누셀트 수(Nusselt Number):대류 열 전달 이해

누셀트 수는 시스템 크기와 관계없이 대류 열 전달을 설명하는 무차원 유사성 매개변수입니다.

소개

대류 열 전달은 고체 표면과 흐르는 유체 사이의 열 전달을 나타냅니다. 고체 벽과 흐르는 유체 사이의 온도 차이가 클수록 전달되는 열 흐름도 커집니다. 온도 차이와 열 유속 사이의 관계는 소위 열 전달 계수 α로 정량화됩니다.

\begin{정렬}
\라벨{qq}
&\boxed{\dot q_\alpha =\alpha \cdot (T_w-\overline{T_f})} ~~~~~\text{대류 열 전달} \\[5px]
\end{정렬}

이 공식에서 q*는 벽의 열 유속을 나타내고, Tf는 흐르는 유체의 온도, Tw는 벽의 온도를 나타냅니다. 파이프 흐름의 경우 유체 온도는 단열 혼합 온도를 나타냅니다. , 즉 관심 지점에서 유체가 이상적으로 혼합되는 온도입니다. 자유 흐름에서 (예:라디에이터를 통과하는 공기 흐름) 유체 온도는 자유 흐름의 온도를 나타냅니다. , 즉 벽으로부터 충분히 먼 거리에 있습니다(Tf=Tf,무한).

열전달 계수에 관한 기사에서 흐르는 유체와 고체 벽 사이의 경계층의 중요성은 이미 자세히 설명되었습니다. 이러한 이유로 여기서는 간략하게만 다루겠습니다. 소위 미끄럼 방지 상태로 인해 , 유체가 벽에 직접 부착됩니다(이는 완전히 발달된 흐름에만 적용됩니다!). 따라서 이 지점에서 벽과 유체 사이의 열 전달은 열 전도에 의해서만 가능합니다. 푸리에의 법칙에 따르면 유체의 온도 구배는 열 흐름에 결정적인 영향을 미칩니다. 온도 구배가 클수록 열 흐름 또는 열 유속이 높아집니다.

\begin{정렬}
\라벨{qw}
&\boxed{\dot{q_\lambda} =- \lambda_f \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}} ~~~~~\text{푸리에의 법칙} \\[5px]
\end{정렬}

유체의 열전도도는 λf로 표시되고 dTF/dy|wall이라는 용어는 벽에서 직접 유체의 온도 구배를 나타냅니다. 조건 qλ*=qα*를 사용하면 열 전달 계수 α에 대해 아래 주어진 관계가 생성됩니다. 벽에서 방출되는 열량만큼만 유체를 통해 전달될 수 있으므로 벽의 열 유속은 동일해야 합니다.

\begin{정렬}
&\alpha =\frac{\dot q_\alpha}{T_w-\overline{T_f}} \\[5px]
\라벨{지팡이}
&\boxed{\alpha =\frac{- \lambda_f \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}}{T_w-\overline{T_f}}}\\[5px]
\end{정렬}

정지 유체(대류 없음)에 비해 이제 흐름은 유체의 온도 장에 결정적인 영향을 미치며, 이는 다시 온도 구배에 영향을 미치므로 전체(대류) 열 전달에 영향을 미칩니다. 단순화된 조건에서 우리는 점 x에서 통과하는 유체로 열을 전달하는 가열된 벽을 고려합니다. 유체의 흐름으로 인해 유체에 전달된 열은 상대적으로 빠르게 이동하고 더 차가운 유체가 유입됩니다. 반면에 유체가 흐르지 않으면 말하자면 열이 축적되어 유체가 상대적으로 강하게 가열됩니다.

즉, 가열된 벽 근처에 흐르는 유체는 정지해 있는 유체보다 더 차갑습니다. 따라서 대류로 인해 유체의 온도는 벽에서 직접 더 강하게 떨어집니다. 이는 푸리에의 법칙에 따라 더 큰 열 흐름을 의미합니다. 흐름이 난류일 때 특히 큰 온도 구배가 발생하므로 유체가 혼합되고 열이 훨씬 더 빠르게 벽에서 멀리 이동됩니다.

누셀트 수의 정의

방금 설명한 대로 벽에서 직접 열 전달은 열 전도를 통해서만 발생합니다. 그러나 열 전도는 벽뿐만 아니라 전체 유체 내에서도 발생합니다. 단지 유체가 움직인다고 해서 열전도 메커니즘이 없어지는 것은 아닙니다. 그러나 벽으로부터 더 먼 거리에서는 대류에 의한 열 전달이 지배적입니다. 그러나 위에서 언급한 가열된 벽의 예에서 알 수 있듯이 온도 필드가 흐름에 의해 변경되기 때문에 열 전달의 두 가지 메커니즘이 각각 영향을 미칩니다.

요약하면 대류는 본질적으로 두 가지 열 전달 메커니즘을 기반으로 한다고 말할 수 있습니다.

• 열전도 분자의 무작위 분자 운동을 통해(유체가 있는 벽 근처에서 지배적임)
• 열대류 분자의 규칙적인 분자 운동을 통해 - 벌크 운동(벽으로부터 더 먼 거리에서 지배적임)
• (열 복사는 매우 높은 온도 차이에서만 역할을 하므로 무시됩니다.)

두 메커니즘 모두 관찰 가능한 대류에 의한 열 전달을 함께 정의합니다. , 거시적으로 설명됩니다. 방정식(\ref{qq})으로 표시되며 미시적으로 표현될 수도 있습니다. 방정식(\ref{qw})으로.

실제 사이의 비율 현재 대류 열 전달("α")과 순수한 가상 열전도("λf")는 무차원 누셀트 수로 표시됩니다. “뉴”:

\begin{정렬}
\라벨{nu}
&\boxed{Nu:=\frac{\alpha}{\lambda_f}L} ~~~~~\text{Nusselt 수} \\[5px]
\end{정렬}

이 공식에서 L은 소위 특성 길이를 나타냅니다. 열 전달에 대한 시스템 크기의 영향을 설명하는 시스템의. 파이프의 경우 특성 길이는 파이프 직경에 해당합니다. 플레이트의 대류 열 전달을 고려할 때 특성 길이는 흐름 방향의 플레이트 길이와 같습니다.

누셀트 수는 순수 열 전도와 비교한 대류 열 전달 비율을 나타냅니다!

이 시점에서 Nusselt 수를 전도 대 대류의 비율로 명확하게 해석하려고 시도하는 경우가 많습니다. 특별한 경우에는 이것이 실제로 가능할 수도 있습니다. 그러나 대부분의 경우 이는 명확한 이해에 기여하기보다는 더 많은 혼란을 초래합니다(우리 의견으로는). 그러므로 우리는 다른 접근 방식을 취하고 싶습니다. 이를 위해 방정식(\ref{wand})에 따라 열 전달 계수를 취하고 이를 Nusselt 수(\ref{nu})의 정의에 넣습니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&Nu=\frac{\alpha}{\lambda_f}L \\[5px]
&Nu=\underbrace{\frac{- \cancel{\lambda_f} \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}}{T_w-\overline{T_f}}}_{\alpha} \cdot \frac{L}{\cancel{\lambda_f}} \\[5px]
\label{nutint}
&\boxed{Nu=\color{red}{\frac{\left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}}{\overline{T_f}-T_w}} \cdot L} \\[5px]
\end{정렬}

빨간색으로 표시된 용어는 정규화된 온도 구배에 해당합니다. 벽에. 따라서 Nusselt 수는 무차원 온도 구배의 척도로 해석될 수 있습니다. 벽에. 그리고 이 온도 구배가 클수록 열 흐름이 높아집니다. 나중에 완전히 발달된 파이프 유동의 경우 이러한 무차원 온도 구배가 특정 경계 조건에서 일정하다는 것을 보여줄 것입니다. 이는 Nusselt 수에도 적용됩니다.

누셀트 수는 벽에 있는 유체의 (무차원) 온도 구배를 측정한 것입니다!

실제 Nusselt 수의 중요성

처음에는 이상하게 들릴지 모르지만 Nusselt 수는 유사 개념에서만 진정한 의미를 얻습니다. 왜냐하면 서로 다른 크기의 시스템에서 동일한 Nusselt 수가 얻어지는 경우에만 대류에 의한 유사한 열 전달을 가정할 수 있기 때문입니다. 따라서 먼저 소규모 모델 실험에서 Nusselt 수를 결정한 다음, 얻은 Nusselt 수를 특성 길이를 사용하여 실제 시스템에 적용하는 것이 가능합니다.

\begin{정렬}
\라벨{알파}
&\boxed{\alpha =Nu \cdot \frac{\lambda_f}{L}} \\[5px]
\end{정렬}

Nusselt 수는 대류 열 전달을 설명하는 무차원 유사성 매개변수입니다. 동일한 Nusselt Number를 통해서만 시스템 크기에 관계없이 물리적으로 유사한 열 전달을 얻을 수 있습니다.

참고 :열 전달 계수 α는 항상 구체적인 적용(시스템 크기에 따라 다름)을 나타내는 반면, Nusselt 수 "Nu"는 실제 적용 및 시스템 크기에 관계없이 일반적으로 대류 열 전달을 나타냅니다.

따라서 Nusselt 수는 예를 들어 화학 공학에서 매우 중요합니다. 화학 공정을 수행하거나 플랜트를 실제 규모로 건설하기 전에 먼저 소규모 규모(예:실험실 또는 파일럿 플랜트)에서 테스트하거나 연구합니다. 나중에 실제 생활에서와 동일하거나 유사한 열 전달을 얻으려면 Nusselt 수가 모든 규모에서 동일해야 합니다. 따라서 소규모로 Nusselt 수를 결정한 다음 이를 실제 규모에 적용합니다(규모 확대라고 함). ).

대류 열전달의 경우 Nusselt 수가 모델과 실제 시스템 사이의 연결고리입니다!

지역 및 평균 Nusselt 수

시스템의 특정 지점 x(예:파이프의 특정 지점)에서만 열 전달을 설명하려는 경우 로컬 누셀트 수를 사용하기도 합니다. . 따라서 국부적 누셀트 수는 국부적 열 전달 계수와 국부적 열 유속을 설명합니다. .

그러나 열 전달은 전체 시스템 자체와 관련되거나 더 긴 섹션과 관련될 수도 있습니다. 파이프 흐름의 경우 이는 Nusselt 수가 더 이상 파이프의 특정 지점을 참조하지 않고 전체 파이프 자체 또는 길이 l의 더 긴 섹션을 ​​참조함을 의미합니다. 이러한 맥락에서 평균 Nusselt 수를 말합니다. , 이는 평균 열전달 계수를 나타냅니다. 이 경우 전체 파이프의 평균 열유속을 얻습니다. 따라서 평균 Nusselt 수는 로컬 Nusselt 수를 적분하여 얻습니다.

너셀트 수 계산 문서에서는 플레이트와 파이프를 통과하는 흐름의 국지적 및 평균 누셀트 수 계산에 대해 자세히 설명합니다.

파이프 흐름의 맥락에서 무차원 온도와 Nusselt 수

파이프 내부의 온도 프로파일을 설명할 때 기본적인 "문제"는 파이프를 따라 프로파일이 변경된다는 것입니다. 결국 등온으로 가열된 파이프에서는 열이 유체로 영구적으로 전달되어 결과적으로 가열됩니다. 이는 파이프 축(Tf)으로부터 거리 r에 있는 유체 내 지점과 벽(Tw) 사이의 온도 차이가 r과 위치 x의 함수라는 것을 의미합니다.

\begin{정렬}
&f(x,r) =T_f-T_w \\[5px]
\end{정렬}

그러나 이 함수가 고려된 위치 x(Tf)의 혼합 온도와 일정한 벽 온도 Tw 사이의 온도 차이와 관련된 경우, 얻은 무차원 유체 온도 θf는 열적 및 유체역학적으로 완전히 발달된 흐름에 대한 파이프의 위치와 무관합니다. 경계층의 두께가 더 이상 변하지 않으면 흐름이 완전히 발달한 것으로 간주됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\theta_f:=\frac{T_f-T_w}{\overline{T_f}-T_w}} ~~~~~\text{무차원 유체 온도}\\[5px]
\end{정렬}

완전 발달된 흐름은 경계층의 두께가 더 이상 변하지 않는 흐름입니다!

벽 온도 Tw는 이 방정식에서 상수인 반면 유체 온도 Tf는 r과 x에 따라 달라집니다. 그러나 혼합 온도는 위치 x의 함수일 뿐입니다:

\begin{정렬}
&\theta_f(r) =\frac{T_f(r,x)-T_w}{\overline{T_f}(x)-T_w} \\[5px]
\end{정렬}

따라서 분모뿐만 아니라 분수의 분자에서도 x의 의존성을 갖습니다. 몫으로 인해 x의 종속성이 취소되어 말하자면 전체 항이 더 이상 x의 함수가 아닙니다. 그러나 복잡성으로 인해 이것이 실제로 사실인지 증명하고 싶지 않습니다. 그러나 우리는 이 가정 하에서 Nusselt 수가 x(따라서 열 전달 계수)와도 독립적이라는 것을 보여주고 싶습니다.

이를 위해 무차원 온도 구배는 r에 대해 위의 방정식을 도출하여 결정됩니다(부분 도함수 ). 파란색으로 표시된 항은 r의 함수가 아니기 때문에 상수로 간주됩니다. 또한 r에 대한 벽 온도 Tw의 미분은 벽 온도가 일정하기 때문에 0입니다.

\begin{정렬}
&\frac{\text{d} \theta_F(r)}{\text{d}r}=\color{blue}{\frac{1}{\overline{T_f}(x)-T_w}} \cdot \frac{\text{d}\left[T_f(r,x)-T_w\right]}{\text{d}r} \\[5px]
&\frac{\text{d} \theta_f(r)}{\text{d}r}=\color{blue}{\frac{1}{\overline{T_f}(x)-T_w}} \cdot \left[\frac{\text{d}T_f(r,x)}{\text{d}r} – \underbrace{\frac{\text{d}(T_w)}{\text{d}r}}_{=0} \right]\\[5px]
&\frac{\text{d} \theta_f(r)}{\text{d}r}=\color{blue}{\frac{1}{\overline{T_f}(x)-T_w}} \cdot \frac{\text{d}T_f(r,x)}{\text{d}r}\\[5px]
\end{정렬}

따라서 다음 공식은 벽의 무차원 온도 구배에 적용됩니다.

\begin{정렬}
&\left(\frac{\text{d} \theta_f(r)}{\text{d}r}\right)_\text{wall}=\frac{\left(\frac{\text{d}T_f(r,x)}{\text{d}r}\right)_\text{wall}}{\overline{T_f}(x)-T_w} \\[5px]
\end{정렬}

여기서는 변수 지정을 생략하겠습니다.

\begin{정렬}
&\left(\frac{\text{d} \theta_f}{\text{d}r}\right)_\text{wall}=\color{red}{\frac{\left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}r}\right)_\text{wall}}{\overline{T_f}-T_w}} \neq f(x)\\[5px]
\end{정렬}

그러면 이 방정식의 우변에 있는 표현식이 방정식(\ref{nutint})에서 빨간색으로 표시된 항에 해당한다는 것이 즉시 명백해집니다(이 경우 변수 y는 반경 r에 해당하고 특성 L은 파이프의 내부 직경 d에 해당합니다). 그러나 이 방정식의 왼쪽에서 볼 수 있듯이 이 항은 x에 의존하지 않으므로 Nusselt 수는 x의 함수가 아닙니다.

\begin{정렬}
&\boxed{Nu=\left(\frac{\text{d} \theta_f}{\text{d}r}\right)_\text{wall} \cdot d} \neq Nu(x)\\[5px]
\end{정렬}

무차원 온도 프로파일과 Nusselt 수 및 열 전달 계수는 다음 조건에서만 위치 x와 무관합니다.

• 열적 및 유체역학적으로 완전히 발달한 층류 흐름 프로파일(Hagen-Poiseuille 흐름 참조)
• 일정한 벽 온도 또는 벽의 일정한 열 유속

파이프가 길수록 파이프 흐름의 완전 발달 조건이 더 잘 충족됩니다. 따라서 누셀 수는 긴 파이프의 한계에 접근하는 경향이 있습니다. 이 점근선은 수치적 방법으로 결정될 수 있습니다. 경계 조건에 따라 로컬 또는 평균 Nusselt 수에 대한 다음 점근선이 생성됩니다.

\begin{정렬}
\라벨{366}
&\boxed{Nu_{\infty}=3,660} &&~~~\text{일정한 벽 온도용}\\[5px]
\라벨{4364}
&\boxed{Nu_{\infty}=4,364} &&~~~\text{벽의 일정한 열유속용}\\[5px]
\end{정렬}

완전히 발달된 흐름 프로파일은 이론적으로 매우 긴 파이프에 대해서만 존재하거나 파이프 시작점으로부터 충분히 먼 거리에 존재한다는 점에 유의하십시오. 따라서 로컬 Nusselt 수는 일반적으로 x에 따라 달라지며 평균 Nusselt 수는 파이프 길이 l에 따라 달라집니다. Nusselt 수 계산에 대한 자세한 내용은 Nusselt 수 계산 문서에서 확인할 수 있습니다.