파이프 시스템의 압력 손실 이해:Darcy 마찰계수

파이프의 압력 손실은 유체의 내부 마찰(점도)과 유체와 벽 사이의 마찰로 인해 발생합니다. 압력 손실은 부품에서도 발생합니다.

소개

유체가 파이프를 통해 흐를 때 필연적으로 에너지 손실이 발생합니다. 한편으로는 이는 파이프 벽과 유체 사이에서 발생하는 마찰(벽 마찰)로 인해 발생합니다. ). 한편, 유체의 점성으로 인해 유체 내부에서도 마찰 효과가 발생합니다(내부 마찰). ). 유체 흐름이 빠를수록 내부 마찰 효과가 커집니다(Poiseuille 흐름에 대한 기사 참조).

추가적인 흐름 손실은 유체의 난류, 특히 흐름에 장애물이 되는 피팅의 난류로 인해 발생합니다. 이러한 난류에는 운동 에너지가 포함되어 있지만 거시적인 관점에서 볼 때 파이프라인을 통해 이를 전달하지 않고 그대로 유지됩니다.

벤츄리 효과(Venturi Effect) 기사에서 압력이 체적 비에너지로도 이해될 수 있다는 것이 이미 자세히 설명되어 있습니다. . 이러한 맥락에서 압력은 유체에 포함된 단위 부피당 에너지의 양을 나타냅니다. 따라서 압력이 에너지를 의미한다면 에너지 손실은 필연적으로 압력 손실을 의미합니다. 위에서 설명한 마찰 및 흐름 효과는 따라서 해당 압력 손실(압력 강하)을 동반합니다.

압력 손실은 기본적으로 정압 손실(또는 전체 압력 손실)을 의미합니다. 동적 및 정수압은 흐름의 영향일 뿐 원인이 아니기 때문에 에너지 손실의 영향을 받지 않습니다. 정수압과 동압은 파이프라인의 기하학적 구조에 따라 미리 결정됩니다. 추가 압력 손실은 개별 구성품에서 발생합니다. 밸브, 엘보우 또는 측정 장비.

파이프라인의 (정적) 압력 손실은 유체가 파이프 시스템을 통해 흐를 때 필연적으로 발생하는 기계적 에너지 손실과 관련이 있습니다.

다음에서는 액체나 느리게 흐르는 기체와 같은 비압축성 흐름만 고려합니다.

흐름이 층류인지 난류인지에 관계없이 파이프라인을 통한 압력 손실 또는 압력 강하는 무차원 유사성 매개변수로 설명됩니다. 이는 소위 Darcy 마찰계수입니다. f는 기본적으로 압력 손실 Δpl(에너지 손실)과 동적 압력 Δpdyn의 형태로 흐름에 포함된 운동 에너지 사이의 관계를 설명합니다. 또한, 내부 파이프 직경 d와 파이프 길이 L의 비율을 고려해야 합니다.

\begin{정렬}
&f:=\frac{\Delta p_\text{l}}{p_\text{dyn}} \cdot \frac{d}{L}~~\text{어디에서}~~~ p_\text{dyn}=\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2 ~~\text{:} \\[5px]
\라벨{람다}
&\boxed{f=\frac{\Delta p_\text{l}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}} ~~\text{Darcy 마찰 계수(저항 계수)} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식에서 d는 파이프의 내부 직경을 나타내고 L은 압력 강하가 Δpl인 직선 파이프 단면의 길이를 나타냅니다. Darcy 마찰계수 저항 계수라고도 합니다. 아니면 그냥 마찰계수 .

유속은 파이프 내 유체의 평균 유속을 나타냅니다. 난류 흐름과 층류 흐름 모두 파이프 단면에 균일한 속도 분포가 없지만 일반적인 속도 분포가 있다는 점에 유의하세요(포아세유 흐름 참조).

Darcy 마찰 계수(저항 계수)는 직선 파이프 섹션의 압력 손실을 설명하는 무차원 유사 매개변수입니다!

마찰계수를 유사성 매개변수로 정의함으로써 마찰계수는 이후 파이프 시스템의 축소된 모델 규모에서 결정될 수 있습니다. 그런 다음 이를 실제 규모에 적용할 수 있으므로 실제 파이프라인의 압력 손실을 결정할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{def}
&\boxed{\Delta p_\text{l} =f \cdot \frac{1}{2}\rho ~\bar v^2 \cdot \frac{L}{ d}} ~~\text{직선 파이프 단면의 압력 손실} \\[5px]
\end{정렬}

마찰 계수는 나중에 설명하는 것처럼 파이프의 기하학적 구조를 기반으로 수학적으로 계산할 수도 있습니다.

이 공식은 직선 파이프 섹션에만 적용됩니다. 파이프 엘보우에서는 일반적으로 흐름의 방향 전환으로 인해 추가 손실이 발생하며 이로 인해 압력 손실이 발생합니다. 이러한 구성요소에 따른 압력 손실(개별 저항)은 사소한 손실 계수에 의해 별도로 고려됩니다. ζ. 이에 대해서는 나중에 자세히 설명하겠습니다.

실제로는 특정 유속이 필요하지 않고 특정 체적 유속이 필요한 경우가 많습니다. 평균 유속 v는 파이프 A의 단면적에 따라 체적 유속 V*에 연결됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\dot V =\bar v \cdot A} ~~\text{여기서}~A=\frac{\pi}{4}d^2~~\text{:} \\[5px]
&\dot V =\bar v \cdot \frac{\pi}{4}~d^2 \\[5px]
\라벨{vol}
&\밑줄{\bar v =\frac{4\dot V}{\pi ~d^2}} \\[5px]
\end{정렬}

방정식 (\ref{vol})이 방정식 (\ref{def})에 사용되면 주어진 체적 유량에서 압력 손실에 대한 다음 공식이 최종적으로 얻어집니다.

\begin{정렬}
&\Delta p_\text{l} =f \cdot \frac{1}{2}\rho ~\left( \frac{4\dot V}{\pi ~d^2}\right)^2 \cdot \frac{L}{ d}\\[5px]
\라벨{볼루}
&\boxed{\Delta p_\text{l} =f \cdot \frac{8\rho~L}{\pi^2} \cdot \frac{\dot{V}^2}{d^5}} ~~\text{직선 파이프 단면의 압력 손실} \\[5px]
\end{정렬}

직경은 분명히 압력 손실의 5승에 영향을 미치므로 결정적인 영향을 미칩니다. 일반적으로 직경이 클수록 압력 손실이 낮아집니다! 그러나 마찰계수 f는 유속에 따라 달라집니다. 유속은 체적 유량과 파이프 직경에 따라 달라집니다! 따라서 이러한 변수는 일반적으로 서로 영향을 미칩니다.

층류에 대한 압력 손실

유체의 내부 마찰로 인한 점도("인성")로 인한 압력 손실은 이미 Hagen-Poiseuille 방정식에 관한 기사에서 층류에 대해 자세히 파생되었습니다.

\begin{정렬}
\라벨{lam}
&\boxed{\Delta p_\text{l,lam} =\frac{32~\eta ~ L}{d^2} \cdot \bar v} ~~\text{점도로 인한 압력 손실} \\[5px]
\라벨{lam2}
&\boxed{\Delta p_\text{l,lam} =\frac{128~\eta ~ L}{\pi d^4} \cdot \dot V} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식에서 Δpl,lam은 동적 점도 θ를 갖는 유체가 평균 속도 v 또는 체적 유량 V*로 파이프를 통해 층류로 흐를 때 내부 직경이 d이고 길이가 L인 파이프 단면을 따른 압력 강하를 나타냅니다.

유체의 항상 존재하는 점도로 인해 필연적으로 발생하는 압력 손실은 유체가 파이프를 통해 펌핑되는 경우 어떤 경우에도 보상되어야 합니다. 따라서 압력 손실은 유체 흐름을 유지하기 위해 펌프가 생성해야 하는 압력에 해당합니다.

층류 파이프 유동에 대한 Darcy 마찰계수 flam은 방정식 (\ref{lambda})의 공식 (\ref{lam})을 사용하여 결정할 수 있습니다:

\begin{정렬}
\요구{취소}
f_\text{lam} &=\frac{\Delta p_\text{l,lam}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}\\[5px]
&=\frac{\frac{32~\eta ~ L}{d^2} \cdot \bar v}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}\\[5px]
&=\frac{2 \cdot 32~\eta ~ \cancel{L}~\cancel{\bar v}}{d^{\cancel{2}}~\rho ~\bar v^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{d}}{\cancel{L}}\\[5px]
&=\frac{64~\eta}{d~\rho ~\bar v}\\[5px]
&=\dfrac{64}{\color{red}{\dfrac{d \rho ~\bar v}{\eta}}}~~~\text{mit}~~~\color{red}{Re=\frac{d~\rho~\bar v}{\eta}}\\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
\라벨{a}
&\boxed{f_\text{lam}=\dfrac{64}{Re}} ~~\text{층류 흐름에 대한 Darcy 마찰 계수}\\[5px]
\end{정렬}

층류 흐름의 경우 마찰 계수는 레이놀즈 수에만 의존합니다. 레이놀즈수가 높을수록 마찰계수는 낮아집니다!

유속이 증가하면(레이놀즈 수가 증가) 마찰 계수가 감소하지만 이것이 압력 손실이 감소한다는 의미는 아닙니다. 방정식(\ref{def})에 따르면 압력 손실은 유속의 2승에 따라 증가합니다. 따라서 압력 손실은 유속과 비례하여 증가합니다. 방정식(\ref{lam})을 참조하세요!

마찰은 유체 자체 내에서만 존재하는 것이 아니라 일반적으로 유체와 파이프 벽 사이에서도 마찰 효과가 발생한다고 말한 바 있습니다. 하지만 어쨌든 유체가 벽에 달라붙기 때문에 (미끄러지지 않는 상태) ) 층류층이 벽의 거칠기를 덮으므로 이는 압력 손실에 추가적인 영향을 미치지 않습니다. 따라서 총 압력 손실은 층류 유동에 대한 방정식(\ref{a})으로만 제공됩니다. 난류의 경우 상황이 다르며 이에 대해서는 다음 섹션에서 자세히 설명합니다.

난류에 대한 압력 손실

흐름의 난류는 많은 소용돌이를 의미합니다. 여기에는 운동 에너지가 포함되어 있지만 이 에너지는 실제로 전달되지 않습니다. 하류에서는 이 에너지가 길을 찾지 못하므로 기술적인 의미에서 손실됩니다. 따라서 유체의 점성으로 인한 내부 마찰로 인한 압력 손실 외에도 난류로 인해 추가적인 압력 손실이 발생합니다. 따라서 압력 손실은 층류보다 난류에서 더 큽니다.

점성 하위층

난류 흐름에서는 파이프 벽의 거칠기가 마찰계수에 큰 영향을 미칩니다. 이를 위해 우리는 거친 파이프 벽에 있는 유체의 상황을 자세히 살펴봅니다. 우선, 난류 속에서도 미끄럼 방지 조건으로 인해 벽에 직접 위치한 유체 입자가 벽에 달라붙습니다. . 그러나 벽에 의해 교차 흐름이 방지되므로 벽 바로 근처에는 난류가 형성될 수 없습니다(유체가 벽을 통해 흐를 수 없음). 이러한 이유로 소위 층류 하위층 점성 하위층이라고도 하는 은 벽에 직접 형성됩니다.

이 점성 하위층의 두께와 거칠기의 크기에 따라 하위층이 벽의 거칠기를 어느 정도 덮습니다. 거칠기가 너무 크면 흐름에 매우 큰 영향을 미치고 난류가 증가하게 됩니다. 이는 상대적으로 큰 압력 손실을 초래합니다. 반면에 점성 하위층에서 돌출된 표면 거칠기가 상대적으로 작으면 난류 및 그에 따른 압력 손실이 더 낮습니다. 반면 표면 거칠기가 점성 하위층으로 완전히 덮이면 흐름의 난류로 인한 압력 손실이 가장 낮습니다. 이 경우 유압적으로 부드러운 파이프에 대해서도 이야기합니다. .

점성 하층이 표면 거칠기를 완전히 덮을 때 파이프는 수력학적으로 매끄러운 것으로 간주됩니다. 이 경우 압력 손실이 가장 낮습니다!

상대 거칠기

표면의 거칠기는 거칠기 매개변수로 표시됩니다. k(Rz로도 표시됨). 이 거칠기 매개변수는 거친 표면의 가장 낮은 지점과 가장 높은 지점 사이의 높이를 설명하며 여러 섹션에 걸쳐 평균을 냅니다.

그러나 파이프 벽 거칠기의 절대적인 척도인 이 거칠기 매개변수는 난류에 대한 영향을 특성화하는 데 적합하지 않습니다. 거칠기는 항상 전체 흐름 단면, 즉 파이프의 내부 직경과 관련하여 고려되어야 합니다. 절대 거칠기 k와 파이프 직경 d의 비율을 상대 거칠기라고도 합니다. ε:

\begin{정렬}
\라벨{e}
&\boxed{\varepsilon=\frac{k}{d}} ~~\text{상대 거칠기}\\[5px]
\end{정렬}

상대 거칠기는 전체 파이프 직경에서 거칠기가 차지하는 비율을 나타냅니다.

암시적 Colebrook-White 방정식

과학자 Colebrook과 White는 경험적 결과를 사용하여 난류 파이프 흐름에 대한 Darcy 마찰 계수를 결정하기 위해 다음과 같은 암시적 함수를 도출했습니다.

\begin{정렬}
\라벨{cw}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{2.51}{Re} \cdot \color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}} +\frac{\varepsilon}{3.71}\right)} ~~\text{콜브룩-화이트 방정식} \\[5px]
\end{정렬}

"암시적"이라는 용어는 이 방정식이 마찰 계수에 대해 직접적으로 풀릴 수 없음을 의미합니다. 오히려, 주어진 흐름의 레이놀즈 수 Re와 파이프 벽의 주어진 상대 거칠기 ε를 사용하여 이 방정식을 만족하는 마찰 계수를 찾는 것이 필요합니다. 이 경우 발견된 마찰계수는 검색된 값과 일치합니다. 다음 섹션에서 명시적인 Haaland 방정식 , 이 방정식의 반복 솔루션이 더 자세히 설명됩니다. 소위 무디(Moody) 차트를 사용하면 마찰 요인을 그래픽으로 확인할 수도 있습니다.

수력적으로 매끄러운 파이프의 경우 점성 하위층이 벽의 거칠기를 덮습니다. 이 경우 Colebrook-White 방정식의 상대 거칠기 ε는 실제로 얻은 값에 관계없이 0으로 설정되어야 합니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{2.51}{Re} \cdot \color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}} \right)} ~~\text{수압적으로 부드러운 파이프의 경우} \\[5px]
\end{정렬}

파이프 벽의 표면 거칠기가 점성 하위층에서 완전히 돌출된 경우 마찰 계수는 거의 전적으로 벽 거칠기에 의해 결정되며 레이놀즈 수와 무관합니다. 과학자 Nikuradze 이러한 수압적으로 거친 파이프에 대해 다음과 같은 명시적인 방정식을 도출했습니다. 파이프 마찰 계수를 결정하려면:

\begin{정렬}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{\varepsilon}{3.71} \right)} ~~\text{수압이 거친 파이프의 경우} \\[5px]
&f_\text{tur}=\frac{1}{\left[2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{3.71}{\varepsilon} \right)\right]^2} \\[5px]
\end{정렬}

명시적인 Haaland 방정식

Colebrook-White 방정식(\ref{cw})이 이렇게 다소 이상한 형태로 제시되는 이유가 있습니다. 이를 통해 반복적인 절차가 가능하므로 시작 값부터 시작하여 마찰 계수를 결정할 수 있습니다. 1/√ftur,0. 시작 값은 Haaland가 제안한 명시적 방정식에 의해 결정될 수 있습니다. :

\begin{정렬}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur,0}}}}=-1.8\cdot \log_\text{10}\left(\frac{6.9}{Re} +\left(\frac{\varepsilon}{3,7}\right)^{1.11}\right)} ~~\text{홀란드 방정식} \\[5px]
\end{정렬}

Haaland 방정식으로 명시적으로 결정된 값 1/√ftur,0은 이제 Colebrook-White 방정식의 우변에서 사용될 수 있습니다. 결과적으로 방정식의 왼쪽에 따라 새로운 값 1/√ftur,1이 생성됩니다. 그러면 이 값은 방정식의 오른쪽에서 다시 사용될 수 있습니다. 두 번의 패스 후에 얻은 값 1/√ftur,2는 일반적으로 검색한 값 1/√ftur와 충분한 정확도를 갖습니다. 마지막으로 파이프 마찰 계수 ftur를 결정할 수 있습니다.

Haaland 방정식 대신 1/√ftur,0=7.5} 값을 시작 값으로 사용할 수 있습니다. 이는 수력학적으로 매끄러운 파이프(ε=0) 및 레이놀즈 수 105에 대한 Haaland 방정식의 결과에 해당합니다.

전력 손실

파이프라인의 압력 손실은 적절한 펌프의 출력으로 보상되어야 합니다. 압력 손실 Δpl로 인한 전력 손실 Pl은 체적 유량 V*에 따라 달라집니다.

\begin{정렬}
\라벨{v}
&P_\text{l} =\Delta p_\text{l} \cdot \dot V \\[5px]
\end{정렬}

방정식(\ref{volu})에 따른 압력 강하 Δpl을 방정식(\ref{v})에 대입하면 다음 공식이 생성됩니다.

\begin{정렬}
\라벨{dr}
&\boxed{P_\text{l} =f \cdot \frac{8\rho~L}{\pi^2} \cdot \frac{\dot{V}^3}{d^5}} ~~\text{일반적으로 적용됨}\\[5px]
\end{정렬}

이 시점에서 마찰 계수 f는 레이놀즈 수에 따라 달라지며 따라서 유속에도 영향을 받는다는 점을 다시 한 번 주목해야 합니다. 유속은 체적 유속과 파이프 직경에 따라 달라집니다!

층류 유동의 경우에만 방정식(\ref{a})에 따라 레이놀즈 수와 마찰계수 사이에 명시적인 관계가 있습니다. 이 경우, 층류 유동에 대한 압력 손실은 방정식 (\ref{lam2})에 따라 전력 손실 공식(\ref{v})에 직접 입력될 수 있습니다. 층류 파이프 흐름의 경우 다음 관계가 적용됩니다.

\begin{정렬}
&P_\text{l,lam} =\Delta p_\text{l,lam} \cdot \dot V \\[5px]
&\boxed{P_\text{l,lam} =\frac{128~\eta ~ L}{\pi} \cdot \frac{\dot{V}^2}{d^4}} ~~\text{층류에만 적용됨}\\[5px]
\end{정렬}

개별 부품에 의한 압력 손실(소손실 계수)

파이프 시스템은 일반적으로 단일 직선 파이프로 구성되지 않습니다. 파이프 시스템은 일반적으로 여러 개의 엘보우, 분기, 리듀서, 밸브 등으로 구성됩니다. 이러한 개별 구성 요소는 에너지 손실과 그에 따른 압력 손실도 유발합니다.

이러한 압력 손실은 각각 사소한 손실 계수로 설명됩니다. ζ. 작은 손실 계수는 Darcy 마찰 계수와 유사하게 정의됩니다. 즉, 구성 요소의 압력 손실 Δpl과 흐름 pdyn의 동적 압력 간의 비율로 정의됩니다.

\begin{정렬}
&\zeta:=\frac{\Delta p_\text{l}}{p_\text{dyn}} ~~\text{어디에서}~~~ p_\text{dyn}=\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2 ~~~\text{:} \\[5px]
\라벨{제타}
&\boxed{\zeta=\frac{\Delta p_\text{l}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} } ~~\text{사소한 손실 계수} \\[5px]
\end{정렬}

유체가 흐르는 물체에 대한 작은 손실 계수의 의미는 궁극적으로 흐름이 흐르는 물체에 대한 항력 계수와 동일합니다.

마이너 손실 계수는 개별 구성요소(엘보우, 밸브, 리듀서 등)의 압력 손실을 설명하기 위한 무차원 유사 매개변수입니다!

다양한 구성 요소의 사소한 손실 계수는 일반적으로 실험적으로 결정되며 표에 나와 있습니다. 사소한 손실 계수를 알고 있는 경우 구성 요소를 통한 압력 손실은 다음과 같이 결정될 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{dez}
&\boxed{\Delta p_\text{l} =\zeta \cdot \frac{1}{2}\rho ~\bar v^2 } ~~\text{개별 부품의 압력 손실} \\[5px]
\end{정렬}

유속은 기본적으로 실제 구성 요소 이전의 유체 속도를 의미하며 구성 요소 내부의 유속을 의미하지 않습니다! 예를 들어 밸브는 유동 단면적을 줄여 부품의 유동 속도를 높입니다. 그러나 압력 손실의 기초로 간주되는 유속은 파이프라인의 유속을 나타냅니다!

결국 직선 파이프 단면에 대해 작은 손실 계수를 정의할 수도 있습니다. 이러한 방식으로 직선 파이프 섹션도 단일 구성요소로 간주될 수 있습니다. 이 경우 작은 손실 계수는 Darcy 마찰 계수 f, 파이프 섹션 길이 L 및 내부 파이프 직경 d와 다음과 같이 관련됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\zeta_\text{p} =\frac{L}{d} f}~~~\text{직관 단면의 작은 손실 계수} \\[5px]
\end{정렬}

반대로, 소위 등가 파이프 길이 Le는 개별 구성 요소에 대해 제공될 수 있습니다. 그런 다음 이러한 구성 요소를 추가 파이프 섹션으로 상상할 수 있습니다. 아래 방정식에서 Darcy 마찰계수 f는 실제 파이프의 마찰계수에 해당합니다.

\begin{정렬}
&\boxed{L_\text{e}=\frac{d \cdot \zeta}{f}}~~~\text{구성요소의 파이프 길이와 동일} \\[5px]
\end{정렬}

파이프 직경 d =1cm, 작은 손실 계수 ζ=1, 마찰 계수 f =0.02를 사용하면 등가 파이프 길이가 0.5m에 불과합니다. 매우 긴 배관 시스템과 소수의 개별 구성요소(종종 그런 경우)가 있는 경우 설치된 구성요소로 인한 압력 손실은 일반적으로 무시될 수 있습니다. 이러한 이유로 개별 구성 요소의 저항 계수를 마이너 라고 합니다. 손실 계수. 하지만 참고:특히 짧은 배관 시스템의 경우 사소한 손실 계수가 엄청난 영향을 미칠 수 있는 경우도 있습니다!

따라서 일반적으로 다음이 적용됩니다. 개별 직선 파이프 섹션을 통한 압력 손실 Δpl.p의 합과 개별 구성요소를 통한 압력 손실 Δpl,c의 합을 더하면 전체 파이프 시스템의 총 압력 손실 Δpl,total이 제공됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\Delta p_\text{l,total} =\sum \Delta p_\text{l,p} +\sum \Delta p_\text{l,c} } \\[5px]
\end{정렬}

내부 직경 d가 일정하고 평균 유속 v가 일정한 전체 길이 L의 파이프라인 하나만 있는 경우 다음 공식이 적용됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\Delta p_\text{l,total} =\left(f \frac{L}{d} + \sum \zeta \right) \frac{1}{2}\rho~\bar{v}^2} \\[5px]
\end{정렬}