(a) 풍선 외부의 전기 강도 e (r> r)
Gauss의 법칙을 사용하여 풍선 중앙에서 거리 R에서 전기 강도 e를 결정할 수 있습니다. 우리는 반경 R의 구형 가우시안 표면을 고려하며, 풍선과 동심합니다. 전기장은 표면에 수직 인 모든 곳에서, 그 크기는 표면에서 일정합니다. 따라서, 표면을 통한 전기 플럭스는 다음과 같이 주어진다.
∮_s \ (\ OverrightArrow e \ cdot d \ OverrightArrow a \) =e⋅4πr^2
표면으로 둘러싸인 총 전하는 q입니다. 그러므로 가우스의 법에 따라 우리는 다음과 같습니다.
∮_s \ (\ OverrightArrow e \ cdot d \ OverrightArrow a \) =\ frac {q_ {in}} {\ varepsilon_0}
여기서 ε₀는 여유 공간의 유행입니다. 위의 방정식을 결합하면 다음을 얻습니다.
$$ e⋅4πr^2 =\ frac {q} {\ varepsilon_0} $$
$$ e =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {q} {r^2} $$
이것은 풍선 외부의 전기 강도에 대한 표현입니다. 그것은 풍선의 중심에서 거리의 정사각형에 반비례합니다.
(b) 풍선 내부의 전기 강도 e (r
풍선 내부에서 전기장은 0입니다. 전기장은 풍선 표면의 충전으로 인한 것이기 때문에 풍선 안에 충전이 없기 때문입니다.
(c) 풍선 외부의 전위 V (r> r)
풍선의 중심에서 거리 r의 전기 전위 v는 다음과 같습니다.
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int \ frac {dq} {r} $$
전하는 풍선 표면에 균일하게 분포되므로 DQ =σ⋅da를 쓸 수 있습니다. 여기서 σ는 표면 전하 밀도이고 DA는 표면의 영역의 요소입니다. 풍선의 총 전하는 Q =σ⋅4πr²이며, 여기서 R은 풍선의 반경입니다. 이것을 V의 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int_s \ frac {\ sigma da} {r} $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r} ⋅ \ int_s da $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r} ⋅4πr² $$
$$ v =\ frac {\ sigma r} {\ varepsilon_0} \ frac {1} {r} $$
이것은 풍선 외부의 전위에 대한 표현입니다. 그것은 풍선의 중심에서 거리에 따라 반비례합니다.
(d) 풍선 내부 전위 V (r
풍선 내부에서 전위는 일정하며 다음과 같이 제공됩니다.
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int_0^r \ frac {\ sigma da} {r} $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r} ⋅4πr² $$
$$ v =\ frac {\ sigma r} {\ varepsilon_0} $$
이것은 풍선 내부의 전위에 대한 표현입니다. 그것은 일정하며 풍선의 중심으로부터의 거리에 의존하지 않습니다.
