구 센터의 한 그룹은 양자 역학의 터널링에 대한 정확한 결과를 얻기 위해 섭동 전력 항과 비섭동 지수 항을 결합하는 방법을 개발하는 데 도움을 주었습니다. 그들의 기술은 Borel 재개로 알려진 세기 전환기의 중요한 수학적 기술에 의존할 수 있는 한 작동했습니다. 보렐 재개는 발산 계열에서 유한 숫자를 추출하는 당시 가장 강력한 도구였지만 한계가 있었습니다. 때로는 잘못되거나 상충되는 결과가 나오며, 하나의 시리즈가 하나의 실험 결과를 올바르게 예측하기를 바랐던 물리학자들을 좌절시켰습니다.

Mariño는 "물리학자들이 Borel 요약이 아닌 계열을 발견하면 본질적으로 포기할 것입니다."라고 말했습니다.

그들도 모르는 사이, Saclay 그룹에서 불과 몇 마일 떨어진 곳에서 고립되어 일하는 괴짜 수학자 한 명이 이미 점근 급수의 무한히 높은 정점에 대한 전례 없는 탐구를 시작했습니다.

파인만 다이어그램의 반격

Jean Écalle은 10대 때부터 무한의 수학에 매료되었습니다. 그는 고등학교 시절 어느 여름 계곡에서 휴식을 취하며 학생들이 초등학교 미적분학에서 처음 배우는 무한소 운동인 도함수 연산의 보다 일반적인 버전이 있을지 궁금해했던 것을 회상합니다.

교육을 계속하면서 Écalle은 혼자 일하는 것을 좋아하게 되었습니다. 그는 동료 수학자들의 생각이 자신을 틀에 박힌 틀에 빠뜨릴까 봐 그들의 연구를 읽지 않으려고도 했습니다.

Écalle은 “나는 수학 문헌에서 나 자신을 잃는 것을 기질적으로 싫어합니다.”라고 말했습니다. "나는 또한 수학 문헌에 너무 깊이 몰입하면 창의력이 억제되는 경향이 있다는 것을 몇 번이고 관찰할 수 있었습니다."

2014년 현대 부활 이론의 아버지인 장 에칼(Jean Écalle)과 이 이론의 선도적인 실천가인 Mithat Ünsal(왼쪽) 및 Ricardo Schiappa가 나란히 서 있습니다.

미하일 쉬프만

1970년대 초, Écalle의 호기심은 그를 Poincaré의 발자취를 따르게 만들었습니다. 그는 천체 연구에서 발생한 더욱 추상적인 수학적 대상을 분석하기 시작했습니다. 점근적 계열은 그가 고등학교 시절에 추측했던 보다 일반적인 파생물과 마찬가지로 도중에 갑자기 나타났습니다. Écalle은 결국 그가 "가장 가망이 없고 무정형인 것처럼 보이는 상황, 즉 발산에서 자발적으로 발생하는 정확하고 날카로운 윤곽의 구조, 즉 외계인 미적분학"이라고 묘사한 것을 개발하게 되었습니다.

Écalle의 외계인 미적분학은 추상적이고 다면적입니다. 그러나 그것이 궁극적으로 그것을 접하게 될 물리학자들에게 주는 메시지는 분명했습니다. 섭동 계열은 발산하더라도 섭동이 아닌 정보의 전체 라이브러리를 숨깁니다. 이 시리즈에는 흐릿함을 제거하고 고유한 해당 기능의 선명한 이미지를 복원하는 방식으로 업그레이드하는 데 필요한 모든 것이 포함되어 있습니다. 결국 블록 모양의 레고 블록이면 충분할 것입니다.

그 깊은 결과에도 불구하고 Écalle의 작업은 처음에는 시들해졌습니다. 물리학자들에게는 (심지어 프랑스어를 사용하는 사람들에게도) 너무 모호하고 추상적인 내용이었습니다. 그리고 수학자들의 시선을 사로잡을 만큼 엄격하지도 않았습니다.

"그는 모든 사건에 대한 상세한 증거가 중요하지 않다고 생각하는 천재 중 한 명입니다. 정말 중요한 것은 웅장한 시각입니다."라고 Mariño는 말했습니다.

Écalle은 1976년 세 편의 논문에서 처음으로 부활의 핵심 개념을 설명했으며, 1981년에서 1985년 사이에 세 권의 교과서를 집필하여 부활에 대한 외계인 계산법을 철저하게 설명했습니다. 그들은 수학 저널에 한 번도 등장한 적이 없습니다. 대신 그는 대학 수학과를 통해 방정식을 직접 작성하여 3부작을 출판했습니다.

만약 물리학자들이 그의 책을 당장 파헤쳐보았다면 그들의 경험은 지능적인 외계 문명과의 접촉과 다르지 않았을 것입니다. 그들은 익숙했던 것보다 몇 광년 앞서 수학 기계를 접했을 것입니다.

Bender는 “Resurgen은 매우 환상적입니다.”라고 말했습니다. 그러나 가능한 한 간단하게 말하면 실무자는 점근 계열(예:파인만 다이어그램을 사용하여 계산)의 원거리 항을 파헤치고 고유한 기능(예:터널링을 설명하는 기능)을 지정하는 데 필요한 누락된 부분을 찾아낼 수 있습니다. 간단히 말해서, 이는 섭동 이론으로 설명된 물리적 사건과 비섭동 용어로 설명된 물리적 사건을 연결하는 다리를 보여줍니다. "아주 복잡한 관계입니다." 벤더는 이에 대한 설명을 정중하게 거절하며 이렇게 말했습니다.

현재 76세인 Écalle이 Quanta Magazine에서 연락을 받았을 때 부활의 역사에 대한 질문에 대해 그는 6일 만에 해당 주제에 대한 24페이지 분량의 논문을 작성하여 응답했습니다. 이는 부활과 그 발전에 대한 더 많은 정보를 원하는 연구자들을 위한 선물입니다. 파리 천체 역학 연구소의 수학자이자 유명한 에칼 해독기인 데이비드 소진(David Sauzin)은 "그것은 보물이다"라고 말했습니다.

다음은 접근 방식에 대한 매우 대략적인 만화 버전입니다:

먼저, 전형적인 섭동 계열을 작성합니다. 처음에는 용어가 줄어들지만 결국에는 a 정말 커지네요. a의 성장을 그려보세요. ’, 그리고 여러분은 그것들이 요인 성장과 거의(정확하지는 않지만) 일치하는 속도로 위쪽으로 솟아오르는 것을 볼 수 있을 것입니다. a로 그린 선 사이의 차이점을 연구하세요. ’와 최초의 비섭동 항(나노 레고 벽돌 중 가장 큰 항)을 학습하기 위해 계승적으로 성장하는 곡선입니다.

하지만 그것은 시작에 불과합니다. Borel 재개의 첫 번째 단계를 적용합니다. 이렇게 하면 계승 성장이 제거되어 섭동 항의 동작을 더 자세히 볼 수 있습니다. 수정된 a의 결과 플롯 기하급수적으로 성장해야 합니다. 하지만 주의 깊게 연구하면 섭동적인 데이터가 약간 벗어난 것을 알 수 있습니다. 이러한 편차는 완전히 새로운 점근 계열에서 비롯되며, 여기에 첫 번째 비섭동 항을 곱합니다.

절차는 계속됩니다. 섭동 데이터에서 기하급수적 증가를 제거하고, 예리한 눈을 갖고 있다면 섭동이 아닌 두 번째 항을 나타내는 추가 편차를 발견할 수 있습니다. 자세히 살펴보면 이 비섭동적 용어가 또 다른 점근 계열과 함께 제공된다는 것을 알게 될 것입니다.

결국에는 점근 계열이 첨부된 비섭동 항이 얼마든지 있을 수 있습니다. 이 중 원하는 만큼 많이 찾으면 트랜스 시리즈라는 물체를 손에 갖게 됩니다. 트랜스 계열은 친숙한 섭동 계열로 시작됩니다. 그런 다음 (시리즈와 함께) 비섭동적인 용어가 나오고 또 다른 용어가 나옵니다.

Écalle의 트랜스 시리즈는 이전에 물리학자들을 난처하게 만들었던 Borel 재개의 어려움을 극복했습니다. 전자의 g 인자와 같은 일부 측정을 설명하는 트랜스 시리즈를 알고 있는 경우 Borel 재개를 통해 단일 정답을 얻을 수 있습니다. 더욱이 리서전스는 트랜스 계열의 선두에 있는 익숙한 섭동 계열의 미묘한 편차가 잠재적으로 무한한 행렬에 대해 알아야 할 모든 것을 알려준다고 주장합니다.

이 수학적 그림은 물리학자들에게 두 가지 놀라운 결과를 가져왔습니다. 첫째, 양자장과 기타 복잡한 시스템에 대해 단순한 근사치가 아닌 정확한 결과가 존재할 수 있음을 시사합니다. 그렇다면 양자 이론은 유한하고 합리적인 것으로 확립될 것입니다.

Serone은 “양자장 이론에서 모든 것이 부활할 수 있다는 사실을 확립하는 것은 큰 진전이 될 것입니다.”라고 말했습니다.

둘째, 잠재적으로 무한한 비섭동적 작품의 분류가 다이슨을 괴롭히는 발산을 일으킨 섭동적 시리즈로부터 전적으로 추론될 수 있음을 시사합니다. 수십 년 동안 독립적인 물리학 영역처럼 보였던 것이 실제로는 밀접하게 연관되어 있습니다.

Mariño는 "교란 시리즈를 갈라져 많은 문제를 일으킬 것이라고 생각하는 대신 매우 복잡하고 매혹적인 세계로의 입구일 뿐"이라고 말했습니다.

실제로, 그것이 부활이라는 이름이 유래된 것이라고 노스캐롤라이나 대학교 채플 힐 캠퍼스의 물리학자인 Gökçe Başar는 말했습니다. "섭동 계열의 후기 항의 행동은 그러한 비섭동 항에서 '부활'합니다." 복잡하긴 하지만 "아주 아름답습니다"라고 그는 말했습니다.

물리학으로의 급증

섭동 이론을 통해 비섭동적 지식에 비밀리에 접근할 수 있다는 Écalle의 발견에 대한 인식이 천천히 수리 물리학의 세계로 흘러 들어갔습니다. 그곳에서 물리학자들은 이미 21세기에 가장 집중적으로 연구된 두 가지 이론, 즉 강력 이론과 끈 이론에 숨겨진 새로운 부분을 식별하는 데 이 기술을 사용했습니다.

노스캐롤라이나 주립대학교의 물리학자인 Mithat Ünsal은 쿼크를 결합하여 양성자와 기타 입자를 형성하는 강한 힘을 이해하는 데 많은 시간을 투자해 왔습니다. 2008년에 그는 Divergent 시리즈에 관한 1993년 기사에서 부활에 대해 읽은 후 Écalle의 작업에 대한 개요를 찾았습니다. “내 프랑스어는 매우 녹슬었지만 제안된 용어가 포함된 영어 서문이 있었습니다.”라고 Ünsal은 회상했습니다. “나는 그것을 마스터했고 그것을 이해하려고 노력했습니다.”

그는 나중에 한 컨퍼런스에서 코네티컷 대학의 Gerald Dunne을 만났고, 커피를 마시며 이야기를 나누는 동안 그들은 같은 기사가 두 사람 모두 스스로 부활을 가르치기 시작하도록 영감을 주었다는 것을 발견했습니다. 그들은 힘을 합치기로 결정했습니다.

두 물리학자는 다이슨과 파인만이 직면한 것보다 훨씬 더 복잡한 것을 이해하려고 노력하고 있다는 사실에 동기를 부여 받았습니다. 그 물리학자들은 전자기장을 가지고 운이 좋았습니다. 알파가 1/137에 불과할 정도로 매우 약합니다. 또 다른 근본적인 힘인 약한 상호작용은 알파 버전이 10,000배 더 작기 때문에 마찬가지로 길들이기가 쉽다는 것이 입증되었습니다. 섭동 이론은 이 두 가지 힘이 너무 약해서 거의 존재하지 않는 것처럼 보이기 때문에 효과가 있습니다.

코네티컷 대학의 물리학자인 제럴드 던(Gerald Dunne)은 부활을 양자장 이론 계산에 실용적으로 적용할 수 있는 방법을 찾고 있습니다.

브리 디아즈

그러나 물리학자들이 강한 힘에 맞서려고 했을 때 그 행운은 끝났습니다. 강한 힘은 전자기력보다 약 100배 더 강하며 알파 유사성은 약 1이며 무시할 수 없습니다. 제곱이나 세제곱 1은 어떤 축소 효과도 생성하지 않으므로 섭동 계열은 초기 항부터 무한대를 향해 곧장 향합니다. 물리학자들은 슈퍼컴퓨터를 사용하여 강한 힘을 처리하는 대안적인 방법을 개발하는 데 수십 년을 보냈으며 그 과정에서 놀라운 결과를 얻었습니다. 그러나 수치 계산은 강한 힘이 어떤 역할을 하는지에 대해 많은 통찰력을 제공하지 않습니다.

Ünsal과 Dunne은 다양한 시리즈를 길들이는 힘을 지닌 부활이 연필과 종이로 강력한 힘을 이해하려는 꿈을 향해 한 걸음 더 나아갈 수 있다는 것을 인식했습니다. 특히 그들은 40년 동안 강력론을 괴롭혔던 미스터리를 풀기 위해 나선다.

1979년에 물리학자 Gerard 't Hooft와 Giorgio Parisi는 강한 힘 계산에 작고 기괴한 용어가 존재한다고 추론했습니다. 그들은 그것을 리노멀론(renormalons)이라고 불렀고, 누구도 그것들을 어떻게 해야 할지 몰랐습니다. 리노멀론은 특정 잔물결이나 기타 구체적인 필드 동작과 일치하지 않는 것 같습니다. 하지만 그럼에도 불구하고 그들은 계산을 엉망으로 만들었습니다.

Ünsal과 Dunne은 부활을 통해 정상화 문제를 해결했습니다. 그들은 Strong Force의 2D 아날로그로 작업하고 있었지만 대략 1년이 걸렸습니다. 그러나 2012년에 그들은 최소한 단순화된 모델에서 Hooft와 Parisi의 재구성이 물리학자들이 이해하는 행동과 일치하지 않는다는 것을 보여주었습니다.

하버드 대학의 물리학자 조던 코틀러(Jordan Cotler)는 “그들은 미스터리를 풀었고 리노멀런이 무엇과 일치하는지를 찾을 수 있었다”고 말했지만 다른 미스터리는 여전히 남아 있다고 덧붙였습니다. 그는 현재 강력한 힘에 대한 보다 현실적인 이론을 통해 이러한 미스터리 중 일부를 이해하려는 유사한 시도를 진행하고 있습니다.

그러나 작년에 연구자들은 부활을 사용하여 주름을 더 추가했습니다. Mariño와 그의 동료들은 보다 엄격한 계산을 수행했으며(비록 단순화된 이론에서도) 그룹이 't Hooft와 Parisi의 "표준 지식"이라고 부르는 것 이상의 새로운 재노멀론을 발견했습니다. Mariño는 이제 재정상 현상이 비교란 빙산의 일각에 불과하다고 의심합니다. 부활과 기타 비교란적 방법을 통해 물리학자들은 개별 수학적 용어를 특정 사건과 일치시키는 역사적 성공으로 인해 망가졌다는 사실이 드러날 수 있습니다. 그의 말이 맞다면 언젠가 양자 세계는 지금보다 시각화하기가 훨씬 더 어려워질 수도 있습니다.

“나는 이 그림, 즉 하나의 물체에 대한 하나의 지수적 그림이 일반 장 이론에서 통할 것인지 의심스럽습니다.”라고 그는 말했습니다. “지수 보정의 세계는 정말 거칠어질 수도 있습니다.”

마리뇨는 또한 끈 이론에서 새로운 비섭동 효과, 즉 우주가 점 같은 입자로 만들어지지 않고 끈과 같은 확장된 물체로 구성되어 있다는 추측적이고 증명되지 않은 개념을 발견하는 데 핵심적인 역할을 했습니다. 그러한 끈의 흔들림은 우리가 관찰하는 입자의 특성을 결정합니다.

양자 이론과 마찬가지로 끈 이론은 일반적으로 끈이 점점 더 복잡한 방식으로 병합되고 분리되는 것을 나타내는 파인만과 같은 일련의 혼란스러운 다이어그램으로 취급됩니다. 그러나 양자 이론가와 달리 끈 이론가는 이론의 비교란 효과에 대한 가장 희미한 가이드조차 부족합니다. 그들은 양자 이론이 터널링과 재노멀론을 포함하는 것처럼 끈 이론의 완전한 비섭동적 공식에도 용도 포함되어 있다고 가정합니다.

One striking example of non-perturbative phenomena in string theory — sheetlike objects known as D-branes — was discovered in the 1990s. D-branes would later spur some of string theory’s biggest developments.

Mariño wondered what else might be out there.

He was part of a group that in 2010 noticed a series of negative counterparts hiding in the shadow of the D-brane terms. It wasn’t clear what physical phenomenon these partner terms might describe.

A clue came six years later, when Cumrun Vafa of Harvard and his collaborators explored a generalized string theory where certain quantities could go negative. They found D-branes with negative tension — the brane version of having negative mass. These exotic beasts warped the structure of reality around them, creating multiple dimensions of time and violating the fundamental principle that probabilities must always add up to 100%. But the group found no indication that these objects should escape from their bizarro world and show up in standard string theory.

Now Ricardo Schiappa, a friend of Mariño’s and a theoretical physicist at the University of Lisbon, believes he’s found evidence otherwise. In recent months, Schiappa and his collaborators  used resurgence to scrutinize a handful of simple string theory models. They found that Vafa’s negative-tension D-branes exactly matched the exponentially small terms that Mariño had found in 2010. Negative D-branes are unavoidable partners of D-branes, the group argued in a January preprint. “What we have discovered now is that they are fundamental for perturbation theory,” Schiappa said.

Other theorists aren’t yet sure what to make of the fresh finding. Vafa notes that Schiappa’s crew did their calculations in stripped-down string models, and that the result isn’t guaranteed to hold in more sophisticated formulations. But if it does, and if string theory actually describes our universe, it must contain some other way of stopping negative D-branes from forming.

“They shouldn’t be there as a regular object in that theory,” Vafa said. Otherwise, “this opens a whole Pandora’s box of puzzles.”

Black Swans and Other Anomalies

Despite their progress in spotting renormalons and negative branes, physicists cite two formidable obstacles to crowning resurgence the official successor to perturbation theory.

First, not all theories have been proved to have resurgent structure. The question is particularly acute for quantum field theories, which physicists have been checking on a case-by-case basis. It’s a painstaking process, a bit like studying mammals one species at a time. After observing humans, dolphins and cats, you might start to feel confident that live birth is a universal mammalian feature. But there’s always the chance that around the next corner you’ll find a platypus laying an egg.

That’s why Serone has devoted the last three years to stress-testing resurgence in certain quantum field theories. In 2021, he and his collaborators studied a theory that shares key features with the strong force but is still simple enough to allow them to calculate the many a ’s needed to perform resurgence. They calculated the energy of empty space in such a universe using resurgence and two other methods, showing that all three agreed. There have been qualitative arguments that resurgence should hold in quantum field theory, but this was one of the first concrete calculations, kindling further optimism.

“In most of the cases it has been tested so far, either resurgence works, or we have good reasons to believe we understand when it doesn’t,” Serone said.

The graver problem is that to spot nonperturbative pieces, you need to know a frightening number of perturbative terms. In his recent research, for instance, Serone picked quantum field theories with mathematical backdoors that let him generate thousands of terms. But for the strong force, calculating just eight or nine is currently out of the question. Even pioneers of the method don’t mince their words about when they expect to see it produce a real number like the mass of the proton (a mathematical feat worth a million-dollar prize).

“It’s extremely difficult,” Ünsal said, sighing. “I don’t see an immediate way.”

“What Écalle was saying is that the answer is rigorously there in principle. But to actually get the answer is really, really hard,” Bender said. “My advice would be, don’t stand on one foot while you’re waiting.”

A New Hope

But the daunting difficulty hasn’t killed the dream of trying to get real predictions out of resurgence. For one thing, the technique has already produced otherwise unobtainable results in quantum mechanics. Back in the 1980s, the French mathematical physicists at Saclay used proto-resurgent methods to make an exact prediction for particle tunneling — a problem that physicists had previously only been able to approximate. Dunne and Ünsal have done similar pen-and-paper calculations using the more refined tools of Écalle. Another group has checked these results using standard methods. They were only able to get as far as six decimal places — a Herculean effort that took months of time and substantial computer power.

Such dramatic examples have motivated Dunne to develop hyper-efficient ways of practicing resurgence, in the hopes of someday porting them to quantum field theories. Over the last five years, together with Ovidiu Costin, a mathematician at Ohio State University, he has found techniques that get more bang for the perturbative buck. In some cases (which are still far from the real-world theories), they’ve found that just 10 to 15 terms suffice. “That number could have come out to be 1,000, and I would have given up and gone somewhere else,” he said. “It’s kind of tantalizing.”

Dunne and Costin’s work has even managed to catch the eye of Écalle himself. The founder of resurgence hasn’t closely followed the waves his work set off, calling himself “an accomplished ignoramus in theoretical physics.” Nevertheless, while worrying that any work on speculative models such as string theory may be “built on quicksand,” he praises the researchers’ efforts to give resurgence a mathematical tune-up.

“Even if the physical ground gives way, the impressive math results of, say, O. Costin and G. Dunne are there to stay,” he said.

For Écalle, resurgence is something of a past chapter. Nearly 40 years have passed since his original trilogy. He continued to develop alien calculus until around 2000, and he has spent the last 20 years exploring a more algebraic offshoot. Should he ever decide to publish a sequel trilogy gathering all his findings in one place, who knows what treasures physicists will find within.

“I think he has discovered many tools that are still to be explored,” Mariño said.

수정: April 7, 2023
Jean Écalle is 76 years old, not 73.

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