무한을 거부하는 철학인 극한주의(Ultrafinitism)는 오랫동안 수학적 이단으로 여겨져 왔습니다. 그러나 이는 또한 수학과 그 이상 분야에서 새로운 통찰력을 창출하고 있습니다.
도론 자일버거(Doron Zeilberger)는 모든 것에는 종말이 있다고 믿는 수학자입니다. 우리가 제한된 존재인 것처럼 자연에도 경계가 있으므로 숫자도 마찬가지입니다. 창밖을 내다보세요. 다른 사람들이 현실을 순간순간 냉혹하게 앞으로 흐르는 연속적인 확장으로 보는 곳에서 Zeilberger는 똑딱거리는 우주를 봅니다. 그것은 별개의 기계입니다. 주변 세계의 부드러운 움직임 속에서 그는 플립북의 미묘한 흐림을 포착합니다.
Zeilberger에게 무한을 믿는 것은 신을 믿는 것과 같습니다. 이는 우리의 직관을 칭찬하고 모든 종류의 현상을 이해하는 데 도움이 되는 매혹적인 아이디어입니다. 그러나 문제는 우리가 무한을 진정으로 관찰할 수 없기 때문에 그것이 무엇인지 진정으로 말할 수 없다는 것입니다. 방정식은 칠판 밖으로 이어지는 선을 정의하지만 어디로 가는 걸까요? 증거에는 암시적인 타원이 흩어져 있습니다. Rutgers University의 오랜 교수이자 조합론의 유명한 인물인 Zeilberger에 따르면 이러한 방정식과 증명은 "매우 보기 흉하고" 거짓입니다. 그는 자신의 주장을 펼치느라 지친 듯한 허스키한 목소리로 음절 하나하나를 헐떡거리며 "완전히 말도 안 되는 소리"라고 말했습니다.
실용성의 문제로 무한성은 제거될 수 있다고 그는 주장합니다. "별로 필요하지 않습니다." 수학자들은 무한대가 없는 미적분학의 형태를 구성할 수 있습니다. 예를 들어 그림에서 극소 극한을 완전히 잘라내는 식입니다. 곡선은 매끄러워 보이지만 미세한 거칠기를 숨깁니다. 컴퓨터는 제한된 숫자 허용으로 수학을 잘 처리합니다. (Zeilberger는 "Shalosh B. Ekhad"라고 명명한 자신의 컴퓨터를 자신의 논문 공동 작업자로 나열합니다.) 무한대가 제거되면 잃어버린 유일한 것은 "전혀 할 가치가 없는" 수학뿐이라고 Zeilberger는 말했습니다.
대부분의 수학자들은 정반대의 말을 할 것입니다. 완전 말도 안되는 소리를 내뱉는 사람은 Zeilberger입니다. 무한이 우주를 설명하는 데 매우 유용하고 자연스러울 뿐만 아니라, 숫자 집합(예:정수)을 실제 무한 개체로 취급하는 것이 수학의 핵심이며 가장 기본적인 규칙과 가정에 내장되어 있기 때문입니다.
최소한 수학자들은 무한을 실제 실체로 생각하고 싶지 않더라도 시퀀스, 모양 및 기타 수학적 개체가 무한정 성장할 가능성이 있다는 것을 인정합니다. 이론적으로 두 개의 평행선은 영원히 지속될 수 있습니다. 수직선 끝에는 언제든지 다른 숫자를 추가할 수 있습니다.
Zeilberger는 이에 동의하지 않습니다. 그에게 중요한 것은 원칙적으로 가능한지 여부가 아니라 실제로 가능한지 여부입니다. 이것이 실제로 의미하는 바는 무한대가 의심스러울 뿐만 아니라 극도로 많은 숫자도 의심스럽다는 것입니다. "Skewes' 수" $latex e^{e^{e^{79}}}$를 고려하세요. 이것은 유난히 큰 숫자이며, 누구도 이 숫자를 십진수 형식으로 쓸 수 없었습니다. 그렇다면 우리는 그것에 대해 실제로 무엇을 말할 수 있습니까? 정수인가요? 프라임인가요? 자연 어디에서나 그러한 숫자를 찾을 수 있습니까? 우리가 그것을 적어볼 수 있을까요? 그렇다면 그것은 전혀 숫자가 아닐 수도 있습니다.
이는 정확히 어디에서 끝점을 찾을 수 있는지와 같은 명백한 질문을 제기합니다. Zeilberger는 말할 수 없습니다. 누구도 할 수 없습니다. 많은 사람들이 극한주의(Ultrafinitism)로 알려진 그의 철학을 일축하는 첫 번째 이유가 바로 이것이다. 컬럼비아 대학의 철학자인 저스틴 클라크-도안(Justin Clarke-Doane)은 "누군가에게 처음으로 극한론에 대한 아이디어를 제시하면 '내 생각엔 가장 큰 숫자가 있는 것 같아' 같은 엉터리처럼 들립니다."라고 말했습니다.
노트르담대학교의 집합이론가인 조엘 데이비드 햄킨스(Joel David Hamkins)는 “많은 수학자들은 전체 제안이 터무니없다고 생각합니다.”라고 말했습니다. 초정밀주의는 수학 학회 만찬에서 정중한 대화가 아닙니다. 그것에 대해 작업하는 사람은 거의 없습니다. Zeilberger처럼 자신의 견해를 공허한 곳으로 외치고 싶어하는 카드 소지 회원은 여전히 적습니다. 이는 초정밀론이 단지 반대적이기 때문이 아니라 근본적으로 더 작은 수학, 특정 중요한 질문을 더 이상 물을 수 없는 수학을 옹호하기 때문입니다.
그럼에도 불구하고 그것은 Hamkins와 다른 사람들에게 생각할 거리를 많이 제공합니다. 어떤 각도에서 보면 초정밀론은 보다 현실적인 수학으로 볼 수 있습니다. 사람들이 만들고 검증할 수 있는 것의 한계를 더 잘 반영하는 것은 수학입니다. 그것은 물리적 우주를 더 잘 반영할 수도 있습니다. 우리는 공간과 시간이 영원히 확장되고 분할될 수 있다고 생각하는 경향이 있을 수 있지만, 극한론자는 이것이 과학이 점점 더 의문을 제기하는 가정이라고 주장할 것입니다. Zeilberger가 말했듯이 과학은 하나님의 문앞에 의심을 가져왔습니다.
2025년 4월 극한의 아이디어를 탐구하기 위해 보기 드문 전문가 모임을 소집한 Clarke-Doane은 “우리가 묘사하는 세상은 철저하게 정직해야 합니다.”라고 말했습니다. "만약 유한한 많은 것들이 있을 수 있다면, 처음부터 무한히 많은 것들이 있다고 가정하지 않는 수학을 사용하는 것이 더 나을 것입니다." 그에게는 “그것이 수학 철학 메뉴의 일부가 되어야 할 것 같습니다.”
하지만 수학자들이 이를 진지하게 받아들이려면 초유한론자들이 먼저 자신들이 말하는 내용에 동의해야 합니다. 즉 Hamkins가 표현한 것처럼 "허세"처럼 들리는 주장을 공식적인 이론으로 바꾸려면 말입니다. 수학은 공식 시스템과 공통 프레임워크로 가득 차 있습니다. 한편, 초정밀화(Ultrafinitism)에는 그러한 구조가 부족합니다.
문제를 단편적으로 해결하는 것은 하나의 일입니다. 수학 자체의 논리적 기초를 다시 작성하는 것은 전혀 다른 일입니다. “나는 극한론이 기각된 이유가 사람들이 그것에 대해 좋은 주장을 하고 있기 때문이라고 생각하지 않습니다.”라고 Clarke-Doane은 말했습니다. "아, 뭐, 절망적이라는 느낌이 듭니다."
이는 일부 극한론자들이 여전히 해결하려고 노력하고 있는 문제입니다.
한편 Zeilberger는 세상과 마찬가지로 본질적으로 지저분한 수학을 선호하여 수학적 이상을 포기할 준비가 되어 있습니다. 그는 기초이론보다는 의견을 제시하는 사람에 가깝습니다. 그는 자신의 웹사이트에 그 의견 중 195개를 나열했습니다. “이런 이상한 일을 하지 않고서는 종신 교수가 될 수 없습니다.”라고 그는 말했습니다. 그러나 언젠가는 수학자들이 과거를 돌아보며 신과 미신에 의문을 제기했던 옛날의 괴짜들처럼 이 괴짜가 옳았다는 것을 알게 될 것이라고 그는 덧붙였습니다. “다행히도 이단자들은 더 이상 화형에 처해지지 않습니다.”
반체제 수학
아리스토텔레스는 무한을 향해 나아갈 수는 있지만 결코 도달할 수 없는 것으로 보았습니다. “분할 과정이 결코 끝나지 않는다는 사실은 이러한 활동이 잠재적으로 존재한다는 것을 보장합니다.”라고 그는 썼습니다. "그러나 무한이 별도로 존재하는 것은 아닙니다." 수천 년 동안 이 무한의 "잠재적" 버전이 최고의 자리를 차지했습니다.
그러나 1800년대 후반에 게오르그 칸토어(Georg Cantor)와 다른 수학자들은 무한이 실제로 존재할 수 있음을 보여주었습니다. 칸토어의 접근 방식은 정수와 같은 일련의 숫자를 완전한 무한 집합으로 취급하는 것이었습니다. 이 접근법은 오늘날에도 수학자들이 여전히 사용하고 있는 체르멜로-프랭켈 집합론(Zermelo-Fraenkel Set Theory)으로 알려진 수학의 기본 이론을 창안하는 데 필수적이었습니다. 그가 보여준 무한대는 실제입니다. 개체. 게다가 크기도 다양할 수 있습니다. 이러한 다양한 무한대를 조작하고 비교함으로써 수학자들은 겉보기에는 무한대와 전혀 관련이 없어 보이는 놀라운 사실을 증명할 수 있습니다. 더 높은 무한의 영역에서 많은 시간을 보내는 수학자들은 거의 없지만 "요즘에는 거의 모든 수학자들이 현실주의자"라고 Hamkins는 말했습니다. 기본적으로 무한대가 가정됩니다.
그러나 현대 수학의 이러한 기초는 처음 제안된 이후 치열한 논쟁을 불러일으켰습니다. 한 가지 이유는 무한대에 대한 핵심 가정을 받아들이면 이상한 역설을 구성할 수 있다는 것입니다. 예를 들어 공을 다섯 부분으로 나누고 이를 사용하여 각각 첫 번째 부분과 같은 부피를 갖는 다섯 개의 새로운 공을 만드는 것이 가능해집니다.
또 다른 반대 의견은 더 철학적입니다. 칸토어의 폭로 이후 수십 년 동안 일부 수학자들은 단순히 수학적 구조의 존재를 주장할 수는 없으며 정신적 구성 과정을 통해 그것이 존재한다는 것을 증명해야 한다고 주장했습니다. 예를 들어 이러한 "직관주의적" 철학에서 파이는 반복되지 않는 무한한 소수 확장을 사용하는 숫자라기보다는 숫자를 생성하는 알고리즘 프로세스를 나타내는 기호에 가깝습니다.
그러나 직관주의는 주어진 정신적 구성이 이론적으로 가능하다는 것만 요구합니다. 즉, 실제를 금지합니다. 무한하지만 잠재력을 허용합니다. 무한대. 일부 수학자들은 여전히 이에 만족하지 않았습니다. 그들은 Skewes의 수와 너무 커서 기록할 수 없는 다른 값 때문에 계속 고민했습니다. 그래서 그들은 직관주의적 사고를 극단적으로 받아들이려고 했습니다.
"이 관점에서 어떤 숫자가 존재할지 생각하고 있다면 그 숫자는 이론적으로만 구성하는 것이 아니라 실제로 구성할 수 있는 숫자여야 합니다"라고 옥스퍼드 대학의 철학자 오프라 마지도르(Ofra Magidor)는 말했습니다.
이러한 실질적인 제약을 마음에 새긴 직관주의의 새로운 버전은 1960년대와 70년대 소련 수학자이자 시인인 알렉산더 에세닌-볼핀(Alexander Esenin-Volpin)의 작업으로 구체화되었습니다.
Esenin-Volpin은 무엇보다도 정치적 반체제 인사로 알려졌습니다. 시위를 주도하고 반소련 수사와 시를 퍼뜨렸다는 이유로 그는 제도화되었습니다. 1970년대 소련이 에세닌-볼핀을 강제로 이민시킨 후 자신의 집에 에세닌-볼핀을 초대한 뉴욕 시립대 논리학자 로힛 파리크(Rohit Parikh)는 "그는 '나는 인간이다. 나에게는 기본적인 권리가 있다'고 말했다"고 말했다. Esenin-Volpin은 밤새도록 Parikh의 다락방을 돌아 다니며 아내가 사랑하는 도자기를 재떨이로 사용하면서 잠재적 무한뿐만 아니라 사람의 마음 속에서 구성 할 수없는 극도로 큰 숫자조차도 거부하는 이상한 이론을 연구하는 이상한 집 손님이었습니다.
알렉산더 에세닌-볼핀(Alexander Esenin-Volpin)은 소련의 반체제 인사이자 수학자, 시인으로 인권 운동으로 인해 여러 차례 투옥되었습니다.
아이린 시저
논리학자 Harvey Friedman은 Esenin-Volpin에게 숫자를 너무 크게 만드는 이유를 정확히 찾아달라고 요청한 적이 있습니다. 2n과 같은 표현식이 주어지면 , n의 값은 무엇인가요? 숫자가 멈추나요? 20은 실제로 숫자였나요? 21, 22 등 최대 2100은 어떻습니까? Esenin-Volpin은 각 번호에 차례로 응답했습니다. 예, 21개가 존재했습니다. 예, 22명이 그랬습니다. 하지만 매번 그는 대답을 더 오래 기다렸습니다. 대화는 곧 끝이 없을 정도로 커졌습니다.
Esenin-Volpin이 자신의 주장을 밝혔습니다. Parikh와 다른 사람들이 나중에 말했듯이 숫자의 한계는 시간과 같이 숫자의 존재를 입증하는 데 필요한 제한된 자원에 뿌리를 두고 있습니다. 또는 사용 가능한 컴퓨터 메모리 또는 증거의 물리적 길이. Clarke-Doane은 “대부분의 초유한론자들은 유한과 무한의 구별이 본질적으로 모호하다는 견해를 가지고 있습니다.”라고 말했습니다.
Esenin-Volpin의 경우 n에 대해 조건이 참일 수 있습니다. 및 n의 경우 + 1 — 그렇지 않을 때까지. 아이는 성장하고 성장하여 어느 날 더 이상 아이가 아닙니다. 특정 종료점을 지정할 필요는 없습니다. 중요한 것은 끝이 저기, 어딘가에 있다는 것입니다.
Esenin-Volpin의 연구는 어떤 의미에서는 모호함을 용인할 수 있는 새로운 종류의 수학을 요구했습니다. 그 이후로 극한론자들은 그가 중단한 부분부터 시작하여 그의 모호하고 경계선에 가까운 터무니없는 수학을 견고하게 만드는 방법을 탐구했습니다.
위기 통제
1976년 어느 날 아침, 프린스턴 수학자 에드워드 넬슨은 잠에서 깨어나 믿음의 위기를 경험했습니다. "나는 무한한 숫자의 세계가 실제로 존재한다는 나의 믿음에 대해 나에게 오만함을 깨닫게 해 준 누군가의 순간적인 압도적인 존재를 느꼈습니다." 그는 수십 년 후에 "나를 손가락으로 셀 수 없을 만큼 내 침대에 남겨둔 어린아이처럼 내버려두었습니다."라고 회상했습니다.
수학에는 기본 규칙, 즉 공리가 있습니다. Nelson은 간단한 산술을 가능하게 하는 기본 공리에도 무한성에 대한 가정이 포함되어 있다는 것을 알고 있었습니다. 예를 들어 숫자에 항상 1을 더해 새로운 숫자를 만들 수 있다는 것입니다. 그는 무한을 완전히 금지하는 새로운 규칙 세트를 만들기 위해 다시 시작하고 싶었습니다. 수학이 이러한 새로운 공리만으로 구성될 수 있다면 어떤 모습일까요?
놀랍게도 약한 것으로 나타났습니다. Nelson은 무한을 추방하는 다양한 공리 세트를 연구한 후 기본 산술을 수행하기 위해 공리 중 하나를 사용하면 a라는 명제와 같은 간단한 것을 증명하는 것이 불가능해진다는 사실을 발견했습니다. + b 항상 b와 같습니다 + 에 . 지수화와 같은 기본 연산은 더 이상 항상 가능하지 않았습니다. 숫자 100이나 숫자 1,000은 구성할 수 있지만 숫자 1001,000은 구성할 수 없습니다. 수학자 도구 모음의 가장 강력한 기술 중 하나인 귀납법으로 알려진 방법은 하나의 숫자에 대해 명제가 참이라는 것을 증명할 수 있으면 모든 숫자에 대해서도 참이어야 한다는 것을 의미합니다.
Nelson에게 이러한 약점은 진실의 희미한 빛을 의미했습니다. 그는 수학자들이 당연하게 여기는 더 강력한 산술 공리(무한을 허용하는 "페아노 공리")가 근본적으로 결함이 있어 모순으로 이어질 수 있음을 보여주고 싶었습니다. “나는 우리가 수학에서 확립된 것으로 간주하는 많은 것들이 전복될 것이라고 믿습니다.”라고 그는 한때 말했습니다.
그러나 넬슨은 그들을 전복시킬 수 없었다. 2003년에 그는 페아노 공리에서 불일치를 찾기 위해 자신의 약한 공리를 사용했다고 발표했지만 그 화려한 결과는 빠르게 거짓임이 드러났습니다.
Nelson의 보다 제한된 산술과 Parikh 등이 개발한 관련 형태의 비표준 산술은 연구자들이 알고리즘이 효율적으로 증명할 수 있는 것과 증명할 수 없는 것을 이해하려고 하는 컴퓨터 영역에서 유용한 것으로 입증되었습니다. 수학에 대한 이러한 초정밀주의적 접근 방식은 계산 효율성의 언어로 번역되어 알고리즘 기능의 한계를 조사하는 데 사용되었습니다.
Nelson에게 수학은 "당신이 믿기로 선택한 진실"에 관한 것입니다. 즉, 당신이 결정한 공리는 올바른 것입니다. 이는 기본 공리를 믿기로 선택한 경우에도 마찬가지입니다. 물론, 안정적인 기반이 없는 이단자로서 극한론자는 증명해야 할 것이 더 많습니다.
인내의 훈련
2025년 4월, 무한의 폐지에 관한 컬럼비아 대학교 회의를 위해 다양한 사람들이 뉴욕시에 모였습니다. 여기에는 물리학자, 철학자, 논리학자, 수학자 등이 포함되었습니다. Zeilberger와 같은 카드를 들고 다니는 초정밀주의자들이 있었습니다. 모든 종류의 무한성을 믿는 집합 이론가; 그리고 단지 호기심이 있을 뿐이죠. 회의 주최자인 Clarke-Doane은 그 결과가 “모든 사람을 위한 인내심의 연습”이었다고 회상했습니다. 일반적으로 철학자들은 교실에서 격렬하게 의견 차이를 보이고 맥주를 마시며 모이는 데 익숙합니다. 수학자들은 그렇지 않습니다. 일반적으로 두 사람의 의견이 일치하지 않는다면 누군가 왕실에서 큰일을 냈다는 의미입니다.
분명한 것은 이 운동에 대한 명확한 동기가 없거나 기본 논리가 어떻게 생겼는지 결정하는 단일한 접근 방식이 없었기 때문에 초 유한론의 보편적 이론을 향한 진전이 부분적으로 중단되었다는 것입니다. 그렇다면 넬슨처럼 기본 원칙에 집착하는 것은 올바른 접근 방식이 아닐 수도 있습니다. “아깝다고 생각해요.” Parikh가 나에게 말했다. "형식을 쌍안경처럼 활용하고, 보고 있는 것에 더 주의를 기울여야 합니다. 쌍안경 자체를 공부하기 시작하면 게임에서 지는 것입니다."
Zeilberger는 무한이 살아있고 존재하는 세상에서 그렇게 해야 하더라도 (왜곡되었을 수 있는) 거울을 통해 사물을 보는 것을 기쁘게 생각합니다. 그는 무한이 없는 수학을 처음부터 다시 만들고 싶지 않습니다. 대신 그는 위에서 아래로 일할 수 있습니다. 실수와 함수의 작동 방식을 다루는 실제 분석을 예로 들어 보겠습니다. Zeilberger는 이를 이산 분석(연속적인 개체가 아닌 별개의 개체의 동작을 연구하는)의 "퇴화 사례"라고 부릅니다. 그는 현실의 연속적인 풍경을 아주 작은(그러나 극미하지 않은) 가치 차이로 분리된 숫자의 “분리된 목걸이”로 대체할 수 있다고 말합니다. 그런 다음 이를 사용하여 미적분학 및 미분 방정식(현재는 "차이" 방정식이라고 함)의 규칙을 다시 작성하여 미묘한 무한대 사용을 제거할 수 있습니다. 그 과정은 힘든 일이지만, 특히 컴퓨터의 도움으로 가능하다고 그는 인정합니다. 결과는 고전 수학보다 덜 우아해 보일 수 있지만, 그가 믿는 물리적 현실을 반영하기 때문에 더 아름답다고 그는 말합니다.
브뤼셀 자유대학교의 수학철학자 장 폴 반 벤데젬(Jean Paul Van Bendegem)에게 있어 초정밀론을 향한 여정은 숫자가 아닌 초등학교 기하학에서 시작되었습니다. 그는 수학 선생님이 칠판에 무한히 연장되는 선을 그리는 것을 지켜보았습니다. “어디로?” 그는 물었던 것을 기억했다. 오른쪽은 한 방향으로 무한히 멀리 가고 왼쪽은 다른 방향으로 무한히 갔다면 같은 곳에 도착했을까요? 아니면 보드 가장자리에 다양한 무한대가 숨어 있었습니까? 그의 선생님은 그에게 질문을 중단하라고 말했습니다.
Jean-Paul van Bendegem은 점과 곡선에 너비가 있는 유한 버전의 기하학을 개발했습니다.
잉게 키넷
초 유한 논리학의 선도적인 학자가 될 Van Bendegem은 나중에 선이나 곡선이 너비를 가지며 유한하고 유한하게 나누어지는 기하학을 고려하여 이러한 문제를 해결했습니다. 그것은 믿을 수 없을 만큼 작지만 무한히 크지는 않은 일련의 점으로 나눌 수 있습니다. 그런 다음 이러한 점, 선 및 곡선을 사용하여 구축하는 모든 구조는 유한해야 하며 고전 기하학의 이산적 유사성을 제공해야 합니다. 이러한 도구는 여전히 제한되어 있지만 지난 수십 년 동안 극초정밀론을 위해서만이 아니라 사물의 모양을 분류하는 것이 유한 물리학을 발전시키는 데 중요하기 때문에 깊이 탐구되었습니다.
우리는 종종 물리적 우주를 끝없이 광대하고 끝없이 나눌 수 있다고 상상하지만, 물리학자들은 이 가정에 의문을 제기합니다. 플랑크 규모(때때로 우주의 픽셀 크기라고도 함)와 같은 근본적인 한계가 있으며, 이를 초과하면 거리에 대한 개념 자체가 의미를 잃습니다. 그리고 물리학자들의 방정식에 무한대가 등장하면 문제가 될 수 있고 그들이 피하고 싶은 것이 될 수 있습니다. 양자역학의 유한론적 모델을 실험해 온 존스 홉킨스 대학의 물리학자 션 캐롤은 "한계 없이 성장하고 반복되는 우주에서 무엇을 기대하는지 예측하는 것은 정말 정말 어렵다"고 말했습니다. “대부분의 우주론자들이 그 문제를 다루는 방식은 그것이 없는 척하는 것입니다.”
독일 브레멘 컨스트럭터 대학교와 제네바 대학교의 양자물리학자인 니콜라스 기신(Nicolas Gisin)에게 직관주의 수학은 물리학의 핵심 미스터리 중 하나에 대해 생각하는 방법을 제공합니다. 즉, 대규모에서 물리적 시스템의 동작은 결정론적이고 예측 가능합니다. 그러나 양자 영역에서는 무작위성이 지배합니다. 입자는 여러 양자 상태를 가지며 예측할 수 없는 방식으로 그 중 하나로 붕괴됩니다. 물리학자들은 지난 세기 동안 이러한 불일치의 원인을 이해하려고 노력해 왔습니다.
니콜라스 기신(Nicolas Gisin)은 물리학의 가장 큰 미스터리 중 하나가 무한에 대한 잘못된 가정에서 비롯될 수 있다고 제안했습니다.
캐롤 파로디
기신은 그것이 잘못된 가정 때문이라고 단정한다. 연구원들은 우주가 시작될 때부터 입자의 양자 상태가 무한히 많은 자릿수의 실수에 의해 무한한 정밀도로 정의될 수 있다고 암묵적으로 믿고 있다고 말합니다. 그러나 Gisin에 따르면 실수를 사용하는 것은 실수입니다. 대신 직관주의 수학을 사용한다면 결정론은 비현실적으로 완벽한 정보를 갖는 인공물일 뿐이라는 것이 분명해집니다. 물리적 시스템의 대규모 결정론적 동작은 자연스럽게 부정확하고 예측 불가능해지며 고전 영역과 양자 영역 사이의 구분이 해소됩니다. 기신의 이론은 빅뱅과 같은 현상에 대한 역설을 해결하는 데 도움이 될 수 있다는 점에서 다른 물리학자들에게 흥미로운 것으로 입증되었습니다.
그러나 그의 작업이 잠재적으로 도달할 수 있는 무언가에 대한 아리스토텔레스적 의미에서 잠재적 무한성을 폐지하지 않는다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 시간과 노력을 들여 더 크거나 더 정확한 숫자를 계산하는 직관주의 수학자 전통에 따라 Gisin은 점점 더 많은 정보를 생성할 수 있도록 해줍니다. 언젠가 우주는 완벽하고 무한히 정확한 정보를 담게 될 것입니다. 하지만 그것은 중요하지 않습니다. 왜냐하면 그런 날은 결코 오지 않을 것이기 때문입니다. “여기서 잠재적인 무한성은 실제로 무한한 시간을 기다리는 것이며, 이는 현실과 아무런 관련이 없습니다.”라고 기신은 말했습니다. 중요한 것은 무한대가 더 이상 기본 가정이 아니라는 것입니다.
무한에 대한 이러한 물리학 기반의 도전은 극한주의 수학자들을 기쁘게 하는 경향이 있으며, 그들은 이를 자신의 수학이 현실에 대한 더 진실한 설명이라는 증거로 제시합니다. 2025년 회의에서 캐럴은 우주가 정말 무한한지 아니면 "그냥 꽤 큰지"에 관해 이야기하면서 컬럼비아 대학교 홀에서 그를 유명 인사로 만들었습니다. 그러나 입증 책임은 무한한 의심을 품는 사람들에게 있다고 그는 경고합니다. 만약 물리적 우주가 정말로 유한하다는 것을 어떻게든 실험적으로 증명할 수 있다면, 더 높은 무한함을 가장 열렬히 지지하는 사람들이라도 잠시 멈추고 반성할 시간이 필요할 것입니다. 그들은 집합론이 허용하는 실제 무한대의 탑을 고려할 때 집합론의 일관성에 대해 궁금해할 수도 있습니다. 어쨌든 가끔씩 하는 것은 건전한 일입니다.
설사 이런 일이 발생하더라도 무한대를 연구하고 사용하는 집합 이론가들은 여전히 자신의 연구를 당황하지 않고 계속할 권리가 있을 것입니다. 아마도 이것이 물리학과 수학이 서로 갈라져야 하는 지점이라고 말할 수 있을 것입니다. 수학과 물리학이 동일한 것을 설명해야 한다는 요구 사항은 없으며(많은 사람들이 그렇다고 믿고 있지만) 무한은 더 큰 플라톤적 의미에서 계속 존재할 수도 있습니다.
그러나 이러한 실험이 자연에 무한이 존재한다는 반대의 결과를 입증했다면 극한론자는 협상할 여지가 훨씬 적어질 것입니다. 캐롤은 “실제 물리적 세계에 무한이 있다면 극한론자가 되기는 어려울 것입니다.”라고 말했습니다.
Ultrafinite 브랜드 변경
Carroll은 나중에 나에게 이렇게 말했습니다. “사람들이 그것을 이해하지 못한 채 무시하기 때문에 나는 극한론자들에게 안타까움을 느낍니다. "하지만 반면에 극한주의자들은 자신들의 제품을 마케팅하는 데 충분한 역할을 하지 못합니다."
수학 분야에서 더 나은 마케팅 캠페인은 아마도 넬슨이 추구했던 일관성 있는 이론, 즉 무한성을 제외하지만 유용한 수학을 수행할 만큼 강력한 현대 수학의 기본 규칙과 같은 일련의 형식적 규칙처럼 보일 것입니다.
Clarke-Doane은 아이디어가 부족하지 않다고 말했습니다. 하지만 아이디어를 개발하는 데 초기 경력을 걸고자 하는 대학원생이 부족할 수도 있습니다. 그에게 뉴욕에서의 모임은 변화의 신호였습니다. 사람들은 그것을 다시 한번 살펴보고 싶을 만큼 호기심이 많고 잠재적인 반발을 너무 두려워하지 않았습니다. 그는 “사람들은 그 견해에 대해 이야기하고 그 견해를 어떻게 진지한 기초 위에 올려놓을 것인지에 대해 적극적으로 고민하고 있다”고 말했다.
대부분의 수학자들은 이 모든 것 밖에서 살고 있습니다. 수학 전체를 포괄하는 형식 이론은 그것들과 관련이 없습니다. 그들은 구체적인 문제를 해결하고 증거를 구축하는 데 무엇이 효과가 있는지에 관심이 있습니다. 근본적인 질문 - 물리적 현실 너머에 숫자가 존재합니까? 수학은 발명의 과정인가요, 아니면 발견의 과정인가요? — 수학자들이 어느 날 위기 상황에서 깨어났을 때만 하는 일종의 움츠러드는 느낌을 받을 수 있습니다.
그러나 현직 수학자는 집합 이론가와 철학자의 주장에 마찬가지로 무관심한 Zeilberger와 공통점을 찾을 수 있습니다. 그의 방식은 수학을 하나씩 분해하고 필요한 것이 무엇인지 묻는 무자비한 실용주의 방식이다. 아마도 우리는 너무 많은 것을 가정했고, 무한을 너무 많은 기본값으로 삼았으며, 환상을 믿었을 것이라고 그는 말합니다. 그로부터 어느 정도 만족을 얻고 그것을 진실한 옵션 메뉴에 추가하기 위해 자신을 극한주의자라고 선언할 필요는 없습니다.
Zeilberger는 2010년 BBC 다큐멘터리에서 자신의 말을 인용하는 것을 좋아합니다. 그는 이를 자신의 15초 동안의 명성이라고 생각합니다. “무한은 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있고, 신이 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다”고 그는 말했다. "그러나 수학에는 무한이나 신을 위한 자리가 있어서는 안 됩니다." 그는 선도적인 집합 이론가이자 더 높은 무한대에 대한 가장 용감한 탐험가 중 한 명인 휴 우딘(Hugh Woodin)에게 비동기식으로 대답하고 있었습니다. 그는 하늘을 올려다볼 수 없고 무한한 창공의 아름다움을 파악할 수 없는 자일베르거(Zeilberger)가 안타깝다고 말했습니다. Zeilberger는 "그가 계속 살아가기 위해서는 무한한 아편이 필요하다는 사실이 안타깝습니다."라고 말했습니다. "나무와 땅에는 너무나 많은 아름다움이 있습니다. 허구를 볼 필요가 없습니다."
“그래서 우리 둘 다 서로 미안하다고 생각해요.”라고 그는 말했습니다. 상대방이 자신이 선택한 신앙의 세계에 갇혀 있다는 느낌을 받게 되어 안타깝습니다.
