Hagen-Poiseuille 방정식:파이프 흐름의 유도 및 적용

Hagen-Poiseuille 방정식은 비압축성 뉴턴 유체의 마찰 층류 파이프 흐름의 포물선 속도 프로파일을 설명합니다.

흐름의 구동 및 저항

파이프를 통한 유체의 흐름은 자연과 기술에서 많은 경우에 매우 중요합니다. 예를 들어, 화학 산업에서는 파이프를 통해 운반되는 액체를 처리해야 하는 경우가 많습니다. 특히 반응 파트너의 올바른 혼합과 관련하여 공급되는 체적 유량이 중요한 역할을 합니다. 펌프에 의해 생성된 압력과 파이프 직경을 기준으로 유량을 결정하는 것이 가장 중요합니다.

흐름은 기본적으로 압력이 높은 지점에서 압력이 낮은 지점으로 유체를 밀어내는 압력 차이로 인해 발생합니다. 따라서 파이프를 따라 흐름 방향으로 영구적으로 감소하는 압력이 형성됩니다. 파이프의 특정 길이에 걸쳐 이 압력 강하가 클수록 유체가 파이프를 통해 흐르는 속도가 빨라지고 유량도 커집니다. 따라서 흐름의 추진력은 압력 구배 dp/dx, 즉 단위 길이당 압력 강하입니다.

파이프 내 흐름의 원동력은 압력 구배입니다!

이 구동은 유체와 파이프 사이 및 유체 자체 내에서 작용하는 유체의 마찰력에 의해 상쇄됩니다. 이는 유체의 점도로 인해 발생합니다.

흐름에 대한 저항은 유체의 점도로 인해 발생합니다!

파이프의 층류 흐름은 압력이라는 두 힘을 바탕으로 수학적으로 설명할 수 있습니다. 추진력과 마찰력 저항으로. 다음에서는 속도 프로필 및 체적 유량 이러한 마찰적인 파이프 흐름이 파생됩니다.

체적요소에 작용하는 압력

원통형 유체 요소(유체 소포 ) 반경 r이 고려됩니다. 힘은 파이프의 전체 단면에 걸쳐 일정한 것으로 간주되는 이 볼륨 요소의 끝면에 작용합니다. 이러한 힘은 체적 요소의 면에 작용하는 유체의 압력으로 인해 발생합니다. x1 지점에서는 압력 p가 작용하고 x2 지점에서는 dp<0만큼 낮은 압력이 작용합니다. 그 결과 아래와 같은 힘이 발생합니다:

\begin{정렬}
&F_{\text{p}_1} =p \cdot \pi r^2 \\[5px]
&F_{\text{p}_2} =\left(p+\text{d} p\right) \cdot \pi r^2 \\[5px]
\end{정렬}

서로 다른 압력이 유체를 움직이게 하는 체적 요소의 합력 Fp는 두 힘의 차이로 인해 발생합니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&F_\text{p}=F_{\text{p}_1} – F_{\text{p}_2} \\[5px]
&F_\text{p} =p \cdot \pi r^2 – \left(p+\text{d} p\right) \cdot \pi r^2 \\[5px]
&F_\text{p} =\cancel{p \cdot \pi \cdot r^2 } – \cancel{p \cdot \pi \cdot r^2 }- \text{d} p \cdot \pi r^2 \\[5px]
\라벨{fp}
&\boxed{ F_\text{p} =-\pi r^2 \cdot \text{d} p} \\[5px]
\end{정렬}

따라서 흐름의 원동력은 압력 강하에 의해서만 발생합니다. (머리 손실이라고도 함) ) 절대적인 압력이 아닙니다! 압력이 양의 축 방향을 따라 감소하는 경우 압력 강하 dp는 음의 값이므로 결과적인 힘은 양의 축 방향을 따라 작용합니다.

체적요소에 작용하는 마찰력(점도)

원칙적으로 파이프 내부의 흐름 속도는 단면에 걸쳐 일정하지 않습니다. 유체와 파이프 사이에는 마찰이 있으므로 유속 벽 근처가 파이프 중앙보다 낮습니다. 벽에서는 접착력으로 인해 유체가 벽에 달라붙습니다. 따라서 유체와 벽 사이에는 상대 속도가 없습니다. 이는 미끄러짐 방지 조건이라고도 합니다. . 그러나 개별 유체층은 유체의 점성으로 인해 서로 마찰을 일으키기도 합니다. 이는 특정 속도 프로파일의 형성으로 이어지며 그 과정은 아직 결정되지 않았습니다. 그러나 유속은 파이프 중앙에서 최대이고 벽까지 가면 0으로 떨어진다는 점에 유의해야 합니다.

개별 유체 층을 서로 전단시키는 데 필요한 극복해야 할 유동 저항은 유체의 점도에 따라 달라집니다. 유동 저항은 전단 응력으로 표현됩니다. τ, 즉 유체층을 이동하는 데 필요한 단위 면적당 힘입니다. 이 전단 응력은 유체 층이 서로 얼마나 변위되었는지에 따라 달라집니다. 이는 흐름 방향에 수직인 속도 구배, 즉 반경 방향 dv(r)/dr의 속도 프로파일 기울기(전단율이라고도 함)로 표현됩니다. ). 두 양 사이의 수학적 관계는 점도 eta(뉴턴의 유체 운동 법칙)로 설명됩니다. ):

\begin{정렬}
\라벨{vis}
&\boxed{\tau=\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r}} \\[5px]
\라벨{sch}
&\boxed{\tau:=\frac{F}{A}} ~~\text{ 전단 응력} \\[5px]
\end{정렬}

작용하는 압력으로 인해 이전 섹션에서 파생된 구동력은 고려하는 체적 요소와 주변 유체 사이의 마찰력과 반대됩니다. τ를 면적 관련 힘으로 사용하면 이 마찰력 Ff는 원통형 볼륨 요소 2π⋅r⋅dx의 측면 표면적을 사용하여 결정될 수 있습니다. 전단 응력 τ는 방정식 (\ref{vis})에 따라 점도와 속도 구배로 다시 제공됩니다. 마찰력에 대해서는 다음과 같습니다:

\begin{정렬}
&F_\text{f}=\tau \cdot \text{d}A =\tau \cdot 2 \pi r \cdot \text{d}x \\[5px]
\라벨{fr}
&\boxed{F_\text{f}=\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r} \cdot 2 \pi r \cdot \text{d}x} \\[5px]
\end{정렬}

속도 프로필

시간이 지나도 흐름 속도가 더 이상 변하지 않는 정상 흐름의 경우 고려 중인 체적 요소에 힘의 균형이 적용됩니다. 따라서 압력(\ref{fp})과 반대 마찰력(\ref{fr})은 동일할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&F_\text{f}=F_\text{p} \\[5px]
&\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r} \cdot 2 \cancel{\pi r} \cdot \text{d}x =– \pi r^\cancel{2} \cdot \text{d} p \\[5px]
&\boxed{\frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r}=– \frac{1}{2\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r} \\[5px]
\end{정렬}

방정식의 왼쪽은 반경 방향 흐름의 속도 구배, 즉 속도 프로파일의 기울기(미분)를 나타냅니다. 오른쪽에는 축 방향의 압력 구배와 유체의 점도가 있습니다. 두 수량 모두 반경의 함수가 아닙니다. 따라서 속도 프로파일의 미분은 선형 함수입니다. 따라서 실제 속도 프로파일은 포물선형입니다!

정확한 속도 프로파일 v(r)은 위 방정식을 통합하여 얻습니다.

\begin{정렬}
&v(r)=\int -\frac{1}{2\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r ~~\text{d}r \\[5px]
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r^2 + C \\[5px]
\end{정렬}

적분 상수 C는 r=R에서 파이프 벽의 유속이 0이라는 경계 조건(미끄럼 방지 조건)으로부터 얻을 수 있습니다.

\begin{정렬}
&v(r=R)\overset{!}{=}0 \\[5px]
&-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2 + C =0 \\[5px]
&\underline{C =\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2} \\[5px]
\end{정렬}

이 상수를 위의 방정식에 대입하면 최종적으로 다음과 같은 속도 프로파일이 얻어집니다.

\begin{정렬}
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r^2 +\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2 \\[5px]
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left(R^2-r^2\right) \\[5px]
\라벨{vr}
&\boxed{v(r)=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} \\[5px]
\end{정렬}

최대 유속

최대 유속 vmax는 파이프 중앙에 있습니다. r=0에 대한 위의 방정식을 풀어서 결정할 수 있습니다:

\begin{정렬}
&v_{\text{최대}}=v(r=0) \\[5px]
&v_{\text{최대}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{0}{R}\right)^2\right] \\[5px]
\라벨{최대}
&\boxed{v_{\text{max}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\end{정렬}

따라서 최대 속도는 방정식(\ref{vr})에서 직사각형 괄호 앞의 표현식에 해당하므로 속도 프로파일은 다음 공식으로 나타낼 수도 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{vrr}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} ~~\text{and}~~~\boxed{v_\text{max}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x}} \\[5px]
\end{정렬}

유속이 벽에서 파이프 중심까지 포물선형으로 증가한다는 이 방정식은 하겐-푸아셰유 방정식이라고도 알려져 있습니다. . 이 방정식을 도출할 때 점도는 전단 속도와 무관하므로 반경의 함수가 아니라고 가정했습니다. 결과적으로 이 방정식은 점도가 항상 일정한 소위 뉴턴 유체에만 적용됩니다. 또한, 방정식의 타당성을 위해서는 층류를 가정해야 하며, 그렇지 않으면 점도가 실제 의미를 잃습니다.

마찬가지로, 파이프 직경에 비해 유체의 점도가 상대적으로 낮으면 Hagen-Poiseuille 법칙은 그 타당성을 잃습니다. 이 점 역시 명확하게 이해될 수 있습니다. 이를 위해 우리는 반경이 2.5mm인 파이프를 상상합니다. 6미터. 물은 최대 유속으로 이 파이프를 통해 흐릅니다. 6m/초. Hagen-Poiseuille 방정식에 따르면 벽에서 10cm 떨어진 곳에서는 유속이 20cm/s에 불과해야 합니다. 경험에 따르면 파이프 벽에서 상대적으로 먼 거리에서 유속이 훨씬 더 높아야 합니다(폭이 넓은 강의 유속과 비교하면 둑에서 상대적으로 짧은 거리에서도 거의 최대가 됩니다).

그러나 생각 속에서 훨씬 더 점성 있는 꿀이 파이프를 통해 흐르게 된다면, 벽 근처의 상대적으로 낮은 유속은 갑자기 더 이상 그렇게 비현실적이지 않을 것입니다. 점도가 높으면 파이프 전체 단면의 흐름에 영향을 미치는 반면, 점도가 매우 낮은 유체는 상대적으로 작은 경계 영역에서만 흐름에 영향을 미치고 더 이상 전체 단면을 덮지 않습니다(경계층 항목 참조). 간단히 말해서 Hagen-Poiseuille 법칙은 점도가 전체 흐름 단면에 영향을 미칠 수 있는 경우에만 적용됩니다. 이는 직경에 비해 점도가 너무 낮지 않다고 가정한 것입니다.

Hagen-Poiseuille 방정식은 직경에 비해 길이가 긴 파이프에서 뉴턴 유체의 마찰 층류 흐름에 대한 포물선 속도 프로파일입니다! 따라서 흐름 자체를 Poiseuille 흐름이라고도 합니다.

짧은 파이프에 대한 Hagen-Poiseuille 방정식의 한계

이미 설명했듯이 파이프의 시작과 끝 사이의 압력 강하는 흐름의 원동력입니다. 그러나 파이프 길이에 걸쳐 형성되는 압력 구배에는 말하자면 두 가지 작업이 있습니다. 압력 강하는 유체가 흐르는 동안 마찰력을 보상해야 할 뿐만 아니라 먼저 특성적인 흐름 프로필을 달성하기 위해 유체를 가속해야 합니다.

따라서 전체 압력 강하는 유체를 가속시키기 위해 사용되는 부분과 마찰을 보상하기 위해 사용되는 부분으로 나눌 수 있습니다. 처음에 이미 설명했듯이 위 방정식에서 압력 구배 dp/dx는 마찰을 극복하는 데 필요한 전체 압력 구배의 해당 부분만을 나타냅니다.

이 압력 구배를 결정하려면 단순히 파이프의 시작 부분과 끝 부분 사이의 압력 차이를 구한 다음 이를 파이프 길이로 나누어서는 안 됩니다. 이것이 바로 위의 방정식이 항상 포물선 흐름 프로파일이 이미 완전히 확립되었다고 암묵적으로 가정하는 파이프 섹션을 참조하는 이유입니다.

Hagen-Poiseuille 방정식은 파이프 입구(입구 흐름)에는 적용되지 않으며, 파이프 입구 내에서 압력 구배는 마찰을 극복하는 것 외에도 유체를 일반적인 포물선 프로파일로 가속해야 합니다!

그럼에도 불구하고 특정 상황에서는 압력 강하와 파이프 길이의 몫으로부터 위 방정식의 압력 구배를 간단히 결정하여 흐름을 설명하는 것이 타당할 수 있습니다. 즉, 가속 작업이 마찰 작업에 비해 무시할 수 있을 때마다 발생합니다. 파이프가 직경에 비해 상대적으로 길거나 유속이 상대적으로 낮은 경우 항상 그렇습니다. 그러한 경우, 마찰 일은 일반적으로 긴 파이프 길이로 인해 상대적으로 낮은 가속 일보다 확실히 더 큽니다.

그러나 상대적으로 짧은 파이프의 경우 유체를 가속하는 데 필요한 압력 강하 부분은 더 이상 무시할 수 없습니다. 이러한 경우 포물선 속도 프로파일은 짧은 파이프 내에서 완전히 전개될 수 없습니다. 이 경우 Hagen-Poiseuille 방정식은 더 이상 유효하지 않습니다(포물선 속도 프로파일 없음). 이 주제에 대한 자세한 내용은 Hagen-Poiseuille 법칙의 에너지 분석 기사에서 확인할 수 있습니다.

Hagen-Poiseuille 방정식은 직경에 비해 길이가 상대적으로 큰 긴 파이프에만 유효합니다.

체적유량

이제 속도 프로파일이 알려져 있으므로 이제 파이프 단면에 따라 체적 유량을 결정할 수 있습니다. 유량을 도출하기 위해 파이프 중심으로부터 임의의 거리 r에 있는 극소 두께 dr을 갖는 링을 고려합니다. 고려되는 링의 면적 dA는 링의 "길이" 2π⋅r(원주)와 링의 "높이" dr(두께)에서 파생될 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{q}
&\text{d}A =2\pi r \cdot \text{d}r \\[5px]
\end{정렬}

거리 r에서 이 링을 통해 유체가 흐르는 속도는 방정식(\ref{vr})으로 제공됩니다. 시간 dt 내에서 유체는 거리 dx=v(r)⋅dt를 커버합니다. 따라서 액체는 부피 dV를 차지하며 그 결과 유량 dV*가 발생합니다.

\begin{정렬}
&\text{d}V =\text{d}A \cdot \text{d}x =2\pi r \cdot \text{d}r \cdot v(r) \cdot \text{d}t \\[5px]
&\text{d}V =-2\pi r \cdot \frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \cdot \text{d}r \cdot \text{d}t \\[5px]
&\text{d}\dot V =\frac{\text{d}V}{\text{d}t} =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[r-\frac{r^3}{R^2}\right] \cdot \text{d}r \\[5px]
\end{정렬}

전체 파이프를 통과하는 체적 유량 V*는 r=0에서 r=R까지의 한계 내에서 반경 r에 대해 이 방정식을 통합하여 최종적으로 얻습니다.

\begin{정렬}
&\dot V =\int\limits_{(A)}^{} \text{d} \dot V =\int\limits_0^R – \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[r-\frac{r^3}{R^2}\right] \cdot \text{d}r \\[5px]
&\dot V =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4R^2}\right\vert_0^R \\[5px]
&\dot V =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left(\frac{R^2}{2}-\frac{R^4}{4R^2}\right) =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \frac{R^2}{4} \\[5px] \\[5px]
\라벨{dv}
&\boxed{\dot V =– \frac{\pi R^4}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\end{정렬}

이 결과에서 특히 주목할 만한 점은 파이프 반경이 4승으로 유량에 영향을 미친다는 것입니다. 따라서 파이프 반경이 두 배로 늘어나면 체적 유량이 16배가 됩니다! 이 관계는 압력에 따라 부피가 변하지 않는 비압축성 유체에만 적용됩니다. 이전과 마찬가지로 뉴턴 유체의 층류를 가정해야 합니다.

유량의 방정식은 실제로 더 많은 의미를 갖습니다. 유량은 유체의 점도에 직접적으로 의존합니다. 따라서 유체의 점도는 유속으로부터 쉽게 결정될 수 있습니다. 모세관 점도계는 이 원리에 기초합니다.

비고

이 시점에서는 유속 공식에 따르면 실제로 혈류와 필요한 혈압에 막대한 영향을 미치는 정맥과 미세 혈관이 좁아지는 예가 참조됩니다. 그러나 이러한 맥락에서 보면 푸아세유가 실제로 혈액의 흐름을 좀 더 자세히 조사하기 위한 계기로 삼았음에도 불구하고 혈액은 오히려 부적절한 예입니다.

혈액은 뉴턴 유체가 아니라 전단 묽어지는(가소성) 유체입니다. 특히 매우 미세한 혈관의 경우나 혈관이 좁아진 경우에는 흐름 프로파일이 포아세유 흐름과 정반대입니다! 매우 가는 혈관에서는 혈액 세포가 커다란 마개 처럼 움직입니다. 전체 단면에 걸쳐 거의 일정한 유속을 유지합니다. 이를 플러그 흐름이라고도 합니다.

더욱이, 난류 흐름은 좁아지고 높은 유속에서 발생할 수 있으며, 이는 또한 거의 일정한 속도 프로파일로 이어집니다(난류 섹션 참조). ).

평균 유속

포물선 속도 프로파일을 사용하면 파이프 내부의 흐름에는 원칙적으로 특성 속도가 없습니다. 따라서 평균 유속 c는 종종 그러한 흐름을 특성화하기 위해 정의됩니다. 평균 유속은 실제 유속 프로파일과 동일한 유속을 제공하는 전체 단면에 걸쳐 일정한 속도로 정의됩니다. 내부 파이프 단면으로 A=π⋅R2를 사용하면 평균 유속 c는 체적 유속 V*에 의해 결정될 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{dvv}
&\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t} =\frac{A \cdot \Delta x}{\Delta t} =\pi R^2 \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} =\pi R^2 \cdot c \\[5px]
\end{정렬}

위의 도출에서는 이동 거리 Δx와 시간 Δt의 몫이 평균 유속과 일치한다는 것이 사용되었습니다. 방정식 (\ref{dvv})과 (\ref{dv})를 동일시하면 최종적으로 평균 유속 c가 제공됩니다.

\begin{정렬}
&\pi R^2 \cdot c =- \frac{\pi R^4}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \\[5px]
\라벨{c}
&\boxed{c =- \frac{R^2}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x}} ~~\text{평균 유속}\\[5px]
\end{정렬}

최대 유속 vmax와 평균 유속 c 사이에는 다음 관계가 적용됩니다.

\begin{정렬}
&\frac{c}{v_\text{최대}} =\frac{ – \frac{R^2}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} }{ -\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } =\frac{1}{2}\\[5px]
&\boxed{c =\frac{1}{2} \cdot v_\text{max}}
\end{정렬}

평균 유속은 파이프 중앙의 최대 유속의 절반입니다!

압력 손실

이미 설명했듯이, 상위 방정식의 압력 구배 dp/dx는 유체 흐름의 추진력을 나타냅니다. 방정식(\ref{dv})에 따르면 이는 유량에 직접적인 영향을 미칩니다. 반대로 이는 원하는 유량에 대해 압력 구배가 존재해야 함을 의미합니다. 이를 위해서는 궁극적으로 이러한 압력 구배를 생성하는 펌프가 필요합니다(이 시점에서는 양만 결정적이므로 음수 기호는 생략됩니다):

\begin{정렬}
&\frac{\text{d} p}{\text{d}x} =\frac{8\eta}{\pi R^4} \dot V \\[5px]
\end{정렬}

단위 길이당 압력 변화로 압력 구배를 정의하면 길이가 ΔL인 파이프 섹션에 필요한 압력 강하 Δpd는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{pv}
&\frac{\text{d}p}{\text{d}x} =\frac{\Delta p_d}{L} \\[5px]
&\Delta p_d =\frac{\text{d}p}{\text{d}x} \cdot \Delta L \\[5px]
&\밑줄{\Delta p_d =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V } \\[5px]
\end{정렬}

반면에 마찰 없는 흐름의 경우 유체 흐름을 유지하기 위해 정상 상태에서 그러한 압력 강하를 적용할 필요가 없습니다. 일단 움직이면 유체는 속도 손실 없이 파이프를 통해 흐릅니다. 따라서 압력의 적용은 압력 강하와 동일한 마찰 손실로 인해 발생합니다. 안정된 경우, 펌프에 의해 생성된 압력은 유체 흐름을 유지하기 위해 압력 손실을 완전히 보상해야 합니다. 따라서 위 공식은 파이프 길이 ΔL에 걸쳐 발생하는 압력 손실 Δpl과 같습니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V} ~~\text{압력 손실} \\[5px]
\end{정렬}

폼로드를 누르는 파이프를 보면 상황을 설명할 수 있습니다. 이를 밀어내려면 폼과 파이프 사이의 마찰력을 극복해야 합니다. 이를 위해서는 일정한 힘이 필요합니다. 그러나 파이프의 이쪽에서 가해지는 힘은 파이프 끝에 있는 두 번째 사람이 인지하는 힘과 일치하지 않습니다. 따라서 이 사람은 훨씬 낮은 힘을 측정합니다.

따라서 파이프라인의 끝 부분으로 갈수록 힘의 손실이 발생하며, 마찰이 클수록 파이프라인도 커집니다. 힘을 파이프의 단면적과 연관시키면 이는 궁극적으로 압력에 해당합니다. 따라서 파이프를 따라 압력 손실이 발생합니다. 일정한 속도의 정상 상태에서는 힘의 균형이 이루어지므로 마찰력으로 인한 압력 손실 Δpl은 폼이 통과하는 파이프의 시작 부분과 끝 부분 사이의 압력 차이 Δpd에 해당합니다.

위 방정식의 체적유량은 방정식(\ref{c})에 따라 평균유속으로 표현될 수도 있습니다. 따라서 평균 유속의 함수로서 압력 손실은 다음과 같습니다.

\begin{정렬}
&\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \cdot \overbrace{\pi R^2 \cdot c}^{\dot V} \\[5px]
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{R^2} \cdot c} ~~\text{압력 손실} \\[5px]
\end{정렬}

파이프를 따른 압력 손실은 층류의 평균 흐름 속도에 비례합니다! 이 관계는 더 이상 난류에 적용되지 않습니다.

설명된 압력 손실은 순전히 점도("점성 압력 손실")에 기초합니다. 이 압력 손실은 유체 흐름을 유지하기 위해 항상 펌프에 의해 적용되어야 합니다. 예를 들어 파이프 각도로 인해 발생하는 압력 손실은 위 공식에서 고려되지 않습니다. 그러나 방정식은 파이프 반경이 분명히 압력 손실에 큰 영향을 미친다는 것을 보여줍니다. 대형 파이프는 일반적으로 더 낮은(점성) 압력 손실로 이어집니다. 따라서 대형 파이프를 사용하면 동일한 체적 유량 V*에 대해 펌프 P의 기계적 출력을 크게 줄일 수 있습니다.

\begin{정렬}
&P =\Delta p_l \cdot \dot V =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V^2\\[5px]
&\boxed{P =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V^2}\\[5px]
\end{정렬}

난류 흐름에 대한 속도 프로파일

포물선 속도 분포는 층류가 존재하는 경우에만 파이프에 형성됩니다. 동일한 조건에서 흐름이 난류로 변하면 난류로 인해 파이프 중앙의 최대 유속이 낮아집니다. 그러나 동시에 난류로 인해 혼합이 증가하면 유체 입자 사이의 운동량 전달이 더 강해져 벽에 가까운 영역에서 유속이 더 강하게 증가합니다. 레이놀즈 수가 약 2300보다 큰 난류 유동의 경우, 소위 유동 지수 n을 사용하여 속도 프로파일을 설명하기 위해 다음 접근 방식이 자주 사용됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left(1-\frac{r}{R}\right)^\frac{1}{n}} ~~\text{난류}\\[5px]
\end{정렬}

다음 함수는 파이프 벽을 원점으로 하는 좌표계에 적용됩니다:

\begin{정렬}
&\boxed{v(z)=v_\text{max} \cdot \left(\frac{y}{R}\right)^\frac{1}{n}} ~~~~0 \end{정렬}

실제로 n=7이 흐름 지수로 선택되는 경우가 많습니다. 이는 1/7 거듭제곱 법칙이라고도 알려져 있습니다. (1/7 거듭제곱 법칙). 이 경우 평균 유속과 최대 유속 사이에는 다음 관계가 적용됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{c =0.817 \cdot v_\text{최대}} ~~\text{for } n=7\\[5px]
\end{정렬}

흐름 지수는 레이놀즈 수와 파이프 벽의 상대적 거칠기, 즉 파이프 표면 거칠기와 파이프 직경의 비율에 따라 달라집니다.

비고 :1/7 거듭제곱 법칙은 예를 들어 난류 경계층을 설명하는 데에도 사용됩니다. 결국 전체 파이프 흐름은 하나의 큰 경계층입니다.