미분 방정식은 f (x)와 같은 함수와 Dy/dx와 같은 하나 이상의 더 많은 미분을 갖는 방정식입니다. 물리적 수량은 일반적으로 미분 방정식의 함수로 표시되는 반면, 물리 수량의 변화율은 미분에 의해 주어진다. 미분 방정식은 함수와 그 미분의 연결을 설명하는 수학적 표현입니다. 우리가 x의 함수로서 Y를 검사 할 때, 미분 방정식은 변수 x 및 y의 유무에 관계없이 x (또는 y 및 x의 미분)에 대한 y의 유도체를 포함하는 것입니다.
.미분 방정식의 순서
그것은 미분의 최고 순서를 나타냅니다. 다음은 몇 가지 예입니다.
- (dy/dx) =sec x
- (d2y/dx2) + p2y =0
- (2d2y/dt2) + (5d2x/dt2) =8x
- (d3y/dx3) + 7x (dy/dx) - 9xy =10
- (rdr/dθ) + tanθ =10
- 첫 번째 경우, 주문은 1 입니다
- 두 번째 경우, 방정식에는 2 차 미분 D2 Y/ DX2 가 있기 때문에 순서는 2입니다.
- 세 번째 경우, 방정식에는 2 차 미분 D2 Y/ DX2 가 있기 때문에 순서는 2입니다.
- 네 번째 경우, 방정식에 2 차 미분 D3 Y/ DX3 가 있으므로 순서는 3입니다.
- 다섯 번째 경우, 주문은 1 입니다
미분 방정식 정도
- 가장 높은 순서 파생 상품 전력을 미분 방정식의 정도라고합니다.
- 미분 방정식은 최고 차수의 차등 순서를 어느 정도라고한다는 점에서 다항식 형태 일 수 있습니다.
- 긍정적 인 정수를 선택하고 가장 높은 정도를 찾으십시오 :
(d5ydx5) 4 + 7 (dydx) 8 + 9y =7 sec7x
, 여기서 DX5는 방정식의 최고 순서이므로 가장 높은 정도는 4
입니다.미분 방정식의 유형
두 가지 유형의 미분 방정식이 있습니다. 그들은 다음과 같습니다.
- 일반 미분 방정식
- 부분 미분 방정식
일반 미분 방정식
- ODE - 유도체가있는 하나의 독립 변수로부터 하나 이상의 함수를 포함하는 미분 방정식은 일반 미분 방정식 (ODE)이라고합니다.
예를 들어 여기에는 x
에 관한 몇 가지 파생 상품 y '+y”+y”+y”+……… yn이 있습니다.예 :(d2y/dx2) + (dy/dx) =3y tan x
부분 미분 방정식
둘 이상의 함수를 포함하고 둘 이상의 독립 변수를 포함하는 방정식을 부분 미분 방정식 (PDE)이라고합니다.
몇 가지 예는 다음과 같습니다.
- 5 /u/𝛿x + 7 𝛿u/𝛿y =0,
- 21u2u/𝛿x2+ 8𝛿2u/𝛿y2 =0
미분 방정식에 대한 문제를 연습하십시오
- 미분 방정식 (5x-8y) .dy/dx =(4x+2y)는 균질 한 미분 방정식임을 보여줍니다.
솔루션 :
(5x - 8y) .dy/dx =(4x + 2y)는 주어진 미분 방정식
입니다.위의 미분 방정식이 균질하다는 것을 증명하기 위해 x =Δ x 및 y =Δ y를 대체하자.
여기에 우리는 f (x, y) =(4x+2y)/(5x-8y)
가 있습니다F (Δx, Δy) =(Δ4x+Δ2y)/(Δ5x -Δ8y)
f (Δx, Δy) =f (x, y)
따라서 주어진 방정식이 균질 한 미분 방정식임을 증명합니다.
- 균질 한 미분 방정식 x sin (y/x) .Dy/dx =y sin (y/x) + x. 의 솔루션을 찾으십시오.
솔루션 :
주어진 미분 방정식은 x sin (y/x) .dy/dx =y sin (y/x) + x
입니다.dy/dx ={y sin (y/x) + x}/xsin (y/x)
dy/dx ={x ((y/x) .sin (y/x) +1)}/x sin (y/x)
dy/dx =((y/x) .sin (y/x) +1/sin (y/x)
여기서 위의 방정식에서 y/x =v를 대체하겠습니다
dy/dx =(v sinv+1)/sinv
여기에 y/x =V를 y =vx 형태로 씁니다
방정식의 양쪽에서 y =vx 차별화에서 우리는 얻습니다
dy/dx =v + x.dv/dx, 위의 방정식
로 대체됩니다.v + x.dv/dx =(v sinv + 1)/sinv
x.dv/dx =(v sinv+ 1/sin v) - v
여기서 우리는 변수를 양쪽에 나눕니다
x.dv/dx =1/sinv
sinv.dv =dx/x
두 방정식을 모두 통합 할 때 우리는 아래 방정식
를 얻습니다∫sinv.dv =∫dx/x
-COSV =logx + c
여기서 우리는 y/x =v
을 다시 전환합니다-COS y/x =logx + c
따라서 균질 한 미분 방정식의 솔루션은 - cos y/x =logx + c
입니다.결론 :
파생 상품 (즉, 통합)을 제거한 후 생성되는 변수 x와 y 사이의 연결 또는 연결이 임의의 상수를 포함하는 경우 방정식의 순서가 미분 방정식의 기본 솔루션임을 나타냅니다. 임의의 상수는 1 차 미분 방정식의 솔루션에 나타나는 반면, 2 차 분위기 방정식의 솔루션에 2 개의 임의의 상수가 나타납니다. 미분 방정식의 솔루션은 임의의 상수에 특정 값을 제공함으로써 도출됩니다.
