베르누이 방정식:유체 역학 이해

베르누이 방정식은 비점성 및 비압축성 유체에 대한 정압, 동적 및 정수압 간의 관계를 설명합니다.

정적, 동적 및 정수압

정지 유체에 작용하는 압력으로 인해 인터페이스에 힘이 가해집니다. 예를 들어 힘이 실린더의 피스톤에 작용할 때 이 힘은 기계적인 작업을 수행할 수 있습니다. 벤투리 효과 기사에서는 압력이 체적 비에너지로 해석될 수 있다는 점을 이미 자세히 설명했습니다. . 압력은 유체에 단위 부피당 얼마나 많은 위치 에너지가 존재하고 기계적 일로 변환될 수 있는지를 나타냅니다.

\begin{정렬}
\라벨{p}
&\boxed{p=\frac{\Delta W}{\Delta V}} \\[5px]
\end{정렬}

휴면 유체는 정압, 즉 무작위적인 미세한 움직임으로 인해 발생하는 압력을 기반으로만 작업을 수행할 수 있습니다. 분자가 계면과 충돌할 때 발생하는 현상입니다(가스의 압력 기사 참조). 그러나 유체가 흐른다면(거시적 벌크 운동을 순서대로 ), 유체는 운동과 관련된 운동 에너지로 인해 일을 수행할 수도 있습니다. 이 운동 에너지가 유체 부피와 관련되어 있으면 방정식(\ref{p})에 따라 운동 에너지를 압력에 할당할 수도 있습니다. 정압과 대조 , 이 경우에는 동적 압력을 말합니다. . 간단히 말하면:

정압은 분자의 무작위적인 미세한 움직임과 연결되어 있는 반면, 동적 압력은 흐르는 유체의 규칙적인 거시적 벌크 운동과 연결되어 있습니다!

기준 수준에 따라 유체는 일로 변환될 수도 있는 중력 위치 에너지도 갖습니다. 이 에너지는 예를 들어 수력 발전소에서 사용됩니다. 방정식(\ref{p})에 따르면 단위 부피당 포함된 위치 에너지는 특정 압력에 해당합니다. 이 압력을 정수압이라고 합니다. !

외부 소스로부터 흐름에 에너지가 공급되지 않는 경우, 에너지 보존을 위해 정적 에너지("압력 에너지"), 운동 에너지 및 중력 위치 에너지의 합은 일정하게 유지되어야 합니다. 수평 흐름이나 밀도가 낮은 유체(예:가스) 흐름의 경우 중력 위치 에너지의 변화는 존재하지 않거나 무시할 수 있습니다. 이러한 경우 운동에너지의 증가는 필연적으로 정적에너지의 감소를 의미합니다.

이러한 경우는 단면이 감소된 수평 파이프에서 발생합니다. 질량 보존으로 인해 파이프에 질량이 축적되거나 소멸될 수 없습니다. 따라서 질량 유량은 파이프를 따라 모든 지점에서 동일합니다. 따라서 단면이 더 작은 경우에는 단위 시간당 동일한 질량이 흐를 수 있도록 유속이 더 커야 합니다.

따라서 단면적의 감소는 필연적으로 유속의 증가를 의미합니다. 운동 에너지의 증가는 에너지가 공급되지 않는 한(예:펌프에 의해) 정적 에너지에서만 발생할 수 있습니다. 따라서 정압은 동압보다 감소합니다. 벤츄리 효과(Venturi Effect) 기사에서 유속이 증가함에 따라 압력이 감소하는 현상에 대해 이미 자세히 논의했습니다.

앞에서 언급했듯이 유체가 특정 높이를 초과할 때 중력 위치 에너지를 고려해야 합니다. 높이, 유속, 정압의 관계는 다음과 같습니다.

관계를 도출하기 위해 마찰이 없는 파이프의 비압축성 비점성 흐름을 고려합니다. 파이프는 다양한 단면을 가지며 특정 높이를 극복합니다.

압력 에너지('밀어넣은' 에너지와 '밀어낸' 에너지)

먼저 정압 p1이 작용하는 지점 1의 파이프 섹션 하부를 살펴보겠습니다. 특정 기간 Δt 내에 이 압력은 파이프 단면적 A1을 통해 특정 유체 질량 Δm을 강제합니다. 고려 중인 유체 요소가 밀려 들어가는 거리를 Δs1로 표시합니다. 정압("밀어넣어진" 에너지)으로 인해 지점 1에서 유체 요소가 파이프를 통해 밀려나는 압력 에너지 W1은 밀어 넣은 유체량 ΔV에 따라 달라집니다.

\begin{정렬}
&W_1 =F_1 \cdot \Delta s_1=p_1 \underbrace{A_1 \cdot \Delta s_1}_{\Delta V} \\[5px]
&\underline{W_1 =p_1 \Delta V} ~~~~~\text{“밀어넣은” 에너지}\\[5px]
\end{정렬}

이제 이전 섹션에서 설명한 관계로 인해 더 낮은 정압 p2가 있는 지점 2에서 파이프의 상부 부분을 살펴봅니다. 그러나 고려된 시간 Δt 내에서 동일한 유체 질량이 감소된 단면적 A2를 통해 밀려나야 합니다(질량 보존). 비압축성 유체가 가정되므로 A1을 통과할 때와 마찬가지로 A2를 통과할 때 동일한 유체 체적 ΔV가 흐릅니다.

그러나 단면적 A2가 감소하면 거리 Δs2가 길어지고 유속도 빨라집니다! 거기에 작용하는 정압 p2로 인해 유체 요소는 다음과 같은 압력 에너지 W2("밀어낸" 에너지)를 사용하여 지점 2에서 파이프를 통해 밀려납니다.

\begin{정렬}
&W_2 =F_2 \cdot \Delta s_2=p_2 \underbrace{A_2 \cdot \Delta s_2}_{\Delta V} \\[5px]
&\underline{W_2 =p_2 \Delta V} ~~~~\text{“밀어낸” 에너지}\\[5px]
\end{정렬}

유체를 가속하고 들어올리는 데 필요한 작업

실제로 유체 요소가 지점 1에서 파이프 섹션으로 밀려들어갈 때 사용하는 압력 에너지 W1이 지점 2에서 파이프 섹션으로 밀려나는 압력 에너지 W2보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 그 이유는 "밀어 넣은" 에너지의 일부가 유체 요소를 가속하고(운동 에너지 공급) 중력에 대항하여 유체를 들어 올리는 데(중력 위치 에너지 공급) 사용되어야 했기 때문입니다. 유체를 가속하고 들어 올리는 데 필요한 일을 제외한 "밀어내는" 에너지는 나머지 "밀어내는" 에너지를 제공합니다. 즉, 압력에너지의 차이는 가속일 ΔWa와 양력일 ΔWh의 합이 됩니다:

\begin{정렬}
\라벨{a}
&\boxed{W_1 – W_2 =\Delta W_\text{a} + \Delta W_\text{h}} \\[5px]
\end{정렬}

v1에서 v2로 유체 요소를 가속하는 데 필요한 작업은 지점 2와 지점 1의 운동 에너지 차이에 의해 결정됩니다(참고:Δm=ϱ⋅ΔV):

\begin{정렬}
&\Delta W_\text{a} =W_\text{kin,2} -W_\text{kin,1} \\[5px]
&\underline{\Delta W_\text{a} =\frac{1}{2} \cdot \rho \Delta V \cdot v_2^2 ~- \frac{1}{2} \cdot \rho \Delta V \cdot v_1^2} \\[5px]
\end{정렬}

유체 요소를 높이 h1에서 높이 h2로 들어 올리는 데 필요한 작업은 지점 2와 지점 1의 중력 위치 에너지 차이에 의해 결정됩니다.

\begin{정렬}
&\Delta W_\text{h} =W_\text{h,2} – W_\text{h,1}\\[5px]
&\밑줄{\Delta W_\text{h} =\rho \Delta V \cdot g \cdot h_2 – \rho \Delta V \cdot g \cdot h_1}\\[5px]
\end{정렬}

베르누이 방정식

이전 공식을 방정식(\ref{a})에 사용하면 고려 중인 두 지점의 압력 에너지, 운동 에너지 및 중력 위치 에너지 사이의 다음 관계를 추론할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{1}
&\underbrace{p_1 {\Delta V} – p_2 {\Delta V}}_{\text{압력 에너지}} =\underbrace{\frac{1}{2} \rho {\Delta V} v_2^2 – \frac{1}{2} \rho {\Delta V} v_1^2}_{\text{운동 에너지}} + \underbrace{\rho {\Delta V} g h_2 – \rho {\Delta V}g h_1}_{\text{중력 퍼텐셜 에너지}} \\[5px]
\end{정렬}

모든 에너지 용어에는 유체량이 포함됩니다. 따라서 이 방정식은 유체 부피로 나눌 수 있으므로 유체 부피와 무관합니다.

\begin{정렬}
\라벨{2}
&p_1 – p_2 =\frac{1}{2} \rho v_2^2 – \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_2 – \rho g h_1 \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식을 재배열하면 최종적으로 흐름의 두 상태 1과 2 사이에 다음과 같은 관계가 생성됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2} ~~\text{베르누이 방정식} \\[5px]
&\text{또는}\\[5px]
&\boxed{p + \frac{1}{2} \rho ~v^2 +\rho g h=\text{상수}}=p_\text{tot} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식은 베르누이 방정식으로도 알려져 있습니다. . 베르누이 방정식에서 발견되는 항은 모두 압력의 차원을 갖습니다. 유체의 운동에너지와 관련된 ½⋅ϱ⋅v²라는 용어를 유체역학적 압력이라고 합니다. 아니면 그냥 동적 압력 . 중력 위치 에너지와 관련된 용어 ϱ⋅g⋅h를 정수압이라고 합니다. 이러한 압력 용어와 달리 압력 p를 정압이라고 합니다. .

베르누이 방정식을 기반으로 한 해법 연습 기사에는 베르누이 방정식 적용에 대한 몇 가지 예가 더 자세히 나와 있습니다.

베르누이 방정식은 비점성 및 비압축성 유체에 대해 정압, 동압 및 정수압의 합이 일정하다는 것을 나타냅니다(예를 들어 펌프에 의해 외부 소스로부터 에너지가 공급되지 않는 한). 이러한 압력의 상수 합을 전체 압력 ptot라고도 합니다. 베르누이 방정식을 적용하면 유선형을 따라 움직이는 모든 유체 요소를 항상 상상할 수 있습니다. 그런 다음 베르누이 방정식은 이 유선형에서 임의의 두 점의 상태를 연결합니다.

베르누이 방정식은 유선을 따라 정압, 동압, 정수압의 합이 일정하다는 것을 나타냅니다. 이 형태에서는 외부 에너지 공급 없이 마찰이 없고(비점성) 비압축성 흐름에만 적용됩니다.

유체의 점도(내부 마찰)로 인해 마찰이 완전히 없는 흐름은 없습니다. 실제로 이는 에너지 소산을 의미하며 추가적인 (정적) 압력 손실과 관련이 있습니다. 이에 대해서는 나중에 자세히 설명하겠습니다.

중요사항

베르누이 방정식은 (부피별) 에너지 방정식이라는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 이는 방정식(\ref{1})에서 방정식(\ref{2})으로의 단계에 기인하며, 여기서 다양한 형태의 에너지(압력 에너지, 운동 에너지 및 중력 위치 에너지)가 유체 부피 ΔV와 관련되어 있습니다. 압력 으로 표시 베르누이 방정식에 나타나는 개별 항은 각각 압력의 차원을 갖기 때문에 형식적인 성격을 띠고 있습니다. 그러나 항상 명심해야 할 점은 이러한 압력 에너지를 기반으로 합니다.

그렇지 않으면 압력을 "단위 면적당 힘"으로 해석하는 것이 특히 동적 압력의 경우 오해를 불러일으키는 경우가 많습니다. 이러한 해석으로는 유속이 증가할 때 정압이 감소하는 이유를 이해하기가 매우 어렵습니다. 높은 유속은 큰 "힘"을 의미하고 따라서 높은 압력을 의미한다고 잘못 가정하는 경우가 많습니다.

그러나 에너지로 해석하면 운동 에너지의 증가는 압력 에너지를 희생해야만 일어날 수 있다는 것이 즉시 명백해집니다. 결과적으로 유속이 증가하면 정압이 감소합니다! 이 현상은 벤투리 효과라고도 하며 링크된 기사에서 더 자세히 설명됩니다.

실제로 정수압이라는 용어는 이 맥락에서는 물기둥의 정수압에서 알려진 것과는 다르게 이해되어야 합니다. 베르누이 방정식에서 정수압은 '단위 면적당 힘'으로 해석되어서는 안 됩니다. 베르누이 방정식과 관련하여 높이에 대해 선택한 기준 레벨에 따라 모든 정수압이 흐름의 한 지점에 할당될 수 있습니다. 그러나 단순히 다른 기준 수준을 선택했다고 해서 유체에 작용하는 힘이 바뀌는 것은 아닙니다.

이 경우 정수압은 다시 에너지, 즉 단위 부피당 존재하는 중력 위치 에너지로 해석됩니다. 이 중력 위치 에너지는 선택한 기준 레벨에 따라 달라지며 이에 따라 정의되는 정수압도 달라집니다.

손실을 고려한 확장 베르누이 방정식

압력은 (부피별) 에너지의 한 형태이므로 에너지 손실은 필연적으로 압력 손실을 의미합니다. 이러한 압력 손실은 모든 유체가 일정한 점도를 갖고 있기 때문에 발생합니다. 소위 미끄럼 방지 상태로 인해 파이프 벽의 유체 층이 파이프 벽에 달라붙습니다. 따라서 유체가 흐르려면 더 안쪽에 있는 층이 서로 반대 방향으로 변위되어야 합니다. 이로 인해 내부 마찰이 발생합니다. 이는 궁극적으로 에너지 손실과 그에 따른 압력 손실을 의미합니다(Poiseuille 흐름 참조).

난류로 인해 난류 흐름에서는 추가 에너지 손실이 발생합니다. 여기서는 파이프 벽의 거칠기가 중요한 역할을 합니다. 유량 손실 및 이에 따른 압력 손실은 밸브, 파이프 벤드, 리듀서 등과 같은 파이프 시스템의 구성 요소에서도 발생합니다. 자세한 내용은 파이프 시스템의 압력 손실 문서에서 확인하세요.

따라서 고려되는 흐름 섹션의 입구와 출구 사이에서 밀어낸 에너지 W2와 밀어낸 에너지 W1의 차이로 제공되는 흐름의 추진 에너지는 중력에 대항하여 흐름을 가속하고 들어올릴 뿐만 아니라 마찰을 보상해야 합니다. 따라서 방정식(\ref{a})은 에너지 손실 항 ΔWloss로 확장되어야 합니다.

\begin{정렬}
&\boxed{W_1 – W_2 =\Delta W_\text{b} + \Delta W_\text{h} + \Delta W_\text{손실}} \\[5px]
\end{정렬}

따라서 방정식(\ref{1})은 다음과 같은 일반적인 형식을 갖습니다.

\begin{정렬}
&\underbrace{p_1 {\Delta V} – p_2 {\Delta V}}_{\text{압력 에너지}} =\underbrace{\frac{1}{2} \rho {\Delta V} v_2^2 – \frac{1}{2} \rho {\Delta V} v_1^2}_{\text{운동 에너지}} + \underbrace{\rho {\Delta V} g h_2 – \rho {\Delta V}g h_1}_{\text{중력 퍼텐셜 에너지}} + \underbrace{\Delta W_\text{손실}}_{\text{에너지 손실}}\\[5px]
\end{정렬}

이 방정식을 유체량 ΔV로 나누면 에너지 손실을 고려한 확장된 베르누이 방정식이 제공됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 + \Delta p_\text{손실}}~~~\text{where}~~\boxed{\Delta p_\text{손실} =\frac{\Delta W_\text{손실}}{\Delta V}} \\[5px]
\end{정렬}

Wloss/ΔV라는 용어는 단위 부피당 에너지 손실에 해당하므로 압력 손실 Δploss를 나타냅니다. 이러한 압력 손실은 기본적으로 정압에서만 눈에 띕니다. 왜냐하면 동압과 정수압은 유속과 높이에 의해 미리 결정되기 때문입니다. 이 압력 손실로 인해 하류의 정압 p2가 감소합니다.

\begin{정렬}
&p_2 =p_1 + \frac{1}{2} \rho \left(v_1^2-v_2^2\right) +\rho g (h_1-h_2) \color{red}{- \Delta p_\text{손실}} \\[5px]
\end{정렬}