약 1년 전, 이론 화학자 살바토레 토르콰토(Salvatore Torquato)는 정수 이론가 매튜 드 쿠시-아일랜드(Matthew de Courcy-Ireland)를 만나 소수, 즉 1과 자기 자신으로만 나누어지는 양의 정수를 사용하여 매우 특이한 일을 했다고 설명했습니다.
프린스턴 대학의 화학 교수인 Torquato는 일반적으로 결정, 콜로이드, 심지어 그의 더 잘 알려진 결과 중 하나인 M&M 팩의 입자 배열과 같은 물리적 시스템 구조의 패턴을 연구합니다. 그의 분야에서 구조를 추론하는 표준 방법은 사물에서 X선을 회절시키는 것입니다. X-선에 부딪히면 액체나 유리에 있는 무질서한 분자가 모든 방향으로 흩어져 식별할 수 있는 패턴이 생성되지 않습니다. 그러나 결정에 대칭적으로 배열된 원자는 동시에 광파를 반사하여 반사파가 구조적으로 간섭하는 주기적인 밝은 점을 생성합니다. 1910년대 회절을 개척한 부자 결정학자들의 이름을 따서 '브래그 피크'라고 알려진 이 밝은 점의 간격은 산란 물체의 조직을 드러냅니다.
Torquato는 다른 수학자로부터 추천을 받은 프린스턴의 마지막 대학원생인 de Courcy-Ireland에게 1년 전에 직감적으로 소수 시퀀스에 대해 회절을 수행했다고 말했습니다. 소수 분포의 파악하기 어려운 순서를 강조하기 위해 그와 그의 학생 Ge Zhang은 소수를 1차원 입자 시퀀스(기본적으로 빛을 산란할 수 있는 작은 구)로 모델링했습니다. 컴퓨터 실험에서 그들은 10,000,000,019에서 시작하는 백만 개 정도의 소수와 같은 긴 소수 시퀀스에서 빛을 반사했습니다. (그들은 이 "골디락스 간격"이 너무 희박해 간섭 패턴을 드러내지 않으면서 강한 신호를 생성하기에 충분한 소수를 포함한다는 것을 발견했습니다.)
어떤 종류의 패턴이 나타날지, 아니면 아예 나타날지 확실하지 않았습니다. 모든 자연수의 분할할 수 없는 구성 요소인 소수는 마치 뛰어오르는 바위처럼 수직선을 불규칙하게 올라가면서 깊은 질문을 불러일으킵니다. 드 쿠시-아일랜드(de Courcy-Ireland)는 “무작위의 숫자 순서와 구별하기가 여러 면에서 꽤 어렵습니다.”라고 말했습니다. 수학자들은 수세기에 걸쳐 소수의 간격에 관한 많은 규칙을 밝혀냈지만 "명확한 패턴을 찾는 것이 매우 어렵기 때문에 우리는 이를 '무작위 같은 것'이라고 생각합니다."
그러나 세 개의 새로운 논문에서 – 하나는 Torquato, Zhang 및 전산화학자 Fausto Martelli가 Journal of Physics A에 게재한 것입니다. 2월에는 드 쿠시 아일랜드(de Courcy-Ireland)와 공동 저술한 다른 두 논문이 있지만 아직 동료 검토를 거치지 않았습니다. 연구자들은 결정과 같으나 액체와는 달리 소수가 회절 패턴을 생성한다고 보고했습니다.
Microsoft Research New England와 MIT의 수학자 Henry Cohn은 "이것이 아름다운 점은 소수가 어떻게 생겼는지에 대한 결정학자의 관점을 제공한다는 것입니다."라고 말했습니다.
브래그 피크의 결과 패턴은 이전에 볼 수 있었던 것과는 전혀 다르며, 이는 물리적 시스템으로서의 소수가 "완전히 새로운 범주의 구조"임을 암시한다고 Torquato는 말했습니다. 프린스턴 연구원들은 프랙탈과 같은 패턴을 "유효 한계 주기성"이라고 불렀습니다.
이는 가장 일반적인 소수 간격을 반영하는 밝은 피크의 주기적인 시퀀스로 구성됩니다. 모든 소수(2 제외)는 수직선에서 홀수 정수 위치에 있으며 2의 배수로 떨어져 있습니다. 가장 밝은 밝은 피크는 덜 밝은 피크와 함께 규칙적인 간격으로 산재되어 있으며 수직선에서 6의 배수로 구분되는 소수를 반영합니다. 이들 사이에는 더 멀리 떨어져 있는 소수 쌍에 해당하는 더 희미한 피크가 있으며, 무한히 조밀하게 중첩된 브래그 피크에서도 마찬가지입니다.
조밀한 브래그 피크는 준결정의 회절 패턴에서 이전에 볼 수 있었으며, 대칭이지만 반복되지 않는 원자 배열을 가진 1980년대에 발견된 이상한 물질입니다. 그러나 소수의 경우, 준결정의 비합리적인 간격의 브래그 피크와 달리 피크 사이의 거리는 서로의 분수입니다. “소수는 실제로 준결정과 비슷하지만 준결정과 같지 않은 입자 위치의 완전히 다른 상태를 암시하고 있습니다.”라고 Torquato는 말했습니다.
Lucy Reading-Ikkanda/Quanta 매거진; Sven.hovmoeller의 결정 회절 패턴; Materialscientist의 준결정 회절 패턴)
인터뷰한 수많은 정수론자들에 따르면, 프린스턴 팀의 발견이 정수론의 발전을 촉발할 것이라고 기대할 이유가 없습니다. 관련 수학의 대부분은 이전에 다른 모습으로 나타났습니다. 실제로 Torquato가 지난 봄 (Cohn의 제안에 따라) de Courcy-Ireland에게 자신의 플롯과 공식을 보여주었을 때, 젊은 수학자는 주요 회절 패턴이 "정수 이론에서 거의 보편적으로 받아들여지는 추측의 관점에서 설명될 수 있다"는 것을 재빨리 알아냈습니다.
이는 토르콰토가 안식년을 보내고 있던 뉴저지주 프린스턴 고등연구소에서 두 사람이 나눈 수많은 만남 중 첫 번째 만남이었다. 화학자는 de Courcy-Ireland에게 자신의 공식을 사용하여 17과 19처럼 2로 분리된 소수 쌍인 "쌍둥이 소수"의 빈도를 예측할 수 있다고 말했습니다. 수학자들은 Torquato가 실제로 다른 모든 분리도 예측할 수 있다고 대답했습니다. 브래그 피크의 공식은 수학적으로 Hardy-Littlewood k와 동일했습니다. - 튜플 추측(tuple conjection)은 소수의 "성좌"가 존재할 수 있다는 것에 관해 1923년 영국 수학자 고드프리 하디(Godfrey Hardy)와 존 리틀우드(John Littlewood)가 작성한 강력한 진술입니다. 한 규칙은 {3, 5, 7} 뒤에 세 개의 연속적인 홀수 소수를 금지합니다. 왜냐하면 집합의 하나는 {7, 9, 11}에서와 같이 항상 3으로 나누어질 것이기 때문입니다. 이 규칙은 소수의 회절 패턴에서 두 번째로 밝은 피크가 4가 아닌 6으로 분리된 소수 쌍에서 나오는 이유를 보여줍니다.
Hardy와 Littlewood의 추측은 허용된 모든 주요 별자리가 수직선을 따라 얼마나 자주 나타날지 더 자세히 지정했습니다. 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood)의 가장 단순한 사례인 "쌍둥이 소수 추측"도 현대적인 발전을 이루었음에도 여전히 입증되지 않은 상태로 남아 있습니다. 소수 회절은 본질적으로 이를 다시 공식화하기 때문에 전문가들은 이것이 하디-리틀우드 증명이나 소수의 분포를 리만 제타 함수의 "임계 영점"에 연결하는 1859년 공식인 유명한 리만 가설로 이어질 가능성이 거의 없다고 말합니다.
그러나 이 발견은 본질적으로 결정학, 역학 시스템, 조화 분석 및 이산 기하학의 교차점에 있고 준결정 발견 이후 성장한 비반복 패턴에 대한 연구인 "비주기적 질서"라고 불리는 상대적으로 젊은 연구 분야에서 반향을 불러일으킵니다. Smith College의 수학 결정학자인 Marjorie Senechal은 "원래 결정을 이해하기 위해 개발된 기술은 준결정의 발견과 함께 매우 다양해졌습니다."라고 말했습니다. "사람들은 단순히 단순하고 단순한 주기 회절보다 훨씬 더 많은 것을 갑자기 이해해야 한다는 것을 깨닫기 시작했습니다. 그리고 이것은 전체 분야, 비주기적 질서가 되었습니다. 이것을 정수론과 결합하는 것은 매우 흥미진진합니다."라고 그녀는 말했습니다.
Parcly Taxel에서 각색됨
소수의 패턴은 극한 주기성이라고 불리는 최소한 1950년대부터 알려진 일종의 비주기적 질서와 유사하며 "놀라운 반전을 추가합니다"라고 Cohn은 말했습니다. 실제 극한-주기 시스템에서는 주기 간격이 무한 계층 구조로 중첩되므로 시스템에는 더 큰 간격에서만 반복되는 패턴의 일부가 포함됩니다. 한 가지 예는 1990년대 호주 아마추어 수학자 조안 테일러(Joan Taylor)가 발견하고 2010년 듀크 대학의 조슈아 소콜라(Joshua Socolar)와 함께 자세히 분석한 테일러-소콜라 타일(Taylor-Socolar Tile)이라고 불리는 이상한 다각적 모양의 테셀레이션입니다. Socolar에 따르면 컴퓨터 실험에 따르면 물질의 극한 주기 단계가 자연에서 형성될 수 있어야 하며 계산에 따르면 그러한 시스템에는 특이한 특성이 있을 수 있습니다. 아무도 소수와의 연관성을 추측하지 못했습니다. 간격의 동시성은 전체 시스템에 걸쳐 통계적으로만 유지되기 때문에 "효과적으로" 주기적인 제한(새로운 종류의 순서)입니다.
드 쿠르시-아일랜드(de Courcy-Ireland)는 유효 극한 주기성이 소수에서 나타나는 "골디락스(Goldilocks)" 척도를 더 잘 이해하려고 합니다. 1976년에 컬럼비아 대학교의 패트릭 갤러거(Patrick Gallagher)는 소수의 간격이 짧은 간격에 걸쳐 무작위로 보인다는 것을 보여주었습니다. 패턴이 나타나려면 더 긴 스트립이 필요합니다. 새로운 회절 연구에서 드 쿠시-아일랜드(de Courcy-Ireland)와 그의 화학자 협력자들은 한계-주기 패턴의 존재를 제어하는 "차수 측정법"이라는 양을 분석했습니다. "이 양이 증가하기 시작하기 전에 간격이 얼마나 오래 걸리는지 확인할 수 있습니다."라고 그는 말했습니다. 그는 이 동일한 간격 길이가 마이어의 정리라고 불리는 다른 소수 규칙에도 나타나는 것에 흥미를 느꼈습니다. 하지만 이 스레드가 어디로 이어질지 말하기에는 너무 이릅니다.
브리스톨 대학의 조나단 키팅(Jonathan Keating)은 주 회절 패턴의 가장 큰 장점은 "그것이 연상적이며" "다양한 사고 방식과 연결된다"고 말했습니다. 그러나 몬트리올 대학교의 존경받는 정수론자 앤드류 그랜빌(Andrew Granville)은 토르콰토와 그 회사의 연구는 "가식적"이며 "알려진 아이디어의 역류에 불과하다"고 말했습니다.
Torquato는 그의 작업이 정수 이론가들에게 어떻게 인식될지에 대해 특별히 걱정하지 않습니다. 그는 소수의 패턴을 엿볼 수 있는 방법을 찾았습니다. "나는 그것이 정말 놀랍다고 생각한다"고 말했다. “충격이네요.”
