제네바의 대형 Hadron Collider에서 물리학 자들은 17 마일 트랙 주위에 양성자를 쏘아 거의 빛의 속도로 함께 부수 었습니다. 그것은 세계에서 가장 세밀하게 조정 된 과학적 실험 중 하나이지만, 양자 잔해물을 이해하려고 할 때 물리학 자들은 아이가 상황을 묘사하는 방식과는 다르지 않은 Feynman 다이어그램이라는 놀랍도록 간단한 도구로 시작합니다.
.Feynman 다이어그램은 1940 년대 Richard Feynman에 의해 고안되었습니다. 그것들은 정점에서 수렴하는 기본 입자 (충돌을 나타내는)를 나타내는 라인을 특징으로 한 다음 거기에서 분기되어 충돌로부터 나오는 조각을 나타냅니다. 그 라인은 혼자 쏘거나 다시 수렴합니다. 충돌의 사슬은 물리학자가 고려해야 할만큼 길 수 있습니다.
그런 회로도 물리학자는 관련된 입자의 질량, 운동량 및 방향에 대해 숫자를 추가합니다. 그런 다음 그들은 힘든 회계 절차를 시작합니다. 이것을 통합하고 덧붙여서 제곱하십시오. 최종 결과는 Feynman 확률이라고하는 단일 숫자로, 입자 충돌이 스케치 된대로 재생 될 가능성을 정량화합니다.
.캘리포니아 기술 연구소 (California Institute of Technology)의 이론적 물리학 자이자 수학자 인 세르게이 구 코프 (Sergei Gukov)는“어떤 의미에서는이 다이어그램을 복잡한 수학으로 인코딩하기 위해이 다이어그램을 발명했습니다.
Feynman 다이어그램은 수년에 걸쳐 물리학에 잘 봉사했지만 한계가 있습니다. 하나는 엄격하게 절차입니다. 물리학 자들은 측정의 정밀도가 더 높은 고 에너지 입자 충돌을 추구하고 있습니다. 정밀도가 올라갈 때 예측을 생성하기 위해 계산 해야하는 Feynman 다이어그램의 복잡성도 있습니다.
.두 번째 한계는보다 근본적인 특성입니다. Feynman 다이어그램은 물리학자가 더 많은 잠재적 충돌 및 하위 계산할수록 수치 예측이 더 정확하다는 가정에 근거합니다. 섭동 팽창으로 알려진이 계산 과정은 약하고 전자기력이 지배적 인 전자의 입자 충돌에 매우 효과적입니다. 그것은 강한 핵무기가 우세한 양성자들 사이의 충돌과 같이 고 에너지 충돌에 덜 잘 작동합니다. 이 경우, 더 정교한 Feynman 다이어그램을 그리면서 더 넓은 범위의 충돌을 설명하는 것은 실제로 물리학 자들이 타락 할 수 있습니다.
.옥스포드 대학의 수학자 인 프랜시스 브라운 (Francis Brown)은“우리는 실제 물리학에서 분기되기 시작한다는 사실을 알고있다. "알려지지 않은 것은 다이어그램 계산을 중지 해야하는 시점에서 추정하는 방법입니다."
그러나 낙관론의 이유가 있습니다. 지난 10 년 동안 물리학 자와 수학자들은 유서 깊은 Feynman 다이어그램에 새로운 생명을 불어 넣을 가능성이있는 놀라운 서신을 탐구하고 있으며 두 분야 모두에서 광범위한 통찰력을 생성했습니다. Feynman 다이어그램에서 계산 된 값이 대수 지오메트리로 알려진 수학 분야에서 자란 가장 중요한 숫자 중 일부와 정확히 일치하는 것처럼 보인다는 이상한 사실과 관련이 있습니다. 이 값은 "동기의 기간"이라고하며, 두 설정 모두에 동일한 숫자가 나타나야하는 분명한 이유는 없습니다. 실제로, 쌀 컵을 측정 할 때마다 곡물의 수가 프라임이라는 것을 관찰했다면.
.베를린의 Humboldt University의 물리학자인 Dirk Kreimer는“자연에서 대수 기하학과 기간으로의 연결이 있으며 우연의 일치가 아닙니다.
이제 수학자와 물리학 자들은 우연의 일치를 풀기 위해 함께 노력하고 있습니다. 수학자들에게 물리학은 그들이 이해하고 싶은 특별한 종류의 숫자를 주목하도록 요구했습니다. 물리학에서 발생하는이 기간에 숨겨진 구조가 있습니까? 이 클래스의 숫자는 어떤 특수 속성을 가지고 있습니까? 물리학 자에게, 그러한 종류의 수학적 이해의 보상은 지저분한 양자 세계에서 사건이 어떻게 진행 될지 예상 할 때 새로운 정도의 예측이 될 것입니다.
.
반복되는 테마
오늘날 시대는 수학의 가장 추상적 인 주제 중 하나이지만보다 구체적인 관심사로 시작했습니다. 갈릴레오 갈릴리 (Galileo Galilei)와 같은 17 세기 초 과학자들은 진자가 스윙을 완료하는 데 걸리는 시간을 계산하는 방법을 알아내는 데 관심이있었습니다. 그들은 계산이 진자의 길이와 릴리스 각도에 대한 정보를 결합한 함수의 적분 (일종의 무한 합계)으로 요약되었다는 것을 깨달았습니다. 동시에 Johannes Kepler는 유사한 계산을 사용하여 행성이 태양 주위를 여행하는 데 걸리는 시간을 설정했습니다. 그들은 이러한 측정을“기간”이라고 불렀으며 동작에 관한 가장 중요한 측정 중 하나로 확립했습니다.
18 세기와 19 세기 동안 수학자들은 진자 나 행성과 관련된 것이 아니라 x 과 같은 다항식 기능을 통합하여 생성 된 숫자 등으로 일반적으로 기간을 공부하는 데 관심을 갖게되었습니다. + 2 x - 6 및 3 x - 4 x - 2 x + 6. 1 세기 이상 Carl Friedrich Gauss와 Leonhard Euler와 같은 조명 기간은 시대의 우주를 탐구했으며 일부 기본 순서를 지적하는 많은 기능이 포함되어 있음을 발견했습니다. 어떤 의미에서, 다항식 방정식의 기하학적 형태를 연구하는 대수 지오메트리 분야는 20 세기에 숨겨진 구조를 추구하기위한 수단으로 개발되었습니다.
이 노력은 1960 년대에 빠르게 발전했습니다. 그때까지 수학자들은 자주하는 일을했습니다. 그들은 방정식과 같은 상대적으로 구체적인 대상을 더 추상적 인 물체로 번역했습니다. 그들은 처음에는 명백하지 않은 관계를 식별 할 수 있기를 바랐습니다.
이 과정은 먼저 기능 자체를 보지 않고 다항식 함수의 클래스에 대한 솔루션에 의해 정의 된 기하학적 물체 (대수 품종이라고도 함)를 보았습니다. 다음으로, 수학자들은 이러한 기하학적 물체의 기본 속성을 이해하려고 노력했습니다. 그렇게하기 위해 그들은 코아 문학 이론으로 알려진 것을 개발했습니다 - 물체를 생성하는 데 사용되는 특정 다항식 방정식에 관계없이 동일한 기하학적 물체의 구조적 측면을 식별하는 방법
1960 년대까지, 코 호커학 이론은 산만의 시점, 즉 단수의 코아 문학, de Rham Cohomology, étale cohomology 등으로 확산되었습니다. 모든 사람들은 대수 품종의 가장 중요한 특징에 대해 다른 견해를 가지고있는 것 같습니다.
2014 년에 사망 한 선구적인 수학자 알렉산더 그로 텐디크 (Alexander Grothendieck)는 모든 코 호모학 이론이 같은 버전이라는 것을 깨달았습니다.
Brown은“Grothendieck이 관찰 한 것은 대수의 다양성의 경우 이러한 다른 코 호모학 이론을 어떻게 계산하든 항상 같은 대답을 찾는 것입니다.”라고 Brown은 말했습니다.
이 모든 동지학 이론의 중심에있는 독특한 대답은 Grothendieck이“동기”라고 불렀습니다. “음악에서는 반복되는 주제를 의미합니다. Grothendieck에게 동기는 동기가 다른 형태로 반복해서 오는 것이었지만 실제로는 동일합니다.”파리 외부의 고급 과학 연구소의 수학자이자 전 Grothendieck 's의 동료 인 Pierre Cartier는 말했습니다.
동기는 어떤 의미에서 다항식 방정식의 기본 빌딩 블록은 주요 요인이 더 큰 숫자의 원소 조각이라는 것과 같은 방식으로입니다. 동기는 또한 그들과 관련된 자체 데이터를 가지고 있습니다. 요소로 문제를 해결하고 각 요소의 특성 (원자 수와 원자 무게 등)의 특성을 지정할 수있는 것처럼 수학자들은 동기에 대한 필수 측정을 뒷받침합니다. 이러한 측정 중 가장 중요한 것은 동기 기간입니다. 그리고 다항식 방정식의 한 시스템에서 발생하는 동기의 기간이 다른 시스템에서 발생하는 동기의 기간과 동일하다면, 동기가 동일하다는 것을 알고 있습니다.
옥스포드의 수학자 인 Minhyong Kim은“특정 숫자 인 기간을 알고 일단 특정 숫자를 아는 것과 거의 같습니다.
Cartier는 같은 기간이 예기치 않은 상황에서 어떻게 나타날 수 있는지 확인하는 한 가지 직접적인 방법은 Pi와 함께“시기를 얻는 가장 유명한 예”라고 Cartier는 말했다. PI는 지오메트리에서 많은 구제에 나타납니다. 1 차원 원을 정의하는 함수의 적분, 2 차원 원을 정의하는 함수의 적분 및 구를 정의하는 함수의 적분에서. 이와 같은 가치가 겉보기에 다른 모습으로 되돌아가는 것은 고대 사상가들에게 신비했을 것입니다. 브라운은 이메일로 썼다.
Feynman의 힘든 길
호기심 많은 마음이 오래 전에 PI와 같은 가치가 원과 구의 계산에서 왜 자라는 이유를 알고 싶었다면, 오늘날 수학자와 물리학 자들은 왜 그 값이 다른 종류의 기하학적 대상에서 발생하는지 알고 싶어합니다 :Feynman 다이어그램.
.Feynman 다이어그램은 라인 세그먼트, 광선 및 정점에서 형성된 기본 기하학적 측면을 가지고 있습니다. 그들이 어떻게 건설되는지, 물리학에 유용한 이유를 확인하려면 전자와 양전자가 충돌하여 뮤온과 안티 무혼을 생성하는 간단한 실험 설정을 상상해보십시오. 그 결과가 발생할 확률을 계산하기 위해 물리학자는 입자가 따르는 각 입자의 질량과 운동량을 알아야합니다. 양자 역학에서 입자가 취하는 경로는 가능한 모든 경로의 평균으로 생각할 수 있습니다. 그 경로를 계산하는 것은 모든 경로의 세트에 걸쳐 Feynman 경로 적분으로 알려진 적분을 취하는 문제가됩니다.
입자 충돌이 처음부터 끝까지 따라갈 수있는 모든 경로는 Feynman 다이어그램으로 표시 될 수 있으며 각 다이어그램에는 자체 관련 적분이 있습니다. (다이어그램과 그 적분은 하나와 동일합니다.) 특정 시작 조건 세트에서 특정 결과의 확률을 계산하려면, 발생하는 일을 설명하고 각 적분을 취하고 적분을 추가 할 수있는 모든 가능한 다이어그램을 고려합니다. 그 숫자는 다이어그램의 진폭입니다. 물리학 자들은이 숫자의 크기를 제곱하여 확률을 얻습니다.
이 절차는 전자와 양전자가 들어가고 뮤온과 안티 무혼이 나오는 경우 쉽게 실행할 수 있습니다. 그러나 그것은 지루한 물리학입니다. 물리학자가 실제로 관심을 갖는 실험에는 루프가있는 Feynman 다이어그램이 포함됩니다. 루프는 입자가 방출 한 다음 추가 입자를 재 흡수하는 상황을 나타냅니다. 전자가 양전자와 충돌하면 최종 뮤온과 안티 무온 쌍이 등장하기 전에 발생할 수있는 무한한 수의 중간 충돌이 있습니다. 이러한 중간 충돌에서, 광자와 같은 새로운 입자가 관찰되기 전에 생성되고 전멸됩니다. 입력 및 출구 입자는 앞에서 설명한 것과 동일하지만, 관찰 할 수없는 충돌이 발생한다는 사실은 여전히 결과에 미묘한 영향을 미칠 수 있습니다.
“Tinkertoys와 같습니다. 다이어그램을 그리면 이론의 규칙에 따라 더 많은 라인을 연결할 수 있습니다.”라고 Riverside의 University of California의 물리학 자 Flip Tanedo는 말했습니다. "더 많은 스틱, 더 많은 노드를 연결하여 더 복잡하게 만들 수 있습니다."
루프를 고려하여 물리학자는 실험의 정밀도를 증가시킵니다. (루프를 추가하는 것은 값을 더 많은 숫자로 계산하는 것과 같습니다). 그러나 루프를 추가 할 때마다 고려해야 할 Feynman 다이어그램의 수와 해당 적분의 어려움이 극적으로 증가합니다. 예를 들어, 단순 시스템의 1 루프 버전에는 하나의 다이어그램 만 필요할 수 있습니다. 동일한 시스템의 2 루프 버전에는 7 개의 다이어그램이 필요합니다. 3 개의 루프에는 72 개의 다이어그램이 필요합니다. 5 개의 루프로 증가 시키면 계산에는 약 12,000 개의 적분이 필요합니다. 이는 문자 그대로 해결하는 데 몇 년이 걸리는 계산 부하입니다.
물리학 자들은 많은 지루한 통합을 뚫지 않고 주어진 Feynman 다이어그램의 구조를 살펴보면 최종 진폭에 대한 감각을 얻기를 원할 것입니다.
Brown은“이 절차는 매우 복잡하고 적분이 너무 어렵 기 때문에 우리가하고 싶은 것은 그래프를 응시하는 것만으로 최종 답변, 최종 적분 또는 기간에 대한 통찰력을 얻는 것입니다.
저장
저장
놀라운 연결
1994 년 영국의 물리학자인 Kreimer와 David Broadhurst는 1995 년에 처음으로 제시된 시대와 진폭이 1995 년에 처음으로 제시되었습니다. 1995 년에 논문을 맡았습니다.이 작품은 수학자들이 모든 진폭이 혼합 된 테이트 동기의 이름을 따서 명명 된 특별한 종류의 특별한 종류의 동기 였다고 추측했습니다. 숫자 이론의 구성, Riemann Zeta 기능. 전자-포도시트론 쌍이 들어가고 뮤온-안티 무온 페어가 나오는 상황에서, 진폭의 주요 부분은 Riemann Zeta 함수의 6 배가 3에서 평가 된 것으로 나타납니다.
.모든 진폭이 다중 제타 값이라면 물리학 자에게 잘 정의 된 숫자 클래스를 제공 할 것입니다. 그러나 2012 년 브라운과 그의 공동 작업자 올리버 슈트 츠 (Oliver Schnetz)는 그렇지 않다는 것을 증명했습니다. 브라운은 오늘날의 물리학 자들이 오늘날에 오는 모든 진폭이 혼합 된 테이트 동기의 시대일지도 모른다.“스패너를 작품에 던지는 괴물들이있다”고 말했다. 그 괴물들은“확실히 시대이지만 사람들이 바랐던 멋지고 단순한시기는 아닙니다.”
.물리학 자와 수학자들이 아는 것은 Feynman 다이어그램의 루프 수와 "무게"라는 수학의 개념 사이에 연결이있는 것 같습니다. 무게는 통합되는 공간의 치수와 관련된 숫자입니다. 1 차원 공간에 걸친주기는 0, 1 또는 2의 무게를 가질 수 있습니다. 2 차원 공간에 걸친 기간은 최대 4 개 등의 무게를 가질 수 있습니다. 무게는 또한 기간을 다른 유형으로 분류하는 데 사용될 수 있습니다. 중량 0의 모든 기간은 대수 숫자로 추측되며, 이는 다항식 방정식에 대한 솔루션이 될 수 있습니다 (이것은 입증되지 않았습니다). 진자의 기간은 항상 무게가 1입니다. PI는 무게 2의 기간이다. 그리고 Riemann Zeta 함수의 값의 가중치는 항상 입력의 두 배입니다 (따라서 3에서 평가 된 Zeta 함수의 무게는 6입니다.
이 중량 기간 분류는 Feynman 다이어그램으로 전달되는데, 여기서 다이어그램의 루프 수는 어떻게 든 진폭의 무게와 관련이 있습니다. 루프가없는 다이어그램은 무게의 진폭이 있습니다. 하나의 루프가있는 다이어그램의 진폭은 혼합 테이트 동기의 모든 기간이며 최대 4의 무게를 갖습니다. 추가 루프가있는 그래프의 경우 수학자들은 아직 볼 수 없더라도 관계가 계속된다고 의심합니다.
Kreimer는“우리는 더 높은 루프로 가서보다 일반적인 유형의 기간을 봅니다. "수학자들은 테이트 동기가 혼합되지 않은 동기에 대해 많이 이해하지 못하기 때문에 정말로 관심이 있습니다."
수학자와 물리학 자들은 현재 문제의 범위와 공예 솔루션을 확립하려고 노력하고 있습니다. 수학자들은 Feynman 다이어그램을 설명하는 데 사용할 수있는 물리학 자에게 기능 (및 그 적분)을 제안합니다. 물리학 자들은 수학자들이 제공 해야하는 기능을 능가하는 입자 충돌의 구성을 생성합니다. 브라운은“그들이 얼마나 빨리 기술적 인 수학적 아이디어를 동화 시켰는지 보는 것은 정말 놀랍습니다. "우리는 물리학 자에게 줄 수있는 고전적인 숫자와 기능이 부족했습니다."
자연 그룹
17 세기에 미적분학이 발달 한 이후, 물리 세계에서 발생하는 숫자는 수학적 진보에 정보를 제공했습니다. 오늘날 그렇습니다. 브라운은“물리학에서 나온 시대는 어쨌든 하나님 께서 주신적이고 물리 이론에서 나온다는 사실은 그들이 구조가 많고 수학자가 반드시 생각하거나 발명하려고하지 않는 구조라는 것을 의미한다고 브라운은 말했다.
Kreimer는 다음과 같이 덧붙입니다.“자연이 원하는 기간이 수학이 정의 할 수있는 기간보다 작은 세트가되도록하는 것처럼 보이지만이 서브 세트가 실제로 무엇인지 매우 깨끗하게 정의 할 수는 없습니다.”
.Brown은 Feynman 다이어그램에서 나오는 일련의 기간에 연기하는 일종의 수학 그룹 인 Galois 그룹이 있음을 증명하려고합니다. "대답은 계산 된 모든 경우에 대답이 그렇습니다."라고 그는 말했다. 그러나 관계가 범주 적으로 유지되고 있다는 증거는 여전히 거리에있다. 브라운은“물리학에서 나오는 숫자에 대해 그룹이 작용한다는 것이 사실이라면, 당신은 거대한 등급의 대칭을 찾고 있음을 의미합니다. "그것이 사실이라면, 다음 단계는 왜이 큰 대칭 그룹이 있는지, 어떤 물리학의 의미가있을 수 있는지 물어 보는 것입니다."
.무엇보다도, 그것은 두 가지 매우 다른 두 가지 맥락에서 근본적인 기하학적 구조 사이의 이미 도발적인 관계를 심화시킬 것입니다. 동기, 50 년 전에 다항식 방정식에 대한 해결책을 이해하기 위해 수학자들이 고안 한 대상, 그리고 파티클 충돌이 어떻게 진행되는지에 대한 개략적 인 표현. 모든 Feynman 다이어그램은 동기가 부착되어 있지만 관련 다이어그램의 구조에 대한 동기의 구조가 정확히 무엇을 말하는지
.
