진폭면체는 거의 신비한 특성을 지닌 기하학적 모양입니다. 부피를 계산하면 입자가 상호 작용하는 방식에 대한 물리학의 중심 계산에 대한 답을 얻을 수 있습니다.
이제 코넬 대학의 젊은 수학자 파벨(파샤) 갈라신(Pavel (Pasha) Galashin)은 진폭면체가 전혀 관련이 없는 또 다른 주제인 종이 접기, 즉 종이 접기 기술과 신비롭게 연결되어 있음을 발견했습니다. 2024년 10월에 게시된 증거에서 그는 종이접기에서 발생하는 패턴이 진폭면체를 형성하는 일련의 점으로 변환될 수 있음을 보여주었습니다. 어쨌든 종이가 접히는 방식과 입자가 충돌하는 방식은 동일한 기하학적 모양을 만들어냅니다.
2013년 당시 대학원생 Jaroslav Trnka와 함께 진폭면체를 소개한 고등연구소(Institute for Advanced Study)의 물리학자 니마 아르카니-하메드(Nima Arkani-Hamed)는 "파샤는 이전에 진폭면체와 관련된 몇 가지 훌륭한 작업을 수행했습니다"라고 말했습니다. "하지만 이것은 나에게 있어서 다음 단계의 일입니다."
종이접기에 대한 이 새로운 연결을 통해 Galashin은 또한 물리학자들이 오랫동안 사실이라고 가정했지만 엄밀하게 증명할 수 없었던 진폭면체에 대한 공개적인 추측을 해결할 수 있었습니다. 즉, 그 모양은 물리학자들이 원하는 계산에 해당하는 더 간단한 빌딩 블록으로 실제로 절단될 수 있다는 것입니다. 즉, 진폭면체의 조각들은 실제로 예상한 대로 서로 맞아떨어집니다.
그 결과는 겉보기에 서로 다른 것처럼 보이는 두 연구 영역 사이에 다리를 놓는 것만으로는 충분하지 않습니다. Galashin과 다른 수학자들은 이미 다리가 그들에게 무엇을 말해 줄 수 있는지 탐구하고 있습니다. 그들은 진폭면체를 더 잘 이해하고 훨씬 더 광범위한 설정에서 다른 질문에 답하기 위해 이를 사용하고 있습니다.
폭발적인 계산
물리학자들은 기본 입자가 상호 작용할 때 무슨 일이 일어날지 예측하고 싶어합니다. 글루온이라고 불리는 두 개의 원자 입자가 충돌한다고 가정해 보겠습니다. 그것들은 변함없이 서로 튕겨 나갈 수도 있고, 4개의 글루온 세트로 변환될 수도 있고, 완전히 다른 일을 할 수도 있습니다. 각 결과는 산란 진폭이라는 수학적 표현으로 표현되는 특정 확률로 발생합니다.
수십 년 동안 물리학자들은 두 가지 방법 중 하나로 산란 진폭을 계산했습니다. 입자가 어떻게 움직이고 상호 작용하는지 설명하는 구불구불한 선 그림인 파인만 다이어그램이 처음으로 사용되었습니다. 각 다이어그램은 수학적 계산을 나타냅니다. 다양한 파인만 다이어그램에 해당하는 계산을 합산하면 주어진 산란 진폭을 계산할 수 있습니다. 그러나 충돌 시 입자 수가 증가함에 따라 필요한 파인만 다이어그램의 수도 폭발적으로 늘어납니다. 상황이 빨리 해결되지 않습니다. 상대적으로 간단한 이벤트의 산란 진폭을 계산하려면 수천 또는 수백만 개의 용어를 추가해야 할 수 있습니다.
2000년대 초반에 도입된 두 번째 방법은 BCFW(Britto-Cachazo-Feng-Witten) 재귀라고 합니다. 복잡한 입자 상호 작용을 연구하기 쉬운 더 작고 간단한 상호 작용으로 나눕니다. 이러한 간단한 상호 작용에 대한 진폭을 계산하고 그래프라고 하는 정점 및 가장자리 모음을 사용하여 이를 추적할 수 있습니다. 이 그래프는 원래 충돌의 산란 진폭을 계산하기 위해 간단한 상호 작용을 다시 연결하는 방법을 알려줍니다.
BCFW 재귀에는 파인만 다이어그램보다 작업이 덜 필요합니다. 수백만 개의 용어를 추가하는 대신 수백 개만 추가하면 될 수도 있습니다. 그러나 두 방법 모두 동일한 문제를 안고 있습니다. 최종 답은 거기에 도달하는 데 필요한 광범위한 계산보다 훨씬 간단하고 결국 많은 용어가 상쇄되는 경우가 많습니다.
그러다가 2013년에 Arkani-Hamed와 Trnka는 입자 충돌의 복잡한 수학이 실제로 위장된 기하학이라는 놀라운 발견을 했습니다.
기하학에 의해 저장됨
2000년대 초, 매사추세츠 공과대학의 수학자 알렉산더 포스트니코프(Alexander Postnikov)는 양의 그라스만(Grassmannian)으로 알려진 기하학적 물체를 연구하고 있었습니다.
1930년대부터 수학적 관심의 대상이었던 긍정적인 그라스만식은 매우 추상적인 방식으로 구축되었습니다. 먼저 n을 선택하세요. -차원 공간을 이해하고 그 안에 살고 있는 주어진 작은 차원의 모든 평면을 고려합니다. 예를 들어, 우리가 살고 있는 3차원 공간 안에는 모든 방향으로 퍼져 있는 평평한 2차원 평면이 무한히 많이 있습니다.
각 평면 — 본질적으로 더 큰 n의 조각 -차원 공간 — 행렬이라고 불리는 숫자 배열로 정의될 수 있습니다. 평면의 속성을 알려주는 마이너라고 하는 이 행렬에서 특정 값을 계산할 수 있습니다.
이제 당신의 공간에서 마이너가 모두 긍정적인 평면만을 고려해보세요. 이러한 모든 특별한 "양수" 평면의 모음은 복잡한 기하학적 공간, 즉 양수 Grassmannian을 제공합니다.
긍정적인 Grassmannian의 풍부한 내부 구조를 이해하기 위해 수학자들은 이를 여러 영역으로 나누어 각 영역이 특정 패턴을 공유하는 다양한 평면으로 구성되도록 합니다. 이 작업을 더 쉽게 만들고자 Postnikov는 서로 다른 지역을 추적하고 이들이 어떻게 결합되는지 추적하는 방법을 생각해 냈습니다. 그는 자신이 plabic("평면 이중색상"의 줄임말) 그래프라고 부르는 그래프를 발명했습니다. 이는 검정색과 흰색 정점이 가장자리로 연결되고 가장자리가 교차하지 않도록 그려진 네트워크입니다. 각 플라빅 그래프는 양의 그래스만식(Grassmannian)의 한 영역을 포착하여 수학자에게 조밀한 대수 공식으로 정의되는 시각적 언어를 제공합니다.
Postnikov가 플라빅 그래프를 소개한 지 거의 10년이 지나서 Arkani-Hamed와 Trnka는 다양한 입자 충돌의 산란 진폭을 계산하려고 했습니다. BCFW 재귀 공식을 다루면서 그들은 이상한 점을 발견했습니다. 그들이 계산을 추적하기 위해 사용했던 그래프는 포스트니코프의 플라빅 그래프와 똑같아 보였습니다. 호기심이 생긴 그들은 그를 만나기 위해 MIT로 차를 몰고 갔습니다.
"점심 시간에 우리는 '이상해요. 우리도 똑같은 일을 보고 있어요'라고 말했습니다."라고 Arkani-Hamed는 회상했습니다.
그들이 옳았습니다. n 충돌에 대한 산란 진폭을 계산하려면 입자 때문에 물리학자들은 많은 BCFW 용어를 더해야 할 것입니다. 그리고 이러한 각 용어는 n 의 양의 Grassmannian 영역에 해당합니다. 차원.
Arkani-Hamed와 Trnka는 이러한 기하학적 연결로 인해 산란 진폭을 더 쉽게 계산할 수 있다는 것을 깨달았습니다. 예를 들어 입자의 운동량과 같은 입자 충돌에 대한 데이터를 사용하여 양성 Grassmannian의 저차원 그림자를 정의했습니다. 이 그림자의 총 부피는 산란 진폭과 동일했습니다.
그리하여 진폭면체가 탄생했습니다.
8개의 글루온을 포함하는 입자 충돌에 해당하는 진폭면체의 그림.
니마 아르카니-하메드
그것은 이야기의 시작에 불과했습니다. 예를 들어, 물리학자와 수학자들은 양의 그라스만면체 영역을 정의하는 동일한 플라빅 그래프가 진폭면체의 조각도 정의할 수 있다는 것과 그 조각들이 틈이나 겹침이 없이 서로 완벽하게 맞아서 모양의 정확한 부피를 포함할 수 있다는 것을 확인하고 싶었습니다. 이 희망은 삼각측량 추측으로 알려지게 되었습니다. 진폭면체를 깔끔하게 삼각측량하거나 더 단순한 구성 요소로 세분화할 수 있을까요?
이를 증명하면 입자 충돌의 산란 진폭(비록 비효율적이지만)을 생성하는 복잡한 BCFW 공식이 진폭면체 구성 블록의 부피의 합으로 이해될 수 있다는 Arkani-Hamed와 Trnka의 비전이 확고해질 것입니다.
이것은 쉬운 일이 아니었습니다. 우선, 처음부터 실제로 두 개의 진폭면체가 있다는 것이 분명했습니다. 첫 번째는 운동량-트위스터 좌표로 정의되었습니다. 이는 긍정적인 Grassmannian 및 Postnikov의 플라빅 그래프와 자연스럽게 관련되어 있기 때문에 모양을 작업하기 쉽게 만드는 영리한 수학적 재라벨링입니다. 수학자들은 2021년에 이 버전의 진폭면체에 대한 삼각측량 추측을 증명할 수 있었습니다.
운동량 증폭면체로 알려진 다른 버전은 충돌하는 입자의 운동량으로 직접 정의되었습니다. 물리학자들은 이 두 번째 버전이 실제 입자 충돌 및 산란 실험과 동일한 언어를 사용했기 때문에 더 관심을 가졌습니다. 하지만 수학적으로 설명하는 것도 더 어려웠습니다. 그 결과 삼각측량 추측은 활짝 열려 있었다.
운동량 증폭면체에 대한 삼각측량이 실패한다면, 이는 진폭면체가 산란 진폭을 계산하기 위한 BCFW 공식을 이해하는 올바른 방법이 아니라는 것을 의미합니다.
종이 접기에 대한 연구가 앞으로 나아갈 길을 제시하기 시작할 때까지 10년 넘게 불확실성이 지속되었습니다.
빅풋 찾기
파벨 갈라신은 종이접기나 진폭면체를 연구하려고 시작한 것이 아닙니다. 2018년에 Postnikov의 대학원생 중 한 명인 그와 동료는 강자성체와 같은 시스템의 동작을 연구하는 데 사용되는 긍정적인 Grassmannian 모델과 Ising 모델 사이의 흥미로운 연관성을 입증했습니다. Galashin은 이제 Ising 모델에 대한 유명한 증거, 특히 이 모델이 보여준 특별한 대칭성에 대한 증거를 긍정적인 Grassmannian의 관점에서 이해하려고 노력하고 있었습니다.
Galashin은 증거(그가 다음 몇 년 동안 간헐적으로 다시 사용한 프로젝트)를 진행하는 동안 연구자들이 기하학을 더 다루기 쉽게 만들기 위해 다른 종류의 다이어그램을 사용한 몇 가지 흥미로운 논문, 즉 종이접기 주름 패턴을 접했습니다. 이것은 예를 들어 학이나 개구리를 만들기 위해 종이를 접어야 하는 위치를 알려주는 선 다이어그램입니다.
이 주름 패턴은 백조를 만들어냅니다.
종이접기가 여기에 등장하는 것이 이상하게 보일 수도 있습니다. 하지만 시간이 지나면서 종이접기의 수학은 놀라울 정도로 깊어졌습니다. 주어진 주름 패턴이 찢어지지 않고 평평하게 만들 수 있는 모양을 생성하는지 여부와 같은 종이접기에 관한 문제는 계산적으로 해결하기 어렵습니다. 그리고 이제 종이접기를 사용하여 모든 종류의 계산을 수행할 수 있다는 것이 알려졌습니다.
2023년에 Ising 모델에 관한 논문에서 종이접기가 무엇을 하고 있는지 조사하던 중 Galashin은 그의 관심을 끄는 질문을 발견했습니다. 주름 패턴의 외부 경계, 즉 주름이 다양한 선분으로 나누어지는 종이의 테두리에 대한 정보만 가지고 있다고 가정해 보겠습니다. 특히, 접기 전후에 해당 선분이 공간에 어떻게 위치하는지에 대한 정보만 가지고 있다고 가정해 보겠습니다. 이러한 제약 조건을 충족하고 적절하게 펴질 수 있는 종이 접기 모양을 생성하는 완전한 주름 패턴을 항상 찾을 수 있습니까? 수학자들은 대답이 '예'라고 추측했지만 누구도 이를 증명할 수 없었습니다.
Galashin은 긍정적인 Grassmannian을 다루는 그의 평소 연구 분야에서 물체의 경계를 조사하는 것이 그것에 대한 정보를 얻는 일반적인 방법이기 때문에 이 추측이 놀랍다고 생각했습니다.
