외계인이 지상에 착륙하여 우리의 가장 시급한 질문에 대한 정당한 답변을 우리에게 건네 주었다고 상상해보십시오. 하나님은 존재합니까? Riemann 가설이 사실입니까? 오스왈드는 혼자 행동 했습니까?
정보에 감사 드리지만 답변을 얻는 방법을 모른다면 유용하지 않을 것입니다.
이것은 수학이 이제 그 자체로 발견되는 상황입니다. 1 월, 컴퓨터 과학자 팀은 이번 세기 의이 분야에서 최고의 결과 중 하나로 환영받은 증거를 게시했습니다. 그러나 증거는 컴퓨터 과학을 훨씬 뛰어 넘었습니다. 긴 의미의 사슬을 통해 수학의 주요 공개 문제를 해결했습니다.
문제가 발생하는 운영자 대수 분야의 수학자들은 이제 지구의와 비슷하며 멀리서의 지식으로 장식되어 있습니다. 컴퓨터 과학은 그들에게 관심이있는 추측이 거짓이라고 말했다. 그러나 정보에 유용한 일을하려면 증거를 이해할 수있는 언어로 번역하는 방법을 찾아야합니다.
캐나다 워털루 대학의 수학자 인 Vern Paulsen은“운영자 대수 커뮤니티의 더 많은 사람들이 지난 몇 년 동안 이에주의를 기울이고 있다면, 커뮤니티 전체 가이 결과를 소화하는 데 더 가까울 수 있습니다. "우리는 할 일이 많습니다."
추측
수학적 문제는 1976 년 프랑스 고급 과학 연구 연구소의 Alain Connes가 제기 한 Connes Imbedding 추측입니다. 양자 역학의 수학에서 발생하는 특정 수치 객체와 관련이 있습니다.
먼저, 더 간단한 시나리오를 고려하십시오. 공기를 통해 던진 공을 묘사하십시오. x 를 따라 위치를 지정하려면 세 개의 숫자가 필요합니다. , y 및 z 공간 축. 이 숫자를 방정식에 꽂아서 볼의 궤적을 모델링 할 수 있습니다.
좋아.
이제 빛의 광선을 수학적으로 묘사하고 싶다고 상상해보십시오. 이것은 수학자와 물리학 자들이 정사각형 숫자를 방정식에 꽂아서 설명하는 양자 기계 시스템입니다. 행렬이라고하는이 배열은 볼 예제에서 숫자의 역할을 수행합니다. 빛의 빔 위치를 설명하는 데 필요한 모든 정보가 포함되어 있습니다.
.그러나 공을 묘사하기에 충분한 3 개의 숫자만으로도 빛의 빔을 설명하는 행렬은 거대합니다. 무한 행과 숫자 열이 포함되어 있습니다.
왜 그렇게 많은가? 빛의 광선은 실제로 광자의 흐름이기 때문에.
그것에 대해 생각하는 한 가지 방법은 개별 광자에서 모델을 구축하는 것입니다. 단일 광자를 갖는 빛의 광선은 2 x-2 매트릭스로 설명 될 수 있으며,이 숫자는 광자의 "진동 각도"를 나타내며, 이는 여행 방향에 대략적으로 일치하는 측정 값입니다. 2 배의 광자 (2)가있는 빔에는 4x4 매트릭스가 필요합니다. 3 개의 광자에는 8x8 매트릭스가 필요합니다. 4 개의 광자는 16 x 16 매트릭스를 가져옵니다. 광자를 추가 할 때마다 행과 열의 수가 2의 전력으로 증가합니다.
따라서 결국 전체 빛의 광선까지 올라가면 매트릭스가 얼마나 큰 매트릭스를 설명해야합니까? 그것은 빔에 포함 된 몇 개의 광자에 따라 다르며, 양자 역학은 어떤 의미에서 빔을 무제한의 광자를 함유 한 파로 간주합니다.
Paulsen은“이를 무한한 흐름으로 생각해야합니다. 이 빔은 그것을 설명하기 위해 무한 수의 행과 열이있는 행렬이 필요합니다. 수학자와 다형성 John Von Neumann은 1930 년대 양자 기계 시스템에서 발생하는 무한 차원 매트릭스에 대한 연구를 시작했습니다.
40 년 후, Connes는이 작품을 기반으로했습니다. 그는 광자 흐름과 같은 시스템을 묘사하는 무한 차원 매트릭스에 대한 체계적인 사고 방식을 제안했으며, 더 작고 유한 한 차원 매트릭스에서 질서 정연하게 내장 될 수 있다고 추측했다.
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이렇게 생각할 수 있습니다.
지구 표면의 평평한지도가 있고 어디에서나 온도를 알고 싶다고 상상해보십시오. 이지도의 무한히 많은 지점에서 온도계를 읽을 수 있습니다. 그런 다음 무한 수의 행과 열이있는 행렬을 구성하여 해당 판독 값을 나타낼 수 있습니다.
그러나 그것은 많은 일입니다. 이제 Cruder 근사치를 시도하십시오. 맵을 4 개의 사분면으로 나누고 각 사분면의 평균 온도를 계산하십시오. 이 정보를 간단한 2 x-2 매트릭스로 표현할 수 있습니다.
조금 더 잘하고 싶다고 가정 해 봅시다. 각 사분면을 사분면으로 나눕니다. 이제 16 개의 영역이 있습니다. 각각의 평균 온도를 계산하고 해당 정보를 4x4 행렬로 나타냅니다. 사분면을 사분면으로 나누고 사분면의 평균 온도를 더 크고 크고 여전히 유한 한 행과 열의 수와 열을 나타내는 매트릭스로 표현할 수 있습니다.
이제 각 유한 차원 매트릭스에 대해 스스로에게 물어볼 수 있습니다. 예를 들어 2x-2 매트릭스를 사용하면 사분면의 평균 온도가 해당 사분면 내 각 지점에서 실제 온도의 10% 이내에 있기를 바랍니다. 4 x4 매트릭스는 약간 더 세련되므로 각 지점에서 실제 온도의 9%를 차지할 수 있습니다.
Connes Embedding Prijecture는 비슷한 맛을 가지고 있습니다. 그러나지도의 온도 판독 값 대신 빛의 빔과 같은 양자 기계 시스템을 설명하는 행렬과 관련이 있습니다.
Connes는 시스템의 동작을 단순화 된 수준 (2x-2 매트릭스 버전)으로 아는 것은 항상 오류 마진 내에서 전체 시스템의 동작을 근사화 할 수 있다고 예측했습니다. 매트릭스의 크기가 증가함에 따라 오류가 줄어 듭니다. 광자를 추가하고 매트릭스의 크기를 확장 할 때, 당신은 빛의 빔으로 무슨 일이 일어나고 있는지를 설명하는 무한 차원 매트릭스를 향해 더 가까이 다가옵니다.
.가 거짓
그러나 컴퓨터 과학의 새로운 결과는 Connes의 예측이 거짓임을 증명합니다. 이것은 근사 체계가 양자 기계 시스템을 설명하는 일부 무한 차원 매트릭스에 대해 작동하지만 모든 것이 효과가있는 것은 아닙니다.
.Paulsen은 이메일에“그의 추측은 각 서브 시스템에 대한 충분한 정보를 아는 것이 전체 시스템을 설명하기에 충분한 정보, 일부 오류에 대한 충분한 정보라고 예측했다. "이제 우리는 그렇지 않다는 것을 알고 있습니다."
Connes Imbedding 추측의 실패는 수학에 몇 가지 영향을 미칩니다. 첫 번째는 위의 요점이며, 모든 무한 차원 행렬이 유한 차원 행렬에 의해 근사화 될 수있는 것은 아닙니다.
두 번째 의미는 수학자들이 모르는 무한 차원 매트릭스의 가족이 있어야한다는 것입니다. Connes는 무한 차원 매트릭스의 모든 패밀리가 유한 차원 매트릭스에 의해 근사화 될 수 있다고 예측했습니다. 지금까지는 항상 그렇습니다. 새로운 증거는이 근사 체계가 항상 작동하지는 않지만 실제로는 특정 행렬 패밀리를 식별하지는 않습니다. 이제 수학자들은 가서 효과가없는 사람들을 찾아야합니다.
잔물결도 다른 방향으로갑니다. 다른 많은 추측은 Connes를 포함시켰다. 그것이 사실이라면, 많은 수학자들이 생각했듯이, 다른 문제도 자동으로 사실 일 것이다. 그러나 거짓이기 때문에 다른 추측은 이제 그 어느 때보 다 불확실합니다. 그리고 수학자들은 지금까지 그들을 무시했습니다.
“이것은 실제로 사람들이 이러한 문제를 해결하는 것을 막았습니다. 하지만 이제 게임은 다시 한 번 발전하고 있습니다.”Paulsen이 말했습니다.
그러나 수학자들이 이러한 의미를 추구하기 전에 컴퓨터 과학 결과를 이해해야합니다. 쉽지 않을 것입니다. 새로운 증거는 수년에 걸쳐 개발되었으며 운영자 대수가 아닌 계산 이론에 뿌리를 둔 165 페이지의 작품입니다. Quanta 최근에 설명 된 것은 Alan Turing의 초기 계산 이론으로 돌아가서 Quantum Entanglement와 Nonlocal Games라는 재미있는 퀴즈 쇼 유형 콘테스트를 이끌어냅니다. 이것의 대부분은 수학자들과 외국입니다.
Paulsen은“지난 2 년 동안주의를 기울이지 않았다면 [이 방법]이 Connes를 해결 한 것은 매우 열광적입니다.
수학자들은 이제 논문을 스스로 읽으려고 시도하고 있습니다. 그것을 이해하는 사람들은 다른 사람들에게 그것을 가르치기 위해 세미나를 조직하고 있습니다. 그것을 쓴 다섯 명의 컴퓨터 과학자들은 또한 수학적 커뮤니티에 자신의 작업을 설명하기 위해 강의를 계획하고 있습니다.
결국 수학자들은 새로운 결과를 흡수하고 해당 분야의 언어로이를 구분하는 방법을 찾을 것입니다. 그러나 인간 문명은 밤새 외계인 통찰력의 충격에 적응하지 않을 것입니다. 수학도 그렇지 않습니다.
Paulsen은“시간이 좀 걸릴 것입니다
