이 기사에서는 베르누이 방정식을 기반으로 한 솔루션을 사용한 연습이 제공됩니다.
베르누이 방정식은 흐르는 유체의 에너지 보존에 기초합니다. 이 방정식의 유도는 베르누이 방정식 유도 문서에 자세히 나와 있습니다. 액체와 같은 비점성 및 비압축성 유체의 경우 이 방정식은 유선을 따른 정압 p, 동압 ½⋅ϱ⋅v² 및 정수압 ϱ⋅의 합이 일정함을 나타냅니다.
\begin{정렬}
&\boxed{p + \frac{1}{2} \rho ~v^2 +\rho g h=\text{konstant}} ~~\text{베르누이 방정식}\\[5px]
\end{정렬}
따라서 유선형의 두 상태는 다음 방정식으로 연결됩니다.
\begin{정렬}
&\boxed{p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2} \\[5px]
\end{정렬}
다음에서는 베르누이 방정식을 적용하기 위한 다양한 연습이 표시됩니다.
단면이 제한된 파이프를 통한 수평 흐름
밀도가 1g/cm3인 물이 수평 파이프를 통해 흐릅니다. 파이프 단면은 리듀서에서 80cm²에서 40cm²로 가늘어집니다. 감속기 앞의 정압은 4bar이고 유속은 4m/s입니다. 흐름은 비압축성이며 마찰이 없습니다(비점성). 감속기 이후에는 어떤 정압이 측정되나요?
그림:단면이 제한된 파이프를 통한 수평 흐름 이 질문에 대답하기 위해 우리는 유선형과 리듀서 앞과 리듀서 뒤의 지점을 살펴봅니다. 다음과 같은 상태 변수가 알려져 있습니다:
상태 1(큰 단면적) 상태 2(작은 단면) 높이 h1 =h2h2 =h1속도 v1 =4m/sv2 =?정압 p1 =4 barp2 =알 수 없음파이프의 수평 방향으로 인해 고려되는 두 점은 동일한 레벨(h1 =h2)에 있습니다. 따라서 베르누이 방정식은 정수압이 서로 상쇄된다는 점에서 단순화됩니다. 따라서 정압 p2의 경우 다음 공식이 생성됩니다.
\begin{정렬}
\요구{취소}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \cancel{\rho g h_1}=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \cancel{\rho g h_2}\\[5px]
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 =p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \\[5px]
\라벨{p2}
&\underline{p_2 =p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 -\frac{1}{2} \rho v_2^2} \\[5px]
\end{정렬}
정압 계산을 위해서는 수축 후 유속이 필요합니다. 우리는 이것을 대량 보존 조건으로부터 얻습니다. 시간 Δt 내에 유체는 속도 v1로 감속기 앞으로 흐르므로 거리 Δs1=v1⋅Δt를 커버합니다. 따라서 다음 유체 볼륨이 단면 A1을 통과합니다.
\begin{정렬}
\라벨{1}
&\Delta V =A_1 \cdot \Delta s_1 =A_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t \\[5px]
\end{정렬}
그림:유속의 관계 질량 보존과 물의 비압축성으로 인해 동일한 부피 ΔV도 동일한 시간 Δt 내에 단면적 A2를 통과해야 합니다. 단면적이 더 작기 때문에 유체 체적의 거리 Δs2는 더 커야 하며 이는 더 높은 유속 v2를 설명합니다.
\begin{정렬}
\라벨{2}
&\Delta V =A_2 \cdot \Delta s_2 =A_2 \cdot v_2 \cdot \Delta t \\[5px]
\end{정렬}
공식 (\ref{1})과 (\ref{2})를 동일시하고 v2에 대한 결과 방정식을 풀면 최종적으로 감속기 이후의 유속이 제공됩니다.
\begin{정렬}
\요구{취소}
&A_2 \cdot v_2 \cdot \cancel{\Delta t} =A_1 \cdot v_1 \cdot \cancel{\Delta t} \\[5px]
&\boxed{v_2 =\frac{A_1}{A_2} \cdot v_1} =\frac{80~ \text{m²}}{40 ~\text{m²}} \cdot 4 \frac{\text{m}}{\text{s}} =\underline{\underline{8 \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\[5px]
\end{정렬}
단면이 절반 크기로 수축되므로 유속이 두 배로 늘어납니다. 이제 알려진 모든 값을 방정식(\ref{p2})에 넣을 수 있습니다. 압력은 기본 단위 N/m²로, 밀도는 kg/m² 단위로 사용됩니다.
\begin{정렬}
&p_2 =p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 -\frac{1}{2} \rho v_2^2 \\[5px]
&p_2 =4 \cdot 10^5 \tfrac{\text{N}}{\text{m²}} + \frac{1}{2} 1000 \tfrac{\text{kg}}{\text{m³}} ~\left(4 \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 – \frac{1}{2} 1000 \tfrac{\text{kg}}{\text{m²}} ~\left(8 \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 =3.76 \cdot 10^5 \tfrac{\text{N}}{\text{m²}} \\[5px]
&\밑줄{\밑줄{p_2 =3.76 ~\text{bar}}}\\[5px]
\end{정렬}
따라서 유속이 증가하면 정압이 4.00bar에서 3.76bar로 떨어집니다. 이는 정압과 관련된 에너지의 일부가 물을 가속하는 데 사용되어야 했다는 사실로 설명할 수 있습니다. 물의 운동에너지가 증가하면 정압이 감소합니다. 이 현상에 대한 자세한 내용은 벤추리 효과 기사에서 확인할 수 있습니다.
노즐이 달린 물 호스의 흐름
내부 단면적이 1.24cm²인 호스가 수도꼭지에 연결됩니다. 호스는 지상 6m 높이까지 연결되어 있으며, 여기서 물은 노즐을 통해 흘러나와 수영장에 모입니다. 수영장은 분당 30리터로 채워집니다. 지상 1미터 높이에 호스에 압력계를 부착하여 정압을 측정합니다. 게이지는 2bar의 압력을 나타냅니다. 주변 기압은 1bar입니다. 흐름은 비압축성이며 점성이 없습니다. 노즐에서 물이 나오는 속도는 얼마나 되나요?
그림:더 높은 곳에 위치한 풀 채우기 이 질문에 대답하기 위해 압력 게이지에서 노즐 출구까지 이어지는 유선형을 고려합니다. 이 경우 베르누이 방정식의 중력 위치 에너지(정수압)에 대한 항을 고려해야 합니다. 다음 변수가 제공됩니다:
상태 1(압력계) 상태 2(노즐 열림) 높이 h1 =1mh2 =6m속도 v1 =?v2 =알 수 없음정압 p1 =2 barp2 =?
그림:서로 다른 높이의 두 상태에 베르누이 방정식 적용 측정 지점의 유속 v1은 풀이 채워지는 체적 유량을 통해 결정될 수 있습니다. 유체의 비압축성으로 인해 압력 게이지의 유속은 노즐에서 나와 풀을 채우는 유속과 동일해야 합니다. 유속 v1을 사용하면 다음 부피 ΔV가 Δt 기간 내에 호스 단면적 A1을 통과합니다.
\begin{정렬}
&\델타 V =A_1 \cdot v_1 \cdot \델타 t\\[5px]
\end{정렬}
따라서 체적 유량 V*(=단위 시간당 체적)의 경우 체적 ΔV와 지속 시간 Δt의 몫이 적용됩니다.
\begin{정렬}
&\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t} =A_1 \cdot v_1 \\[5px]
\end{정렬}
이 방정식을 유속으로 풀면 v1에 대해 약 4.03m/s의 값이 제공됩니다. 체적 유량은 m³/s 단위로 제공되어야 합니다.
\begin{정렬}
&v_1 =\frac{\dot V}{A_1} =\frac{5 \cdot 10^{-4} ~ \tfrac{\text{m³}}{\text{s}}}{1.24\cdot 10^{-4} ~\text{m²}}=\underline{\underline{4.03 \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\[5px]
\end{정렬}
노즐 출구의 정압 p2는 어떻습니까? 물은 방해받지 않고 대기 중으로 흐르기 때문에 주변 공기만이 워터 제트에 압력을 가합니다. 따라서 주변 압력은 노즐에서 흘러나올 때 워터 제트에 정압을 가합니다.
\begin{정렬}
&p_2 =\underline{\underline{1~ \text{bar}}} \\[5px]
\end{정렬}
이제 필요한 모든 양을 알았으므로 이를 베르누이 방정식에 넣고 유속 v2에 대해 풀 수 있습니다.
\begin{정렬}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \\[5px]
&v_2 =\sqrt{\frac{2~(p_1-p_2)}{\rho} + 2g(h_1-h_2) + v_1^2} =\underline{\underline{10.87 \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\[5px]
\end{정렬}
그래서 물은 10.87m/s의 속도로 노즐에서 나옵니다.
토리첼리의 법칙
개방형 물탱크 측면에 수도꼭지가 부착되어 있습니다. 호스는 한쪽 끝이 탭에 연결됩니다. 다른 쪽 끝에는 단면이 가변적인 노즐이 장착되어 있습니다. 탱크가 너무 커서 물이 노즐에서 나오는 동안 수위가 (거의) 변하지 않습니다. 흐름은 비압축성이며 점성이 없습니다. 수면이 노즐 입구 높이 h보다 높을 때 노즐에서 물이 나오는 속도는 얼마입니까?
그림:호스에서 물 배출 이 문제를 해결하기 위해 우리는 수면에서 노즐 출구까지 이어지는 유선형을 고려합니다. 정수압을 계산하는 데 사용되는 높이의 기준 레벨은 노즐 높이로 설정됩니다. 따라서 다음 변수가 알려져 있습니다:
상태 1(수위) 상태 2(노즐 열림) 높이 h1 =hh2 =0속도 v1 ≒ 0v2 =알 수 없음정압 p1 =pambp2 =푸
그림:호스에서 물 배출(Torricelli의 법칙) 물이 노즐에서 흘러나올 때 수위는 눈에 띄게 변하지 않습니다. 따라서 물 표면에서 유체 입자의 침하 속도 또는 유속은 대략 0(v1≒0)입니다. 또한, 수면의 정압은 대기압(pamb)에 해당합니다. 왜냐하면 이 압력은 수면에 적용되기 때문입니다. 주변 압력은 노즐에서 나오는 워터 제트에도 작용합니다. 문제를 해결하려면 베르누이 방정식의 정압이 서로 상쇄되므로 주변 압력의 정확한 값이 필요하지 않습니다.
\begin{정렬}
\요구{취소}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \\[5px]
&\cancel{p_\text{amb} }+ \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_1^2}_{=0} + \rho g\underbrace{h_1}_{=h}=\cancel{p_\text{amb}} + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g \underbrace{h_2}_{=0} \\[5px]
&\취소{\rho} g h=\frac{1}{2} \취소{\rho} v_2^2 \\[5px]
\라벨{오스트레일리아}
&\boxed{v_2=\sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{정렬}
이번 결과는 두 가지 면에서 주목할 만하다. 첫째, 분명히 노즐 위의 수위 높이만이 배출 속도와 관련이 있습니다. 노즐의 단면은 영향을 미치지 않습니다. 둘째, 유출 속도는 낙하 속도와 정확히 일치함을 알 수 있습니다. vf 액체 덩어리가 수면에서 떨어지는 경우(이것은 Torricelli의 법칙이라고도 함) 질량이 m인 유체 덩어리의 중력 위치 에너지는 완전히 운동 에너지로 변환됩니다.
\begin{정렬}
\요구{취소}
&\취소{m}~g~h=\frac{1}{2}\취소{m}~v_\text{f}^2 \\[5px]
&\boxed{v_\text{f}=\sqrt{2gh}} ~~\text{토리첼리의 법칙}\\[5px]
\end{정렬}
에너지적인 관점에서 보면 유출 속도는 공식(\ref{aus})에 의해 주어진 것보다 높을 수 없다는 것이 분명해집니다. 이는 이 속도에서 유출되는 유체 덩어리가 기껏해야 다시 초기 높이, 즉 수면까지의 높이에 도달할 수 있기 때문입니다. 속도가 더 높으면 이는 에너지 보존 법칙에 위배됩니다. 그러면 유체 소포가 더 높은 높이에 도달할 수 있기 때문입니다. 그러면 에너지 투입 없이 더 높은 수영장을 채울 수 있습니다.
호수 특정 깊이의 압력
사실, 베르누이 방정식은 흐르는 유체에만 유효한 것은 아닙니다. 베르누이 방정식은 정지 유체에도 적용될 수 있습니다. 고요하고 깊은 호수를 생각해 보겠습니다. 수면 아래 깊이 h에는 어떤 압력이 존재합니까?
이 문제를 해결하기 위해 우리는 수면에서 깊이 h까지의 유선을 고려합니다. 유선은 속도 벡터에 대한 접선으로 정의됩니다. 정지 유체에 대한 모든 벡터는 0이므로 유선은 궁극적으로 모든 경로를 따라 그려질 수 있습니다. 우리는 중력 위치 에너지에 대한 기준 레벨을 고려된 깊이에 배치합니다. 따라서 이 깊이에는 높이 0이 할당되고 수면 높이에는 h가 할당됩니다. 수면의 정압은 주변 압력(pamb)입니다. 따라서 다음 매개변수가 알려져 있습니다:
상태 1(수면) 상태 2(깊이) 높이 h1 =hh2 =0속도 v1 =0v2 =0정압 p1 =pambp2 =알 수 없음
그림:호수의 특정 깊이에서의 압력 Bernoulli 방정식에 사용된 이러한 매개변수는 수압 p2에 대해 다음과 같은 결과를 제공합니다.
\begin{정렬}
\요구{취소}
&\underbrace{p_1}_{p_\text{amb}} + \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_1^2}_{=0} +\rho g \underbrace{h_1}_{=h}=p_2 + \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_2^2}_{=0} + \rho g \underbrace{h_2}_{=0} \\[5px]
&\boxed{p_2=p_\text{amb} + \rho g h} \\[5px]
\end{정렬}
예상했던 대로, 깊이 h의 압력 p2는 주변 압력 pmb에 위의 물기둥에 의해 생성된 (정수압) 압력에 해당합니다!
