프랑스 학자 피에르 시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)는 1814년에 우주가 완전히 알 수 있다는 그의 기대를 명확하게 표현했으며, 충분히 영리한 "악마"는 현재에 대한 완전한 지식이 있다면 전체 미래를 예측할 수 있다고 주장했습니다. 그의 사고 실험은 물리학자들이 예측할 수 있는 것에 대한 낙관론의 극치를 보여주었습니다. 그 이후로 현실은 그것을 이해하려는 그들의 야망을 계속해서 낮추었습니다.
1900년대 초 양자역학의 발견과 함께 한 가지 타격이 있었습니다. 양자 입자가 측정되지 않을 때마다 그들은 근본적으로 모호한 가능성의 영역에 거주합니다. 악마가 알 수 있는 정확한 위치가 없습니다.
그 세기 후반에 물리학자들이 얼마나 많은 "혼란스러운" 시스템이 불확실성을 증폭시켰는지 깨달았을 때 또 다른 사례가 나왔습니다. 악마는 50년 후의 날씨를 예측할 수 있을지 모르지만 나비의 날개짓 하나하나에 이르기까지 현재에 대한 무한한 지식이 있어야만 가능합니다.
최근 몇 년 동안 세 번째 한계가 물리학 전반에 퍼지고 있습니다. 어떤 면에서는 지금까지 가장 극적인 한계입니다. 물리학자들은 소용돌이치는 해류와 같은 고전적 시스템과 함께 양자 입자 모음에서 이를 발견했습니다. 결정 불가능성으로 알려진 이는 혼돈을 넘어선 것입니다. 시스템의 상태를 완벽하게 알고 있는 악마라도 시스템의 미래를 완전히 파악할 수는 없습니다.
University College London의 컴퓨터 과학자이자 현재 알 수 없는 분야의 선구자 중 한 명인 물리학자 Toby Cubitt는 "나는 당신에게 신의 견해를 제시합니다"라고 말했습니다. "당신은 여전히 그것이 어떻게 될지 예측할 수 없습니다."
스페인 카탈로니아 폴리테크닉 대학교(UPC)의 수학자 에바 미란다(Eva Miranda)는 결정 불가능성을 "한 단계 더 혼란스러운 것"이라고 부릅니다.
피에르 시몬 라플라스(Pierre-Simon Laplace)는 모든 것을 아는 악마가 모든 물리적 시스템의 미래를 완벽하게 예측할 수 있다고 추측했습니다. 그는 틀렸다.
요한 에른스트 하인시우스/위키미디어 공용
결정불가능성은 특정 질문에 단순히 대답할 수 없다는 것을 의미합니다. 물리학자들에게는 생소한 메시지이지만 수학자, 컴퓨터 과학자들은 잘 알고 있는 메시지입니다. 100여 년 전에 그들은 결코 답할 수 없는 수학적 질문, 결코 증명할 수 없는 참된 진술이 있다는 사실을 엄격하게 확립했습니다. 이제 물리학자들은 알 수 없는 수학적 시스템을 점점 더 많은 물리적 시스템과 연결함으로써 해당 분야에서도 알 수 있는 가능성의 엄격한 경계를 설정하기 시작했습니다.
지식의 한계를 연구하지만 최근 연구에는 참여하지 않은 산타페 연구소의 연구원 데이비드 월퍼트(David Wolpert)는 이러한 사례는 "우리 인간이 생각해 낼 수 있는 것에 큰 제한을 가한다"고 말했습니다. "그리고 그들은 불가침입니다."
가장 검은 상자
알 수 없음의 놀라운 사례는 1990년 당시 코넬 대학교 대학원생이었던 크리스 무어(Cris Moore)가 움직이는 부품이 하나인 결정 불가능한 기계를 설계했을 때 물리학에 나타났습니다.
순전히 이론적인 그의 설정은 고도로 맞춤화가 가능한 핀볼 기계와 유사했습니다. 아래쪽이 열려 있는 상자를 상상해 보세요. 플레이어는 상자를 범퍼로 채우고 발사기를 상자 바닥을 따라 원하는 위치로 이동한 다음 핀볼을 내부로 발사합니다. 장치는 비교적 간단했습니다. 하지만 공이 튕겨져 나가면서 비밀리에 계산을 수행하고 있었습니다.
무어는 괴델, 에셔, 바흐를 읽은 후 계산에 매료되었습니다. , 자신을 참조하는 시스템에 관한 퓰리처상 수상 도서입니다. 그의 상상력을 가장 사로잡은 시스템은 컴퓨터 과학 분야를 시작한 상상의 장치인 튜링 기계였습니다.
획기적인 1936년 논문에서 수학자 앨런 튜링(Alan Turing)이 정의한 튜링 기계는 무한히 긴 테이프를 위아래로 움직일 수 있는 헤드로 구성되었으며, 수행할 작업을 알려주는 몇 가지 간단한 규칙에 따라 일련의 단계에서 0과 1을 읽고 쓸 수 있습니다. 한 세트의 규칙을 따르는 하나의 튜링 기계는 두 개의 숫자를 읽고 그 결과를 인쇄할 수 있습니다. 또 다른 규칙은 다른 규칙 집합에 따라 하나의 숫자를 읽고 그 제곱근을 인쇄할 수 있습니다. 이러한 방식으로 Turing 기계는 일련의 수학적, 논리적 연산을 실행하도록 설계될 수 있습니다. 오늘날 우리는 튜링 기계가 "알고리즘"을 실행한다고 말하며, 많은(전부는 아니지만) 물리학자들은 튜링 기계가 컴퓨터, 인간 또는 악마가 수행하는 계산 자체의 한계를 정의하는 것으로 간주합니다.
크리스티나 아미티지/Quanta 매거진
무어는 대학원 연구 주제인 혼돈에서 튜링 기계 동작의 씨앗을 인식했습니다. 혼란스러운 시스템에서는 무시할 만큼 작은 세부사항도 없습니다. 한 악명 높은 비유에서 브라질에 있는 나비의 위치를 1밀리미터 조정하는 것은 도쿄를 강타하는 태풍과 테네시를 휩쓸고 가는 토네이도의 차이를 의미할 수 있습니다. 반올림 오류로 시작된 불확실성은 결국 너무 커져 전체 계산을 뒤덮게 됩니다. 혼돈 시스템에서 이러한 성장은 쓰여진 숫자를 가로지르는 움직임으로 표현될 수 있습니다. 즉, 10분의 1 자리의 무지는 왼쪽으로 퍼지고 결국 소수점을 넘어 10자리의 무지가 됩니다.
무어는 튜링 기계에 대한 비유를 완성하기 위해 핀볼 기계를 설계했습니다. 핀볼의 시작 위치는 튜링 기계에 공급되는 테이프의 데이터를 나타냅니다. 결정적으로 (그리고 비현실적으로) 플레이어는 공의 시작 위치를 무한한 정밀도로 조정할 수 있어야 합니다. 즉, 공의 위치를 지정하려면 소수점 이하 숫자가 끝없이 이어지는 숫자가 필요합니다. 그러한 숫자로만 무어는 무한히 긴 튜링 테이프의 데이터를 인코딩할 수 있었습니다.
그런 다음 범퍼 배열은 일부 튜링 기계의 테이프를 읽고 쓰는 것과 일치하는 방식으로 공을 새로운 위치로 조종합니다. 특정 곡선 범퍼는 테이프를 한 방향으로 이동시켜 혼란스러운 시스템을 연상시키는 방식으로 먼 소수점 자리에 저장된 데이터를 더 중요하게 만드는 반면 반대 곡선 범퍼는 그 반대를 수행합니다. 상자 바닥에서 공이 나가는 것은 계산의 끝을 표시하며 최종 위치는 결과로 표시됩니다.
무어는 핀볼 기계에 컴퓨터의 유연성을 장착했습니다. 범퍼 배열 중 하나는 파이의 처음 1000자리를 계산할 수 있고, 다른 배열은 체스 게임에서 가장 좋은 다음 수를 계산할 수 있습니다. 그러나 그렇게 함으로써 그는 일반적으로 컴퓨터와 연관되지 않는 속성, 즉 예측 불가능성을 컴퓨터에 주입했습니다.
일부 알고리즘이 중지되고 결과가 출력됩니다. 그러나 다른 사람들은 영원히 달립니다. (파이의 마지막 숫자를 인쇄하는 임무를 맡은 프로그램을 생각해 보십시오.) 모든 프로그램을 검사하고 프로그램이 멈출지 여부를 결정할 수 있는 절차가 Turing에게 있습니까? 이 질문은 정지 문제로 알려졌습니다.
Turing은 그러한 절차가 존재한다면 그것이 무엇을 의미하는지 고려함으로써 그러한 절차가 존재하지 않는다는 것을 보여주었습니다. 한 기계가 다른 기계의 동작을 예측할 수 있다면 동작을 예측하는 첫 번째 기계를 쉽게 수정하여 다른 기계가 정지할 때 영원히 실행되도록 할 수 있습니다. 반대의 경우도 마찬가지입니다. 다른 컴퓨터가 영원히 실행되면 중지됩니다. 그런 다음 - 여기에 놀라운 부분이 있습니다 - Turing은 이 조정된 예측 기계에 대한 설명을 자체적으로 입력하는 것을 상상했습니다. 기계가 멈추면 영원히 작동합니다. 그리고 영원히 실행되면 중지됩니다. 두 가지 옵션 모두 불가능하므로 Turing은 예측 기계 자체가 존재해서는 안 된다고 결론지었습니다.
(그의 발견은 1931년 논리학자 쿠르트 괴델이 엄격한 수학적 틀에 자기지시적 역설을 제공하는 유사한 방법을 개발한 획기적인 결과와 밀접하게 관련되어 있습니다. 괴델은 진리가 확립될 수 없는 수학적 진술이 존재한다는 것을 증명했습니다.)
간단히 말해서, 튜링은 정지 문제를 해결하는 것이 불가능하다는 것을 증명했습니다. 알고리즘이 중지되었는지 알 수 있는 유일한 일반적인 방법은 가능한 한 오랫동안 실행하는 것입니다. 멈추면 답이 있습니다. 하지만 그렇지 않다면 정말 영원히 실행되는지, 조금만 더 기다렸더라면 멈춰버렸을지 알 수 없습니다.
"우리는 그것이 어떻게 될지 미리 예측할 수 없는 이러한 종류의 초기 상태가 있다는 것을 알고 있습니다."라고 Wolpert는 말했습니다.
무어는 모든 튜링 기계를 모방하도록 상자를 설계했기 때문에 그 상자도 예측할 수 없는 방식으로 작동할 수 있었습니다. 공의 이탈은 계산의 종료를 의미하므로 특정 범퍼 배열이 공을 가두거나 출구로 조종할 것인지 여부에 대한 질문도 결정할 수 없습니다. 무어는 "실제로 이렇게 더욱 정교한 지도의 장기적인 역학에 대한 어떤 의문도 결정하기 어렵습니다."라고 말했습니다.
크리스 무어(Cris Moore)는 가장 초기이자 단순한 결정 불가능한 물리적 시스템 중 하나를 개발했습니다.
크레산드라 티보도
무어의 핀볼 기계는 평범한 혼란을 뛰어넘었습니다. 토네이도 예측자는 두 가지 이유로 토네이도가 어디에 닿을지 정확히 말할 수 없습니다. 예측자는 모든 브라질 나비의 정확한 위치에 대한 무지와 제한된 컴퓨팅 성능입니다. 그러나 무어의 핀볼 기계는 더 근본적인 형태의 예측 불가능성을 특징으로 했습니다. 기계에 대한 완전한 지식과 무제한의 컴퓨팅 능력을 가진 사람이라 할지라도 기계의 운명에 관한 몇 가지 질문에는 대답할 수 없습니다.
마드리드 콤플루텐세 대학교의 수학자 데이비드 페레즈-가르시아(David Pérez-García)는 “이것은 좀 더 극적인 결과입니다.”라고 말했습니다. “자원이 무한하더라도 문제를 해결하는 프로그램을 작성할 수도 없습니다.”
다른 연구자들은 이전에 튜링 기계처럼 작동하는 시스템, 특히 이웃의 색상에 따라 사각형이 깜박이는 체커보드 그리드를 생각해냈습니다. 그러나 이러한 시스템은 추상적이고 복잡했습니다. 무어는 실험실에 앉아 있을 때 상상할 수 있는 간단한 장치로 튜링 기계를 만들었습니다. 고등학교 물리학 외에는 아무것도 따르지 않는 시스템이 예측할 수 없는 특성을 가질 수 있다는 사실을 생생하게 보여주었습니다.
대학원생 시절 무어의 상상력을 사로잡은 무어의 기계에 대해 강의한 큐빗은 "결정할 수 없다는 사실이 조금 충격적이다"고 말했다. "문자 그대로 상자 주위를 튀는 단일 입자입니다."
물리학 박사 학위를 취득한 후 Cubitt는 수학과 컴퓨터 과학 분야로 전향했습니다. 하지만 그는 핀볼 기계와 컴퓨터 과학이 기계의 물리학에 어떻게 한계를 두었는지 결코 잊지 않았습니다. 그는 결정 불가능성이 실제로 중요한 물리학 문제에 영향을 미치는지 궁금했습니다. 지난 10년 동안 그는 그것이 사실이라는 것을 깨달았습니다.
현대 미스터리 자료
큐비트는 2012년에 대규모 양자 시스템과의 충돌 과정에 결정불가능성을 두었습니다.
그와 Pérez-García 및 동료 Michael Wolf는 오스트리아 알프스에서 열린 회의에서 틈새 문제가 결정 불가능할 수 있는지 여부에 대해 토론하기 위해 함께 커피를 마셨습니다. 울프가 그 문제를 제쳐두고 대신 양자 물리학의 가장 큰 문제 중 하나의 결정 가능성을 다루자고 제안했을 때, 그 자신도 그들이 실제로 성공할 것이라고는 생각하지 못했습니다.
"그것은 농담으로 시작되었습니다. 그러다가 우리는 아이디어를 만들기 시작했습니다."라고 Pérez-García는 말했습니다.
울프는 스펙트럼 갭(spectral gap)이라는 모든 양자 시스템의 정의 속성을 목표로 삼을 것을 제안했습니다. 스펙트럼 갭은 시스템을 가장 낮은 에너지 상태에서 밀어내는 데 필요한 에너지의 양을 나타냅니다. 이를 수행하는 데 약간의 힘이 필요하다면 시스템은 "간격"이 있습니다. 어떤 순간에도 에너지 주입 없이 흥분할 수 있다면 그것은 "틈이 없다"는 것입니다. 스펙트럼 차이는 네온사인에서 빛나는 색상, 모든 열을 제거할 때 재료의 성능, 그리고 다른 맥락에서 양성자의 질량이 얼마나 되어야 하는지를 결정합니다. 많은 경우 물리학자들은 특정 원자나 물질의 스펙트럼 간격을 계산할 수 있습니다. 다른 많은 경우에는 그렇게 할 수 없습니다. 양성자가 양의 질량을 가져야 한다는 첫 번째 원리를 엄격하게 증명할 수 있는 사람에게는 백만 달러의 상금이 걸려 있습니다.
