Hagen-Poiseuille 법칙:파이프의 에너지 고려 사항 및 유체 흐름

파이프 내 유체의 포물선 속도 프로파일을 설명하기 위한 Hagen-Poiseuille 방정식은 에너지상의 이유로 긴 파이프에만 적용됩니다!

요약

Hagen-Poiseuille 방정식에 대한 기사에서 자세히 도출된 바와 같이 Poiseuille 흐름 일반적인 포물선 속도 프로파일을 사용하면 다음 방정식으로 설명할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{vrr}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} \\[5px]
\라벨{최대}
&\boxed{v_{\text{max}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\라벨{pv}
&\boxed{\frac{\text{d}p}{\text{d}x} =\frac{\Delta p}{ \Delta L}} \\[5px]
\라벨{손실}
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{R^2} \cdot c} ~~\text{압력 손실} \\[5px]
\라벨{vmax}
&\boxed{c =\frac{1}{2} \cdot v_\text{max}} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식에서 ΔL은 파이프 단면의 길이를 나타내고 R은 파이프의 내부 반경을 나타냅니다. v(r)은 파이프 축으로부터 거리 r만큼 떨어진 유체의 속도를 나타내고, 는 유체의 점도를 나타냅니다. 압력 구배 dp/dx는 흐름의 원동력이며 단위 길이당 압력 변화에 해당합니다. 압력 구배는 파이프를 따른 압력 변화 Δp에 의해 결정됩니다. 평균 유속 c는 파이프 중앙의 최대 유속 vmax의 절반에 해당합니다.

Startup(층류 프로파일 형성)

위 방정식의 압력 구배 dp/dx는 마찰 손실을 보상하여 유체가 계속 흐르도록 하는 데 필요합니다. 그러나 흐름은 "그냥 존재하는" 것이 아니라 생성되어야 합니다. 즉, 유체는 먼저 특징적인 포물선 흐름 프로파일로 가속되어야 합니다. 따라서 Hagen-Poiseuille 방정식에 대한 기사에서 도출되고 설명된 관계는 흐름 프로파일이 이미 완전히 개발된 파이프 섹션에만 적용됩니다. 위의 방정식도 마찬가지입니다.

따라서 다음에서는 전체 흐름 프로세스를 더 자세히 살펴보고자 합니다. 이를 위해 우리는 액체로 완전히 채워진 대형 탱크를 상상합니다. 탱크 바닥에는 측면에 수평 파이프가 연결되어 있으며 이를 통해 유체가 열린 공간으로 흐릅니다. 탱크가 너무 커서 유체가 흘러나올 때 액위가 눈에 띄게 가라앉지 않습니다. 말하자면 액체는 탱크 내부로 이동하지 않지만 분명히 파이프를 통해 개방된 곳으로 가속됩니다.

포물선 흐름 프로파일이 완전히 전개될 때까지 유체가 파이프 내에서 이동하는 거리를 입구 길이라고 합니다. 또는 시작 시간 . 시작 길이에 따른 흐름을 유입 흐름이라고 합니다. 또는 시작 흐름 . 아래 그림은 파이프의 다양한 지점에서의 속도 분포를 보여줍니다.

흐름은 세 부분으로 나눌 수 있습니다:

• 일정한 입구 속도로 가속 그리고
• 포물선 속도 프로필에 대한 후속 가속 ,
• 또한 마찰 영구적으로 보상을 받아야 합니다.

세 가지 프로세스 모두 해당 에너지 입력과 연관되어 있으므로 압력 강하가 발생합니다. 이에 대해서는 아래에서 더 자세히 논의하겠습니다.

일정한 유입 속도로 가속(유입 유량)

유체는 먼저 탱크 내 파이프 축 높이에서 입구 시작 부분까지 가속됩니다(흡입 흐름 ). 거의 일정한 속도로 유선형의 둥근 입구로 들어갑니다. c. 반올림은 실제로 결정적입니다. 그렇지 않으면 흐름 프로파일이 소위 축류로 인해 날카로운 모서리 전환에서 좁아져 흐름 속도가 감소하게 됩니다(자세한 내용은 액체 배출 문서 참조).

압력 p1이 파이프 축 높이의 정지 유체에 작용하면 이 압력의 일부는 액체를 일정한 입구 속도 c로 가속하는 데 사용됩니다. 베르누이 방정식에 따르면 이는 입구의 (정) 압력을 값 p2로 감소시킵니다. 액체의 가속으로 인한 압력 강하 Δpa1은 다음과 같이 결정됩니다.

\begin{정렬}
&p_2 =p_1 – \frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\라벨{p}
&\델타 p_{a1} =p_1-p_2=\frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\end{정렬}

포물선 속도 프로파일에 대한 가속도(Poiseuille 흐름)

유체가 일정한 입구 속도 c로 입구까지 가속된 후 유체와 파이프 벽 사이의 마찰이 시작 길이에 걸쳐 영향을 미치기 시작합니다(이 흡입 흐름에서 시작 흐름으로의 전환은 원활합니다). 그곳의 유체가 벽에 달라붙어 벽에서의 유속이 0이 됩니다(미끄럼 방지 조건 ). 점성으로 인해 벽에서 멀리 있는 유체층의 속도는 점점 더 느려집니다.

파이프 벽 근처의 속도 감소에도 불구하고 질량 보존으로 인해 동일한 질량이 여전히 파이프를 통해 흘러야 합니다(연속 방정식 ). 따라서 유속이 벽을 향해 감소하는 동안 파이프 중앙 영역(코어 흐름)의 속도는 입구 속도에 비해 증가해야 합니다. 종종 시작 길이를 따른 코어 흐름은 일정한 속도를 갖는 영역으로 간주됩니다. 가장자리로 갈수록 속도는 포물선 형태로 0으로 감소합니다. 특정 거리에서 마침내 연속적인 포물선 윤곽이 형성되었습니다. 이는 시작 길이의 끝을 나타냅니다.

포물선 속도 프로파일의 형성에는 추가 에너지가 필요하지 않다는 결론에 도달할 수도 있습니다. 왜냐하면 결국 유체는 파이프 중심 근처에서 속도를 얻는 것과 같은 정도로 파이프 벽 근처에서 속도를 잃기 때문입니다. 이것은 속도에는 해당되지만 운동 에너지에는 해당되지 않습니다. 운동에너지는 속도와 2차 관계에 있습니다. 또한 속도 프로파일 자체가 포물선형이므로 흐름 중간의 더 높은 속도 구성 요소가 운동 에너지에 훨씬 더 많은 영향을 미칩니다.

벽 근처의 운동 에너지 손실은 중심 근처의 유체를 가속하는 데 필요한 운동 에너지보다 크지 않습니다. 따라서 일정한 입구 속도 프로파일에서 포물선 속도 프로파일을 형성하려면 추가 에너지가 필요합니다! 이 추가 에너지는 시동 흐름의 운동 에너지 양에 해당합니다. 방정식(\ref{p})과 유사하게 포물선 흐름 프로파일을 형성하는 데 필요한 에너지로 인해 추가 압력 강하 Δpa2가 발생합니다. 실제로 필요한 에너지는 방정식(\ref{p})과 동일합니다(이 문서의 마지막 섹션에 표시됨):

\begin{정렬}
\라벨{pp}
&\델타 p_{a2} =\frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\end{정렬}

따라서 전체적으로 유체의 가속 과정에서 다음과 같은 압력 강하가 발생합니다.

\begin{정렬}
&\Delta p_{a} =\Delta p_{a1} + \Delta p_{a1} \\[5px]
\라벨{ppp}
&\boxed{\Delta p_{a} =\rho c^2} ~~~~~\text{수정항} \\[5px]
\end{정렬}

총 압력 강하의 경우 방정식(\ref{loss})에 따른 실제 마찰 손실을 물론 고려해야 합니다(유동 프로파일이 형성되었는지 여부에 관계없이 이 항으로 설명되는 마찰력이 작용하기 때문에 이 항은 시작 길이를 따라 존재한다는 점에 유의하세요).

\begin{정렬}
&\델타 p =\델타 p_a + \델타 p_V \\[5px]
&\boxed{\Delta p =\frac{8\eta \cdot L}{R^2} \cdot c + \rho c^2} \\[5px]
\end{정렬}

토론

이 방정식에서 파이프를 따라 압력 강하가 발생하는 경우 일반적으로 유체를 가속하기 위한 운동 에너지도 고려해야 함을 알 수 있습니다. 그러나 이 방정식은 또한 긴 파이프 길이 L과 동시에 작은 반경 R의 경우 마찰 손실을 설명하는 데 사용되는 항이 가속도를 설명하는 데 사용되는 항보다 커진다는 것을 보여줍니다.

실제로 Poiseuille 처음에는 가속으로 인한 압력 손실을 고려해야 할 필요성을 인식하지 못했습니다. 그 결과 특히 짧은 파이프의 경우 체적 유량에 대한 잘못된 예측이 이루어졌습니다. Hagen이 (\ref{ppp}) 항으로 방정식을 수정했을 때만 이론적 예측이 실제와 일치했습니다. 따라서 이 가속 항은 수정 항이라고도 합니다. .

그런데 파이프가 수평으로 배열되지 않고 높이 Δh를 극복한다면 위치 에너지가 유체에 추가되어야 합니다. 이로 인해 추가 압력 강하 Δph=ϱ⋅g⋅Δh가 발생합니다! 베르누이의 원리 기사에서 이 주제에 대해 자세히 알아보세요.

파이프 직경에 대한 파이프 길이의 최소 비율

가속에너지(흐름의 미시적 분석)

다음에서는 Poiseuille 흐름을 에너지적 관점에서 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 길이 ΔL의 파이프 단면에서 흐름의 운동 에너지는 미시적 수준에서 결정됩니다. 이를 위해 반경 r과 두께 dr을 갖는 속이 빈 원통을 고려합니다. 이 원통의 높이는 파이프 단면의 길이 ΔL에 해당합니다. 이 속이 빈 원통에 들어 있는 유체 질량은 다음 공식으로 결정됩니다.

\begin{정렬}
\라벨{dm}
&\text{d}m =\overbrace{\underbrace{2\pi r \cdot \text{d}r}_{\text{d}A} \cdot \Delta L}^{\text{d}V}\cdot \rho \\[5px]
\end{정렬}

거리 r에서 이 질량의 속도는 방정식(\ref{vrr})으로 주어지며, 운동 에너지에 대해 dWkin이 적용됩니다:

\begin{정렬}
\text{d}W_\text{kin} &=\frac{1}{2} \text{d}m \cdot v^2(r) \\[5px]
&=\frac{1}{2} \overbrace{2\pi r \cdot \text{d}r \cdot \Delta L \cdot \rho}^{\text{d}m} \cdot v^2(r) \\[5px]
&=\pi r \rho \Delta L \cdot v^2(r) \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi r \rho \Delta L \cdot v_\text{max}^2 \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^2 \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi \rho \Delta L \cdot v_\text{max}^2 \cdot \left(r-\frac{2r^3}{R^2} +\frac{r^5}{R^4} \right) \cdot \text{d}r \\[5px]
\end{정렬}

전체 파이프 섹션 내부의 운동 에너지 Wkin은 r=0에서 r=R까지의 한계 내에서 이 방정식을 통합하여 최종적으로 구해집니다.

\begin{정렬}
W_\text{kin} &=\int \text{d} P_\text{kin} =\pi\rho \Delta L ~v_\text{max}^2 \cdot \int \limits_0^R \left(r-\frac{2r^3}{R^2} +\frac{r^5}{R^4} \right) \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi\rho\Delta L~v_\text{max}^2 \cdot \left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{2R^2} +\frac{r^6}{6R^4}\right\vert_0^R \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \left( \frac{R^2}{2}-\frac{R^4}{2R^2} +\frac{R^6}{6R^4} \right) \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \frac{R^2}{6} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식을 다시 정리하면 운동 에너지는 평균 유속 c의 함수로 표현될 수도 있습니다.

\begin{정렬}
W_\text{kin} &=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \frac{R^2}{6} \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max} \cdot \underbrace{\frac{v_\text{max}}{2}}_{c} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
&=\pi\rho c \Delta L~ v_\text{max} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
\end{정렬}

최대 유속에 대해 방정식(\ref{max})에 따른 관계가 사용되면 운동 에너지는 압력 구배를 기준으로 결정될 수 있습니다(이 시점에서는 부호 없이 압력 구배의 크기만 고려해야 합니다).

\begin{정렬}
W_\text{kin} &=\pi\rho c \Delta L \cdot \overbrace{\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x}}^{v_\text{max}} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
W_\text{kin} &=\frac{ \pi\rho c \Delta L R^4}{12\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \\[5px]
\end{정렬}

길이가 ΔL이고 압력 강하가 Δp인 파이프 섹션의 경우 압력 구배는 방정식(\ref{pv})에 따라 주어지므로 운동 에너지는 다음과 같이 압력 차이로부터 결정됩니다.

\begin{정렬}
&W_\text{kin} =\frac{ \pi\rho c \Delta L R^4}{12\eta} \frac{\Delta p}{\Delta L} \\[5px]
\라벨{x}
&\boxed{W_\text{kin} =\frac{\pi\rho c R^4 \Delta p}{12 \eta}} \\[5px]
\end{정렬}

흐름의 운동 에너지는 유체 가속에 필요한 작업에 해당합니다.

변위에너지(유동의 거시적 분석)

유체의 흐름은 압력차로 인해 유체가 파이프를 통해 눌려 발생한다는 사실로 인해 발생합니다. 파이프 섹션을 통해 유체를 변위하려면 특정 힘과 에너지가 필요합니다. 이 변위 에너지를 결정하기 위해 , 우리는 더 이상 미세한 수준에서 유체를 보지 않고 거시적인 수준에서 유체를 봅니다.

유체를 변위시키는 데 필요한 힘은 파이프의 시작과 끝 사이의 압력 차이와 파이프 단면적의 결과입니다.

\begin{정렬}
F =\Delta p \cdot A =\Delta p \cdot \pi R^2 \\[5px]
\end{정렬}

유체가 전체 파이프 단면 ΔL에 걸쳐 흐를 때 적용되는 에너지는 다음과 같이 결정될 수 있습니다.

\begin{정렬}
&W_V =F \cdot \델타 L \\[5px]
\라벨{y}
&\boxed{W_V =\Delta p \cdot \pi R^2 \Delta L} ~~~~~\text{적용된 변위 에너지}\\[5px]
\end{정렬}

파이프 길이와 파이프 직경의 최소 비율

이제 다음 고려 사항을 통해 Hagen-Poiseuille 방정식의 유효성에 대한 파이프 길이와 파이프 직경 간의 최소 비율을 추정할 수 있습니다. 적용된 변위 에너지는 한편으로는 유체를 가속하고 다른 한편으로는 마찰을 극복하는 데 사용됩니다. 마찰은 항상 존재하기 때문에 방정식(\ref{x})에 따라 가속에 필요한 에너지는 방정식(\ref{y})에 따라 적용된 변위 에너지보다 클 수 없습니다. 따라서 다음 조건이 충족되어야 합니다:

\begin{정렬}
\요구{취소}
W_V &>W_{\text{kin}} \\[5px]
\취소{\델타 p} \cdot \취소{\pi} R^2 \델타 L &> \frac{\취소{\pi} \rho c R^4 \취소{\델타 p}}{12 \eta}\\[5px]
\델타 L &> \frac{ \rho c R^2 }{12 \eta}\\[5px]
\Delta L &> \frac{ \rho c ~2R }{\eta}\cdot \frac{2R}{48}\\[5px]
\Delta L &> \color{red}{\frac{ \rho ~c ~D }{\eta}}\cdot \frac{D}{48}\\[5px]
\end{정렬}

빨간색으로 표시된 용어(밀도, 유속, 파이프 직경 및 점도로 구성)는 소위 레이놀즈 수에 해당합니다. 따라서 파이프 직경에 대한 파이프 길이의 최소 요구 비율은 레이놀즈 수에 따라 달라집니다.

\begin{정렬}
&\델타 L> \color{red}{Re}\cdot \frac{D}{48}\\[5px]
&\boxed{\frac{\Delta L}{D}> \frac{Re}{48}} \\[5px]
\end{정렬}

Hagen-Poiseuille 법칙이 유효하려면 파이프의 길이와 반경의 비율이 레이놀즈 수의 1/48보다 커야 합니다!

이 진술은 난류 흐름과 관련하여 더욱 제한되어야 합니다. Hagen-Poiseuille 방정식은 원칙적으로 적용되지 않습니다. 실습에 따르면 파이프의 난류 흐름은 2300보다 큰 레이놀즈 수에서 예상됩니다. 이러한 제한적인 경우 길이-직경 비율은 약 50입니다. 즉, 파이프는 Hagen-Poiseuille 방정식에 따라 포물선 속도 프로파일을 설정하기 위해 직경보다 약 50배 길어야 합니다.

포물선 속도 프로파일과 비교한 일정한 시작 흐름의 운동력

이 섹션에서 우리는 포물선 속도 프로파일의 형성이 그 결과인 일정한 시동 흐름의 형성과 동일한 에너지를 필요로 한다는 것을 증명할 것입니다. 이를 위해 우리는 유체가 파이프 단면을 통해 흐르는 운동력(단위 시간당 운동 에너지)을 계산합니다.

파이프 중심으로부터 반경 r이고 두께 dr을 갖는 링을 고려합니다. 시간 dt 내에 유체는 표면 dA=2π⋅r⋅dr을 통해 속도 v(r)로 흐릅니다. 유체는 dl=v(r)⋅dt 거리를 커버합니다. 따라서 링 표면을 통해 흐르는 질량 dm의 경우 다음 공식이 적용됩니다.

\begin{정렬}
&\text{d}m =\text{d}V \cdot \rho =\text{d}A\cdot \text{d}l \cdot \rho=2\pi r\cdot\text{d}r \cdot v(r)\cdot \text{d}t \cdot \rho\\[5px]
\end{정렬}

따라서 시간 dt 내에 아래 주어진 양의 에너지 dWkin이 링 표면을 통해 흐르고, 이로부터 전력은 시간 단위 dPkin당 에너지로 계산될 수 있습니다.

\begin{정렬}
&W_\text{kin}=\frac{1}{2} \text{d}m~ v^2(r)=\pi\rho r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r ~\text{d}t \\[5px]
&\text{d}P_\text{kin}=\frac{W_\text{kin}}{\text{d}t} =\pi\rho r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r\\[5px]
\end{정렬}

전체 파이프 단면을 통한 운동력은 r=0과 r=R 사이의 한계 내에서 이 방정식을 통합하여 최종적으로 얻어집니다.

\begin{정렬}
&\underline{P_\text{kin}=\pi\rho ~\int\limits_0^R r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r}\\[5px]
\end{정렬}

파이프 입구에서 속도는 전체 단면에 걸쳐 일정합니다(반경의 함수 없음). 질량 보존으로 인해 이 속도는 평균 유속 에 해당합니다. c Poiseuille 흐름. 따라서 v(r)=c인 속도 프로파일의 경우 전체 단면에 걸쳐 일정하며 다음 공식이 운동력에 적용됩니다.

\begin{정렬}
&P_\text{kin,1}=\pi\rho~c^3~\int\limits_0^R r \cdot \text{d}r =\pi\rho~\left\vert \frac{1}{2}r^2 \right\vert_0^R \\[5px]
&\boxed{P_\text{kin,1}=\frac{1}{2}\pi\rho~R^2~c^3} \\[5px]
\end{정렬}

이 운동 동력은 시동 길이가 시작될 때 직접 측정된 동력에 해당합니다. 이제 우리는 포물선형 흐름 프로파일을 사용하여 운동 동력, 즉 시동 길이 이후의 동력을 결정합니다. 이 경우 속도는 방정식(\ref{vrr})에 따라 반경의 함수이며 다음과 같은 운동력을 얻습니다.

\begin{정렬}
P_\text{kin,2}&=\pi\rho~~\int\limits_0^R r~\overbrace{v^3_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^3}^{v^3(r)}~ \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi\rho~v^3_\text{max} ~\int\limits_0^R \left(r-\frac{3r^3}{R^2}+\frac{3r^5}{R^4} -\frac{r^7}{R^6} \right) \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi\rho~v^3_\text{max}\left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{3r^4}{4R^2}+\frac{3r^6}{6R^4} -\frac{r^8}{8R^6} \right\vert_0^R \\[5px]
&=\frac{1}{8}\pi\rho~R^2~v^3_\text{최대} \\[5px]
\end{정렬}

방정식(\ref{vmax})에 따른 최대 유속 vmax는 평균 유속 c의 두 배이므로 다음과 같은 운동력이 발생합니다.

\begin{정렬}
&P_\text{kin,2}=\frac{1}{8}\pi\rho~R^2~(2c)^3\\[5px]
&\boxed{P_\text{kin,2}=\pi\rho~R^2~c^3} \\[5px]
\end{정렬}

따라서 포물선 속도 프로파일이 형성된 후의 운동력은 이전보다 두 배 더 높습니다. 분명히 포물선 속도 프로파일을 형성하려면 이전에 일정한 입구 속도를 얻기 위해 필요했던 것과 동일한 양의 에너지(시간 단위당)가 흐름에 투입되어야 합니다.

간단히 말하면, 짧은 파이프에는 포물선 속도 프로파일이 없습니다. 왜냐하면 이에 필요한 에너지는 유체가 파이프를 통해 흐르는 상대적으로 짧은 시간 내에 적용될 수 없기 때문입니다. 따라서 유속이 증가하면(레이놀즈 수가 증가) 필요한 최소 파이프 길이가 늘어납니다.