27 년 전, 물리학 자 그룹이 수학을 뒤집은 우발적 인 발견을했습니다. 물리학 자들은 그들이 이상한 서신을 관찰했을 때 문자열 이론의 세부 사항을 해결하려고 노력했다. 한 종류의 기하학적 세계에서 나오는 숫자는 매우 다른 종류의 기하학적 세계에서 매우 다른 종류의 숫자와 정확히 일치했다.
.물리학 자에게는 서신이 흥미로웠다. 수학자들에게는 터무니 없었다. 그들은이 두 가지 기하학적 설정을 수십 년 동안 서로 분리하여 연구 해 왔습니다. 그들이 친밀하게 관련되어 있다고 주장하는 것은 우주 비행사가 달을 뛰어 넘는 순간, 일부 숨겨진 연결이 그의 여동생이 지구에서 뛰어 내려 있다고 주장하는 것만 큼 가능성이 거의없는 것처럼 보였습니다.
.산타 바바라 (Santa Barbara) 캘리포니아 대학의 수학자 인 데이비드 모리슨 (David Morrison)은“이것은 완전히 터무니없는 것처럼 보였습니다.
거의 30 년이 지난 후, 놀라움은 그 이후로 오랫동안 계시에 대한 길을 가졌습니다. 물리학 자들이 처음 관찰 한 기하학적 관계는 현대 수학에서 가장 번성하는 분야 중 하나의 주제입니다. 이 필드를 거울 대칭이라고하며,이 두 겉으로는 먼 수학적 우주가 어떻게 든 서로를 정확하게 반영하는 것처럼 보인다는 사실과 관련하여. 그리고 그 첫 번째 서신을 관찰 한 이후, 한쪽의 숫자 세트와 다른 숫자와 일치하는 일련의 숫자 세트 - 수학자들은 정교한 미러링 관계의 더 많은 사례를 발견했습니다. 우주 비행사와 그의 여동생은 함께 점프 할뿐만 아니라 손과 꿈도 실로 흔들립니다.
.최근에 미러 대칭 연구가 새로운 변화를 가져 왔습니다. 수년간 동일한 근본적인 현상의 더 많은 예를 발견 한 후, 수학자들은 현상이 왜 발생하는지에 대한 설명을 마무리하고 있습니다.
“우리는 우리가 땅을 찾은 지점에 도달하고 있습니다. 캘리포니아 대학교의 수학자 인 Denis Auroux는 말했다.
거울 대칭에 대한 근본적인 설명을 제시하려는 노력은 여러 그룹의 수학자들에 의해 발전하고 있습니다. 그들은 현장에서 중앙 추측의 증거를 마무리하고 있습니다. 그들의 작업은 기하학적 DNA의 형태를 밝히는 것과 같습니다. 공유 코드는 두 개의 근본적으로 다른 기하학적 세계가 어떻게 특성을 공통적으로 유지할 수 있는지 설명합니다.
거울 발견
물리학 자들이 여분의 차원을 찾았을 때 결국 거울 대칭의 분야가 될 것입니다. 1960 년대 후반까지, 물리학 자들은 미세한 진동 현의 관점에서 기본 입자 (전자, 광자, 쿼크)의 존재를 설명하려고 노력했습니다. 1980 년대에 물리학 자들은“문자열 이론”을 만들기 위해서는 문자열이 10 차원으로 존재해야한다는 것을 이해했습니다. 그들은 보이지 않는 6 차원에서 일어난 일이 우리 물리적 세계의 관찰 가능한 특성을 결정했다고 제안했습니다.
캠브리지 대학의 수학자 인 마크 그로스 (Mark Gross)는“직접 보거나 측정 할 수없는이 작은 공간이있을 수 있지만 그 공간의 기하학적 측면은 실제 물리학에 영향을 줄 수 있습니다.
결국, 그들은 6 차원에 대한 잠재적 인 설명을 생각해 냈습니다. 그러나 그들에게 도달하기 전에 공간이 지오메트리를 갖는 것이 무엇을 의미하는지에 대해 잠시 생각할 가치가 있습니다.
벌집과 마천루를 고려하십시오. 둘 다 3 차원 구조이지만 각각은 지오메트리가 매우 다릅니다. 레이아웃은 다르고 외관의 곡률은 다르고 내부 각도가 다릅니다. 마찬가지로, 끈 이론가들은 6 차원이 빠진 것을 상상할 수있는 매우 다른 방법을 생각해 냈습니다.
대수 지오메트리의 수학적 필드에서 하나의 방법이 발생했습니다. 여기서 수학자들은 다항식 방정식을 연구합니다 - 예를 들어 x + y =1 - 솔루션 (이 경우 원, 원). 보다 복잡한 방정식은 정교한 기하학적 공간을 형성 할 수 있습니다. 수학자들은 원래 방정식을 더 잘 이해하기 위해 그 공간의 속성을 탐구합니다. 수학자들은 종종 복소수를 사용하기 때문에 이러한 공간은 일반적으로 "복잡한"매니 폴드 (또는 모양)라고합니다.
다른 유형의 기하학적 공간은 궤도 행성과 같은 물리적 시스템에 대한 생각으로 먼저 구성되었습니다. 이러한 종류의 기하학적 공간에서 각 지점의 좌표 값은 예를 들어 행성의 위치와 운동량을 지정할 수 있습니다. 가능한 모든 순간과 함께 행성의 가능한 모든 위치를 취하면 행성의 "위상 공간"을 얻을 수 있습니다. 지점은 지구의 움직임에 대한 완전한 설명을 제공하는 기하학적 공간입니다. 이 공간은 지구의 움직임을 지배하는 물리 법칙을 인코딩하는 "공상적 인"구조가 있습니다.
상징적이고 복잡한 기하학은 밀랍과 강철과는 다릅니다. 그들은 매우 다른 종류의 공간을 만듭니다. 복잡한 모양은 매우 엄격한 구조를 가지고 있습니다. 원을 다시 생각하십시오. 조금 흔들리면 더 이상 원이 아닙니다. 다항식 방정식으로 설명 할 수없는 완전히 뚜렷한 모양입니다. Symplectic Geometry는 훨씬 플로피어입니다. 거기, 작은 흔들림이있는 원과 원은 거의 동일합니다.
케임브리지의 연구원 인 Nick Sheridan은“대수 지오메트리는보다 단단한 세계이지만, 공상 형상은 더 유연하다. "이것이 그들이 다른 세상인 이유 중 하나이며, 그들이 깊은 의미에서 동등하게되는 것은 놀라운 일입니다."
.1980 년대 후반, String Theorists는 누락 된 6 차원을 설명하는 두 가지 방법을 제시했습니다. 하나는 상징적 형상에서 파생되었고, 다른 하나는 복잡한 형상에서 나온 것입니다. 그들은 어느 유형의 공간이 그들이 설명하려는 4 차원 세계와 일치한다는 것을 보여 주었다. 이러한 페어링은 이중성이라고합니다. 하나는 작동하며,이를 구별하는 데 사용할 수있는 테스트는 없습니다.
물리학 자들은 이원성이 얼마나 멀리 확장되었는지 탐구하기 시작했습니다. 그렇게했던 것처럼, 그들은 수학자들의 관심을 끌었던 두 종류의 공간 사이의 연결을 밝혀 냈습니다.
1991 년, Philip Candelas, Xenia de La Ossa, Paul Green 및 Linda Parkes와 같은 4 명의 물리학 자 팀은 복잡한 측면에서 계산을 수행하고 대응 측면에서 해당 숫자에 대해 예측하는 데 사용한 숫자를 생성했습니다. 예측은 6 차원 공상 공간에서 그릴 수있는 다양한 유형의 곡선의 수와 관련이있었습니다. 수학자들은이 곡선을 세기 위해 오랫동안 고군분투했습니다. 그들은 이러한 수의 곡선이 물리학 자들이 현재 사용하고있는 복잡한 공간에 대한 계산과 관련이 있다고 생각하지 않았습니다.
.그 결과는 처음에 수학자들이 무엇을 만들어야할지 몰랐습니다. 그러나 1991 년 5 월 캘리포니아 버클리에서 물리학 자와 수학자들의 급히 소집 된 회의 이후 몇 달 동안 그 관계는 반박 할 수 없게되었다. Sheridan은“결국 수학자들은 물리학 자들의 예측을 검증하기 위해 노력 했으며이 두 세계 사이 의이 서신은 세기 동안이 거울의 양면을 연구해온 수학자들에 의해 눈에 띄지 않는 진정한 일이라는 것을 깨달았습니다.
이 거울 이중성의 발견은 짧은 순서로,이 두 종류의 기하학적 공간을 연구하는 수학자들은 처분 할 때 도구 수의 두 배를 가졌다는 것을 의미했습니다. 이제 대수 지오메트리의 기술을 사용하여 대칭 기하학의 질문에 대답 할 수있었습니다. 그들은 연결을 악용하는 일에 스스로를 던졌습니다.
헤어지는 것은 어렵습니다
동시에, 수학자와 물리학 자들은 미러링 현상에 대한 일반적인 원인 또는 근본적인 기하학적 설명을 식별하기 시작했습니다. 공유 유전자 코드의 요소를 통해 매우 다른 유기체 간의 유사성을 설명 할 수있는 것과 마찬가지로, 수학자들은 상징적 및 복잡한 매니 폴드를“Torus fibers”라는 공유 기본 요소로 나누어 미러 대칭을 설명하려고 시도했습니다.
Torus는 중간에 구멍이있는 모양입니다. 평범한 원은 1 차원 토러스이며 도넛의 표면은 2 차원 토러스입니다. Torus는 모든 차원 일 수 있습니다. 낮은 차원의 토리를 올바른 방식으로 붙이면 더 높은 차원 모양을 만들 수 있습니다.
간단한 예를 들으려면 지구 표면을 상상해보십시오. 2 차원 구입니다. 당신은 또한 많은 1 차원 원 (많은 위도 선과 같은)으로 만들어진 것으로 생각할 수 있습니다. 이 모든 원은 함께 붙어있는 구체의“토러스 섬유”입니다.
Torus 섬유는 몇 가지 방법으로 유용합니다. 하나는 수학자들에게 복잡한 공간을 생각하는 더 간단한 방법을 제공한다는 것입니다. 2 차원 구체의 Torus 세동을 구성 할 수있는 것처럼, 미러 대칭으로 특징 지어지는 6 차원 상징적 및 복잡한 공간의 Torus 섬유를 구성 할 수 있습니다. 원 대신, 그 공간의 섬유는 3 차원 토리입니다. 그리고 6 차원 상징적 매니 폴드는 시각화하기가 불가능하지만, 3 차원 Torus는 거의 실질적입니다. Sheridan은“이미 큰 도움이됩니다.
Torus 세동은 다른 방식으로 유용합니다. 한 거울 공간을 다른 거울 공간을 다른 거울을 구축하는 데 사용할 수있는 빌딩 블록 세트로 줄입니다. 다시 말해, 오리를 보면서 개를 반드시 이해할 수는 없지만, 각 동물을 생 유전자 코드로 부수면 두 유기체에 눈이 있다는 것이 덜 놀라운 것처럼 보일 수있는 유사성을 찾을 수 있습니다.
.여기서는 단순화 된 관점에서, 상징적 공간을 복잡한 거울로 변환하는 방법이 있습니다. 먼저, 공상 공간에서 Torus 섬유를 수행하십시오. 당신은 많은 토리를 얻을 것입니다. 각 Torus에는 반경이 있습니다 (원과 마찬가지로 1 차원 Torus는 반경이 있습니다). 다음으로, 각 Torus의 반경의 역수를 가져 가십시오. (따라서, 심각한 공간의 반경 4의 토러스는 복잡한 거울의 반경 ¼의 토러스가됩니다.) 그런 다음 새로운 토리를 사용하여 상호 반경을 사용하여 새로운 공간을 건설하십시오.
.1996 년 Andrew Strominger, Shing-Tung Yau 및 Eric Zaslow는이 방법을 상징적 인 공간을 복잡한 거울로 변환하기위한 일반적인 접근법으로 제안했습니다. Torus 세유를 사용하여 거울의 한쪽에서 다른쪽으로 이동하는 것이 항상 가능하다는 제안을 창시자 후에 SYZ 추측이라고합니다. 그것이 1994 년 Maxim Kontsevich가 제안한 상 동성 거울 대칭 추측과 함께 거울 대칭의 기본적인 질문 중 하나가되었다.
.SYZ 추측은 실제로 Torus 세동을 생성 한 다음 반경의 역수를 복용하는이 절차가 쉽지 않기 때문에 증명하기가 어렵습니다. 이유를 확인하려면 지구 표면의 예로 돌아갑니다. 처음에는 원으로 스트라이프가 쉬운 것처럼 보이지만 기둥에서는 원의 반경이 0입니다. 그리고 0의 상호 작용은 무한대입니다. Sheridan은“반경이 0과 같으면 약간의 문제가 있습니다.
이 같은 어려움은 6 차원 상징적 공간의 Torus 섬유를 만들려고 할 때 더욱 뚜렷한 방식으로 자랐습니다. 그곳에서, 당신은 섬유의 일부가 반경이 0 인 지점으로 끼워지는 많은 Torus 섬유를 가질 수 있습니다. 수학자들은 여전히 그러한 섬유와 함께 일하는 방법을 알아 내려고 노력하고 있습니다. 펜실베이니아 대학교 (University of Pennsylvania)의 수학자 인 토니 팬프 (Tony Pantev)은“이 토러스 세동은 정말로 거울 대칭의 어려움입니다.
다른 방법으로 말하십시오 :SYZ 추측은 Torus 세동이 Symplectic과 Complex Spaces의 핵심 연결 고리라고 말하지만, 많은 경우 수학자들은 추측이 규정하는 번역 절차를 수행하는 방법을 모릅니다.
.긴 숨겨진 연결
지난 27 년 동안 수학자들은 수백만 개의 거울 쌍의 예를 발견했습니다. 그러나 현상이 발생하는 이유를 이해할 때 양은 중요하지 않습니다. 머리카락이 어디에서 왔는지 이해하지 않고 방주의 포유류를 조립할 수 있습니다.
“우리는 4 억 개의 사례와 같은 많은 예를 가지고 있습니다. 사례가 부족한 것은 아니지만 그럼에도 불구하고 전체 이야기가 왜 작동하는지에 대한 힌트를주지 않는 것은 여전히 구체적인 사례입니다.”라고 Gross는 말했습니다.
.수학자들은 일반적인 구조 방법을 찾고자합니다.이 과정은 상징적 인 매니 폴드를 건네주고 거울을 되 찾을 수 있습니다. 그리고 이제 그들은 그들이 그것을 가지고 다가 가고 있다고 믿습니다. Auroux는“우리는 현상에 대한 사례 별 이해를 넘어서고 있습니다. "우리는 그것이 가능한 한 많은 일반성에서 작동한다는 것을 증명하려고 노력하고 있습니다."
.수학자들은 여러 개의 상호 관련된 전선을 따라 진행되고 있습니다. 수십 년 동안 거울 대칭 분야를 구축 한 후, 그들은 현장이 전혀 작동하는 주된 이유를 이해하는 데 가깝습니다.
프랑스의 IHES (Institute of Advanced Scientific Studies)의 수학자 인 Kontsevich는“합리적인 시간에 이루어질 것이라고 생각합니다. "정말 곧 증명 될 것이라고 생각합니다."
한 가지 활발한 연구 영역은 SYZ 추측을 중심으로 끝이납니다. 완전한 Torus 세동없이 기하학적 정보를 대비 측면에서 복잡한 측면으로 포트하려고 시도합니다. 2016 년, Hamburg University의 Gross와 그의 오랜 공동 작업자 Bernd Siebert는이를위한 일반 목적 방법을 게시했습니다. 그들은 이제이 방법이 모든 미러 공간에서 작동한다는 증거를 마무리하고 있습니다. 그로스는 그와 시버트가 연말까지 완료하기를 희망한다고 말했다.
또 다른 주요 공개 연구 라인은 당신이 거울 공간을 제공하는 Torus 세동이 있다고 가정하면 거울 대칭의 가장 중요한 관계가 거기에서 떨어지고 있음을 입증하려고합니다. 연구 프로그램은“Family Floer Theory”라고하며 Columbia University의 수학자 인 Mohammed Abouzaid가 개발하고 있습니다. 2017 년 3 월 Abouzaid는 특정 유형의 거울 쌍에 대해이 논리 체인을 입증 한 종이를 게시했지만 아직 전부는 아닙니다.
그리고 마지막으로 필드가 시작된 곳으로 돌아가는 작업이 있습니다. Sheridan, Sheel Ganatra 및 Timothy Perutz의 수학자 트리오는 1990 년대 Kontsevich가 그의 상동체 거울 대칭 추측과 관련된 주요 아이디어를 구축하고 있습니다.
누적 적으로,이 세 가지 이니셔티브는 미러 현상의 잠재적으로 완전한 캡슐화를 제공 할 것입니다. Auroux는“우리는 모든 큰 '왜'질문이 이해되는 것에 가까운 지점에 도달하고 있다고 생각합니다.
