솔루션 : 이 시스템의 Schrödinger 방정식은 다음과 같습니다. $$-\ frac {\ hbar^2} {2m} \ left (\ frac {\ partial^2} {\ partial x^2}+\ frac {\ partial^2} {\ partial y^2} \ right ) \ psi (x, y)+\ frac {1} {2} m \ Omega^2 (x^2+y^2) \ psi (x, y) =e \ psi (x, y) $$
변수를 분리하고 파동 함수가 $ \ psi (x, y) =x (x) y (y) $의 두 가지 함수의 곱으로 작성 될 수 있다고 가정 할 수 있습니다. 이것을 Schrödinger 방정식으로 대체하고 $ xy $로 나누어냅니다.
$$-\ frac {1} {2m} \ frac {x ''} {x} =\ frac {1} {2m} \ frac {y ''} {y}+\ frac {1} {2} m \ omega^2 (x^2+y^2) =e $$
이 방정식의 LHS는 X에만 의존하는 반면 RHS는 y에만 의존합니다. 따라서 양쪽은 상수와 같아야하며, 우리는 $ e_n $로 표시 할 수 있습니다.
$$-\ frac {1} {2m} \ frac {x ''} {x} =e_n, \ frac {1} {2m} \ frac {y ''} {y} =e-e_n. $$
이것들은 두 개의 독립적 인 1 차원 고조파 발진기 문제이며 해당 솔루션은 잘 알려져 있습니다. X 방향의 움직임에 대한 에너지 고유 값은 다음과 같습니다.
$$ e_n =\ hbar \ Omega \ left (n+\ frac {1} {2} \ 오른쪽), n =0,1,2, ... $$
마찬가지로, y 방향의 움직임에 대한 에너지 고유 값은 동일한 공식으로 제공됩니다. 따라서 2 차원 시스템의 총 에너지 고유 값은 다음과 같습니다.
$$ e_ {n_x, n_y} =\ hbar \ omega \ left (n_x+n_y+1 \ 오른쪽), n_x, n_y =0,1,2, ... $$
상응하는 고유 함수는 1 차원 고조파 발진기 파동 기능의 산물입니다.
$$ \ psi_ {n_x, n_y} (x, y) =\ phi_ {n_x} (x) \ phi_ {n_y} (y), $$
어디
$$ \ phi_n (x) =\ frac {1} {\ sqrt {2^n n!}} \ left (\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar} \ 오른쪽)^{1/4} h_n \ left (\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} x \ right) e^{-m \ omega x^2/2 \ hbar}, $$
그리고 $ h_n $는 Hermite polynomials입니다.
