자연은 본질적으로 무작위입니까? 양자 역학에 대한 일부 해석에 따르면, 우리가 단일 입자의 운동을 정확하게 예측할 수없는 이유를 설명합니다. 유명한 이중 슬릿 실험 (Richard Feynman이“양자 역학의 핵심”이라고 선언 한 것처럼, 우리는 두 슬릿을 통과하는 개별 광자가 반대편의 사진에 민감한 벽에 어디에 착륙할지 예측할 수 없습니다. 그러나 우리는 다중 입자의 분포에 대한 매우 정확한 예측을 할 수 있으며, 결국 자연이 결정적 일 수 있음을 시사합니다. 실제로, 우리는 더블 슬릿에서 촬영 한 수십억의 광자 분포가 어떻게 보일지 많은 소수점 이하 자리를 예측할 수 있습니다.
예측할 수없는 개인 행동과 정확한 그룹 행동 사이의 이러한 이분법은 양자 역학에 고유하지 않습니다. 양자 물리학에는 입자 파 이중성, 양자 얽힘 및 불확실성 원리의 많은 참신하고 이상한 측면이 있지만 앙상블 행동에 대한 정확한 예측을 제공하는 확률 론적 방정식은 그 중 하나가 아닙니다. 우리는 열역학과 같이 매우 많은 수의 요소가 상호 작용하는 곳 에서이 현상을 본다. 여기서 열역학과 같은 열과 압력과 같은 집단적 조치를 정밀하게 예측할 수 있지만, 개별 분자가 취한 경로에 대해 완전히 무지 할 수있다.
.8 월 퍼즐에서, 우리는 무작위성 또는 결정론이 양자 역학의 핵심에 있는지 논의했으며, 팀 B (Niels Bohr) 대 Team E (Albert Einstein)로 특징 지어졌습니다. 팀 B는 입자 행동의 예측 불가능 성이 우주의 기본 수준에서 결정론이 본질적이고 객관적인 무작위성으로 대체된다는 증거로 본다. 팀 E는이 무작위성이 단지 더 깊은 수준의 결정 론적 원인에 대한 우리의 무지의 징후 일 뿐이라고 주장합니다.
이번 달, 우리는 결정 론적 법이 어떻게 확률 적 행동을 만들 수 있는지를 생생하게 보여주는 기계 장치의 행동을 탐구합니다. Galton 보드 또는 Bean Machine 또는 Quincunx라고합니다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 Galton 보드는 구슬이 위에서 아래로 굴릴 수있는 여러 경로를 만드는 페그 줄이있는 직립판으로 구성됩니다. 대리석은 상단에 떨어지고 페그가 발생할 때 오른쪽 또는 왼쪽 길을 가져갑니다. 장치의 기존 버전에서 이러한 각 경로는 모든 페그에서 똑같이 가능합니다. 바닥에서, 대리석은 한 번의 쓰레기통에 축적됩니다.
가능한 모든 경로가 이항 분포에 의해 주어진 후 왼쪽에서 오른쪽으로 각 바닥 빈에서 수집 된 대리석의 수는 횡단됩니다. n 대신 쓰레기통이있는 Galton 보드에 대한 전체 시험에 필요한 총 대리석 수 2 에 의해 주어집니다 - 상단 행의 경우 (대리석이 장치로 떨어지고 첫 번째 페그 대신 빈이있을 때) 2 =2 =1이고, 2 행의 경우 2 =2, 행 3의 경우 2 =4 등이 있습니다. 각 페그에서 대리석이 왼쪽 또는 오른쪽으로 갈 수있는 50-50 확률이 있기 때문에 맨 아래 줄의 각 빈의 숫자는 n-에서 기대할 수있는 것과 동일한 분포를 제공합니다. 코인 플립 1 개. 따라서 다섯 번째 행 대신 쓰레기통이있는 Galton 보드는 4 개의 코인 플립으로 표시 될 수 있으며, 전체 세트 (16 개의 구슬에 해당)를 위해 4 개의 코인 플립을 16 번 시험해야합니다. 수집 쓰레기통에는 제로 헤드의 한 인스턴스 (및 4 개의 꼬리), 4 개의 인스턴스 1 개의 헤드 인스턴스, 두 개의 헤드의 6 개의 인스턴스, 3 개의 헤드의 4 개의 인스턴스 및 1 개의 인스턴스에 해당하는 대리석이 있습니다. (16 번의 시험은 위의 비율을 산출 할 수있는 최소 시험 수입니다. 실제로 시험이 많을수록 더 많은 시험을할수록 결과는 이러한 이상적인 비율에 근접합니다.)
.주어진 수의 행이있는 Galton 보드의 경우, 대리석이 주어진 행에 배치 된 쓰레기통에 도달 할 수있는 다른 경로의 수는 Pascal의 삼각형의 해당 숫자와 정확히 같습니다 (아래 그림과 같이). 행과 빈의 수가 증가함에 따라, 빈에서 공의 예상되는 분포는 벨 곡선에 근사한다. 따라서, 대형 골튼 보드의 컴퓨터 시뮬레이션은 중심 한계 정리를 시각적으로 설명 할 수 있으며, 이는 이항 분포의 이론적 한계가 벨 곡선 (일명 가우스 분포)이라고 말한다.
물론 페그가 공을 왼쪽 또는 오른쪽으로 동일한 확률로 전환 할 필요는 없습니다. 우리는 0에서 1까지 확률을 얻기 위해 페그를 구성 할 수 있습니다.이를 통해 Galton 보드는 다른 많은 종류의 분포뿐만 아니라 왼쪽 또는 오른쪽으로 기울어 질 수있는 이항 분포를 시뮬레이션 할 수 있습니다. 그리고 그것은 우리를 첫 퍼즐로 데려옵니다.
퍼즐 1 :빈은 평등을 요구합니다!
위 그림에 표시된 종류의 Galton 보드가 있다고 상상해보십시오. 이것은 8 번째 행 대신에 쓰레기통이 있으며 전통적인 동등한 확률 페그가 있습니다. 바닥에있는 각 빈이 같은 수의 대리석을 모으도록 수정하려고합니다. 당신은 당신이 전통적인 못 중 일부를 대리석을 왼쪽이나 오른쪽으로 불평등하게 지시하는 새로운 못으로 교체해야한다는 것을 알고 있습니다. 대리석을 전적으로 왼쪽으로, 전적으로 오른쪽으로 또는이 두 극단 사이의 비율로 지시하는 페그를 선택할 수 있습니다.
.모든 쓰레기통에 대한 완전한 평등의 목표를 달성하기 위해 교체해야 할 가장 적은 수의 페그 수는 얼마이며, 왼쪽 비율은 얼마입니까?
보너스 질문으로 위의 결과를 모든 크기의 Galton 보드에 일반화하는 공식을 도출하고 정당화 할 수 있습니까? (바닥에 홀수의 빈이있는 1 개의 경우, 완전한 시험 세트 후 2 개의 빈스를 비교할 때 대리석 수의 차이는 1 또는 0이어야합니다. 따라서 5 열 갈 턴 보드의 경우 2 =16 개의 대리석 세트, 5 개의 바닥 쓰레기통 각각에서 허용되는 마블의 수는 3 또는 4입니다.)
.전통적인 Galton 보드에서 모든 행의 대리석 분포는 중앙에서 가장 높고 끝으로 떨어집니다. 다음 퍼즐에서 두 개의 절정을 만들어 보자.
퍼즐 2 :트윈 피크
퍼즐 1에서와 같이 전통적인 Galton 보드로 시작하지만 이번에는 바닥에 9 개의 쓰레기통이 있습니다. 하단의 구슬 분포가 다음과 같습니다. 0, x , 2 x , x , 0, x , 2 x , x , 0, 여기서 x 총 대리석 수의 1/8을 나타냅니다.
전통적인 Galton 보드에서, 개별 대리석이 중간 줄에서 바닥으로 이동할 때 개별 대리석의 최종 위치는 그다지 예측할 수 없습니다. 아시다시피, 위의 두 퍼즐에서 우리가 만든 수정은 Galton 보드가 이전보다 더 결정성이 높아집니다. 이제 개별 대리석의 경로를 훨씬 더 정확하게 예측할 수 있습니다. 이 경향을 정량화하려고 노력합시다.
퍼즐 3 :개별 행동 예측
이 그림에서, 대리석은 4 열의 4 개의 위치 중 하나에있는 경우 0의 "드리프트"를 가졌으며 화살표에 의해 표시된대로 8 행의 해당 위치에있게 된 경우. 다른 통에서 끝나면 드리프트의 값은 예상 빈으로부터의 거리의 제곱과 같습니다. 따라서, 대리석이 4 열에서 가장 왼쪽 위치에서 시작하여 7으로 표시된 쓰레기통에서 끝났다면, 예상 쓰레기통의 왼쪽에있는 1 개의 빈은 1 =1입니다. 드리프트는 1 =1입니다. 드리프트가 최종 행에서 가장 왼쪽 쓰레기통에서 끝나면 (표시된 1), 드리프트는 2 =4입니다. 특정 Galton 보드의 평균 드리프트는 8에서 4로 움직일 때 마블의 평균 드리프트입니다.
평균 드리프트는 무엇입니까 :
1. 원래 Galton 보드.
2. 퍼즐에서 수정 된 Galton 보드 1
3. Puzzle 2에서 수정 된 Galton 보드.
클래식 세계의 Galton 보드에서, 각 페그의 무작위성 (대리석이 왼쪽 또는 오른쪽으로 선택되는 선택)은 각 페그에서 일부 무작위 아날로그 메커니즘을 사용하여 설계 될 수 있거나, 아마도 대리석의 정확한 초기 위치, 또는 마블이 미묘한 지 표면에서 벗어나는 방식을 포함하여 미묘한 요인에서 비롯 될 수 있습니다. 이것들은 모두 대리석이 어떤 방식으로 진행되는지 결정하는 명확한 인과 체인을 가진 결정 론적 요인입니다. 선택된 경로는 이러한 세부 사항에 대한 우리의 무지 때문에 우리에게 무작위로 보입니다. (일부 Galton 보드는 불확실성을 가지고없고 각 상호 작용 후에 상태를 뒤집는 게이트를 설계하여 다음 대리석을 다른 경로로 내려야합니다.)
.팀 e가 해석하는 것처럼 무작위성과 결정론과 관련된 철학적 질문에 이것을 적용합시다. Galton Board와 마찬가지로, 특정 광자가 이중 슬릿 실험의 먼 쪽에서 어디에서 나타날지를 결정하는 비록 대기적 인 인과 과정이 유사하지만 유사하지만 인과 적 과정이 있어야합니다. 우리는 이러한 프로세스가 무엇인지에 대해서는 결코 특권이 없지만 존재해야합니다. 아마도 이것은 실제적인 의미는 없지만, 확률 론적 슈뢰 딩거 방정식은 전통적인 Galton 보드를 설명하는 이항 방정식과 같은 앙상블 방정식이라는 것을 의미합니다. 이 경우, 방정식에는 개별 입자에 대한 예측 값이 없습니다. 이것은 많은 세계 해석의 기초를 약화 시키는데, 이는 작은 입자가 사소한 선택을 할 때마다 전체 우주가 수많은 시간에 복제되고 있다고 가정합니다. 방정식이 단지 앙상블 동작을 설명하는 경우이 시나리오는 매우 불필요합니다. 마치 대리석이 왼쪽 또는 오른쪽으로 갈 때마다 우주가 분할되는 것처럼, 우리는 대리석 PEG 상호 작용의 정확한 세부 사항을 무지하기 때문입니다. 이 간단한 설명에 대한 귀하의 반응은 무엇입니까, 팀 B?
행복한 수수께끼 - 그리고 철학.
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