세 가지 신체 문제는 서로 영향을 미치는 세 가지 중력 몸의 운동 방정식을 찾는 것과 관련이 있습니다. 수학 복잡성으로 인해 해결하기가 어렵습니다.
우리 주변의 자연 세계를 묘사하는 과학 분야는 물리학입니다. 객관적인 현실에 가능한 한 가깝게 (즉, 과학자의 개인적 편견없이 가장 큰 정확도로 설명 할 수있는 것에 의존하기 위해) 물리학은 수학에 핵심 작업 도구로 의존합니다. 따라서 수학의 발전은 종종 이론 물리학을 발전시키는 데 도움이되며, 이는 실제 구현으로 확인할 수 있습니다. 그러나 관련된 수학이 너무 복잡해지면 물리학의 잠재적 발전도 영향을받습니다.
중력 역학 (중력으로 인한 물체의 움직임)은 수학에 크게 의존하는 물리학의 가장 오래된 가지 중 하나입니다. 중력에서 그러한 문제 중 하나는 3 바디 문제 입니다 .
문제 문자
뉴턴의 중력 이론은 두 중력 공급원 사이의 상호 작용을 합리적으로 높은 정확도로 설명합니다. 그러나 현실 세계는 2 개 이상의 몸체 (예 :태양계)가있는 시스템으로 구성되므로 두 개의 몸체에 대한 방정식이 필요합니다.
3 바디 문제 물리학에서는 3 개의 중력 공급원 (3 개의 행성, 3 개의 별 또는 그 조합)이있는 폐쇄 시스템 (외부 힘이없는)의 진화 (시간이 지남에 따라 변화)와 관련이 있습니다. 목표는 어느 순식간에 세 몸의 위치와 운동량의 가치를 제공하는 솔루션에 도달하는 것입니다.
지구, 태양 및 달 사이의 상호 작용은 위성을 달로 보내기 위해 정확하게 해결 해야하는 3- 바디 문제입니다 (사진 크레디트 :Grayjay/Shutterstock)
필요한 솔루션 유형
목표는 뉴턴의 중력 이론을 사용하여 언제든지 시스템에서 각 신체의 위치와 운동량을 지정하는 방정식 (또는 방정식 세트)에 도달하는 것입니다.
.솔루션이 실현 가능한 요구 사항입니다.
- 솔루션은 일반 이어야합니다 , 즉, 가능한 모든 시작 구성 에 대해 작동합니다 세 몸의. 보다 구체적으로, 시간의 값을 막아서 나중에 세 바디의 위치와 운동량을 제공하는 방정식 (또는 방정식 세트) 형태의 솔루션이 필요합니다. 예를 들어
- , 방정식 y (t) =u
t + 0.5 a t2 y, 에 대한 일반적인 솔루션입니다 t. 의 값을 연결하여 답을 계산할 수 방정식은 u 의 모든 값에 유효합니다. 및 a (초기 조건). - 솔루션은 폐쇄 형태 이어야합니다 . 폐쇄 형 폼 솔루션은 유한 수의 수학 연산 (+, -, ,
, 
등)
예를 들어 - , 방정식 y =mx + c 단일 곱셈과 단일 첨가물이 y 을 발현하는 데 사용되기 때문에 폐쇄 형태 솔루션입니다. . 유사하게, 방정식, y =ex +
하나의 지수, 하나의 첨가 및 1 개의 사각형 루팅이 있기 때문에 폐쇄 형 양식 표현입니다. 그러나 표현, y =1 + x + x2 + x3 + …… 폐쇄 형 양식 솔루션이 아닙니다 y 을 표현하는 데 필요한 무한한 수의 추가 사항이 있기 때문입니다. .
운동학 방정식은 폐쇄 형식 표현의 예입니다. 임의의 시간 값에 대해, 위치는 절대 정확도로 예측할 수 있습니다. (사진 크레딧 :Zizou7/Shutterstock)
솔루션이 언급 된 속성을 가지고 있지 않으면 해당 솔루션은 폐기 입니다. 왜냐하면 :
- 일반적인 솔루션의 부족은 각각의 고유 한 시작 구성에 대해 새로운 방정식을 도출해야 함을 의미합니다. 세 바디에 대한 무한한 수의 시작 위치가있을 수 있으므로 무한한 수의 솔루션이 도출되어야합니다.
- 폐쇄 형 양식 솔루션의 부족은 언제 중지 할시기를 나타내지 않고 많은 용어를 계산해야 함을 의미합니다. 따라서 정확도는 결정할 수 없으며 (엔드 포인트가 없기 때문에) 사용 된 컴퓨팅 능력은 엄청납니다.
이와 같은 방정식은 일반적으로 매우 느리게 수렴하기 때문에 일반적으로 선호되지 않습니다. 많은 계산 능력과 시간이 필요하기 때문에 바람직하지 않습니다. (사진 크레딧 :Benjaminec/Shutterstock)
수학 데드-엔드 및 물리적 해석
뉴턴에 따르면, 두 몸 사이의 매력은 거리 r , 중력으로 인해 :
where,
ma, m b =몸의 질량 a 및 b, 각각
=단위 벡터 (길이 1) 두 몸의 중심을 결합하는 선을 따라
뉴턴의 중력 법칙 (사진 크레디트 :Nasky/Shutterstock)
ma 세 가지 질량을 두십시오 , mb 및 mc , 임의의 (임의) 구성의 공간에 배치됩니다. 세 몸 각자 사이의 거리가 rab , rac 및 rbc 각각. 우리는 위치를 찾고 싶습니다. ra , r b 및 r c 그리고 Momenta pa , p b 및 PC , 각각의 순간에 세 가지 질량의 경우 t .
각 질량은 다른 두 가지로 인해 중력 매력의 영향을받습니다. 이것은 수학적으로 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.
- m 에 의해 경험되는 힘 a MB 로 인해 및 mc :
- mb 에 의해 경험되는 힘 ma 때문입니다 및 mc :
- mc 가 경험 한 힘 ma 때문입니다 및 ma :
어디 
, 
및 
질량 a 의 가속도입니다 , b 및 c, 각각.
위의 방정식은 미분 방정식의 시스템입니다. 실제로 중력에 적용되는 뉴턴의 2 차 법입니다 (중력력은 운동량 변화율과 같습니다).
세 질량은 서로 영향을 미치기 때문에 상기는 결합 된 방정식 시스템입니다. 시스템의 에너지는 다음과 같은 부분 미분 방정식의 시스템에 의해 주어진다 :
여기서,
h =시스템의 총 에너지 (운동 + 전위)
pi =각 질량의 운동량
ri =각 질량의 위치
방정식 (i) 시간에 따른 위치 변화 (즉, 속도)가 모멘텀의 변화에 따른 에너지 변화의 비율과 같다고 전달합니다 (속도 =총 에너지의 변화 운동량 변경)
방정식 (ii) 시간에 따른 운동량의 변화 (즉, 힘)는 위치 변화에 따른 에너지 변화의 비율과 같다고 전달합니다 (힘 =총 에너지의 변화 질량의 변위)
이것은 우리가 문제를 해결하는 곳 입니다 .
위의 방정식 시스템은 통합 할 수 없으므로 미래 (또는 과거)에 무기한 순식간에 위치와 모멘텀을 예측하는 일반적인 폐쇄 형 양식 솔루션을 찾는 것은 불가능합니다.
물리적으로, 이것은 각 신체의 움직임이 다른 두 가지의 움직임에 의존하고 시스템의 질량 중심이 지속적으로 위치를 이동하기 때문입니다. 신체의 초기 위치와 운동량을 완전히 정확하게 측정하는 것은 불가능하기 때문에 (정확도는 99.99%, 100.00%가 아닐 수도 있음) 초기 조건 측정에 1 분의 불확실성 (0.01%이상)이 항상 존재합니다. 최종 상태는 초기 조건에 의존하기 때문에 최종 상태에서 최종 상태로 진화함에 따라 최종 상태의 불확실성 이이 시스템에 곱해집니다. 기간이 길수록 최종 상태에서 불확실성이 커집니다. 충분한 시간이 지나면 실제 최종 상태는 이론적으로 계산 된 상태와 완전히 다를 수 있습니다.
(비 통합성에 대한 엄격한 수학 연구를 원한다면 이것을 확인하십시오)
비 통합 성 및 대체 솔루션의 의미
초기 조건에서 최종 상태의 이러한 비판적 의존성은 시스템을 혼란스럽게 만듭니다. 예를 들어, 초기 조건을 측정 할 때 1mm 오류조차도 수백만 년 후 최종 상태의 불확실성이 크게 증가합니다. 따라서 미래에 무기한 위치와 모멘텀을 부여하는 표현을 찾는 목표는 필연적으로 실패합니다.
이중 진자는 혼란스러운 시스템의 예입니다. 초기 조건의 작은 변화는 최종 조건의 지수 변화를 해석합니다. (사진 크레딧 :Der Messer/Wikimedia Commons)
그러나 잠깐만, 당신은 이제 NASA가 수백 년 동안 지구를 지나가는 혜성에 대해 어떻게 예측하는지 궁금해 할 것입니다.
답은 수치 분석입니다. 대략적인 솔루션이 계산됩니다 (숫자 값은 각 순간에 할당됩니다). 예를 들어, 시스템 상태가 t =50 초로 계산 해야하는 경우, 연속 솔루션은 t =0, 1, 2, 3, …… 50에서 계산됩니다. 각 순간마다 위치 및 운동량과 관련된 수치 값이 있으며, 그 값은 다음 단계에서 솔루션을 계산하는 데 사용됩니다.
.
대략적인 솔루션은 수치 알고리즘을 사용하여 얻습니다. 솔루션의 정확도는 결과 계산 빈도에 의해 결정됩니다 (사진 크레디트 :Krishnavedala/Wikimedia Commons
