기압 공식 유도:단열 대기 설명

단열 대기에 대한 기압 공식은 고도 증가에 따른 온도 감소와 기압에 대한 관련 영향을 고려합니다.

등온 대기의 기압 공식

등온 대기에 대한 기압 공식 기사에서 기압 공식은 일정한 온도를 가정하여 자세히 도출되었습니다. 따라서 여기서는 파생의 짧은 버전만 제공합니다.

공기층(항공 소포라고 함) ) 환경과 평형을 이루는 극소 두께 dh가 고려됩니다. 이 공기 소포는 공기 밀도가 ϱ인 임의의 고도 h에 위치합니다. 이 경우에는 모두 평형 상태에 있는 세 가지 힘을 다루고 있습니다. 첫째, 공기층 바닥면에 압력 p가 작용한다. 반면, 공기밀도가 감소함에 따라 위쪽에는 낮은 기압이 작용하게 됩니다. 압력은 dp 만큼 낮아집니다. 공기 덩어리 양쪽에 해당하는 힘은 압력과 기본 면적 A의 곱으로 결정될 수 있습니다. 세 번째 힘은 공기 덩어리의 무게 Fg입니다.

\begin{정렬}
F_b &=p \cdot A &\text{공기층 바닥에 힘} \\[5px]
F_t &=\left(p-\text{d} p \right) \cdot A &\text{공기층 상단의 힘 } \\[5px]
F_g&=A \cdot \text{d} h \cdot \rho \cdot g &\text{공기층의 무게} \\[5px]
\end{정렬}

따라서, 공기층(Ft) 상부의 공기압과 아래쪽으로 작용하는 중량(Fg)의 하향 힘은 공기층(Fb) 하부의 상향 힘과 균형을 이룬다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&F_b \overset{!}{=} F_g + F_t \\[5px]
&p \cdot \bcancel{A} =\bcancel{A} \cdot \text{d}h \cdot \rho \cdot g + \left(p-\text{d}p \right) \cdot \bcancel{A} \\[5px]
&\bcancel{p} =\text{d}h \cdot \rho \cdot g + \bcancel{p} – \text{d}p \\[5px]
&\text{d}p =\rho \cdot g \cdot \text{d}h \\[5px]
\end{정렬}

고도가 증가하면(dh>0) 압력이 감소하고 증가하지 않는다는 사실(dp<0)을 고려하기 위해 위 방정식에 음수 기호가 추가됩니다.

\begin{정렬}
\라벨{dp}
&\boxed{\text{d}p =- \rho \cdot g \cdot \text{d}h} \\[5px]
\end{정렬}

따라서 이 방정식은 고도 dh의 (미소) 변화와 그에 따른 압력 dp의 (미소) 변화 사이의 관계를 보여줍니다. 그러나 공기 밀도 자체가 압력의 함수라는 사실은 이 시점에서 다소 혼란스럽습니다. 압력이 높을수록 공기가 더 압축되고 밀도가 높아집니다. 따라서 밀도를 압력의 함수로 표현하는 것이 필요합니다. 공기를 이상기체로 생각한다면 이는 상대적으로 쉽습니다. 이상기체 법칙에 따르면 밀도는 온도 T(여기서 Rs는 특정 기체 상수를 나타냄)에 따른 압력과 관련됩니다.

\begin{정렬}
\라벨{이상적}
&p=R_s \cdot \rho \cdot T~~~~~\text{이상기체 법칙} \\[5px]
\라벨{로}
&\boxed{\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T }}\\[5px]
\end{정렬}

방정식 (\ref{dp})에 방정식 (\ref{rho})을 사용하면 (무한한) 고도 변화와 그에 따른 압력 변화 사이에서 최종적으로 다음 관계가 얻어집니다.

\begin{정렬}
\라벨{c}
&\boxed{\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h} \\[5px]
\end{정렬}

이제 압력 변화가 압력 자체에 의해 직접적인 영향을 받는다는 것이 즉시 명백해졌습니다. 기압이 낮을수록 기압 변화는 작아집니다(고도 dh의 변화가 동일하다고 가정). 따라서 고도가 증가함에 따라 기압은 덜 감소할 것이라고 가정할 수 있습니다. 고도에 따른 기압의 감소를 나타내면 결과적으로 점점 더 편평해지는 곡선을 얻게 됩니다. 기압 변화는 기압에 비례하므로 기하급수적인 기압 감소가 얻어집니다.

변수를 분리한 후 방정식(\ref{c})을 통합하여 이 곡선을 얻습니다. 적분은 일정한 온도를 가정합니다. 그 결과는 고전적인 기압 공식입니다(자세한 설명과 자세한 파생 내용은 링크된 기사 참조).

\begin{정렬}
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\frac{ \text{d}p }{p} =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\int_{p_0}^{p}\frac{ \text{d}p }{p} =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \int_{0}^h \text{d} h \\[5px]
&\left[\ln{\left(p\right)}\right]_{p_0}^p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \left[~h~\right]_{0}^{h}\\[5px]
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot {\left(h-0\right)}\\[5px]
&\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}=-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} \\[5px]
&\text{e}^{\Large{\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}}}=\text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} }}\\[5px]
&\frac{p}{p_0}=\text{e}^{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} }\\[5px]
\라벨{바}
&\boxed{p(h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T}}}} ~~~~~\text{등온 대기의 기압 공식} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식에서 p0는 기준 레벨("0 높이")의 압력을 나타내고 p는 기준 레벨 위의 높이 h에서의 압력을 나타냅니다.

기압 공식(단열 대기)에 대한 온도 변화의 영향

이미 언급한 바와 같이 방정식 (\ref{bar})에 따른 기압 공식은 일정한 온도 조건에서 유도되었습니다. 따라서 이 공식은 대기 온도가 고도에 따라 변하지 않는다고 가정하는 경우에만 유효합니다. 이러한 맥락에서 소위 등온 대기를 말합니다. .

"고전적인" 기압 공식은 등온 대기, 즉 고도가 높아져도 온도가 변하지 않는 조건에만 적용됩니다.

그러나 특히 고도의 큰 변화를 고려할 때 실습에 따르면 온도는 일정하게 유지되지 않고 일반적으로 고도가 증가함에 따라 감소합니다. 이러한 이유로 일반적으로 주변 계곡보다 높은 산이 더 춥습니다. 이는 무엇보다도 열에 의해 상부로 상승한 따뜻한 공기가 압력 감소로 인해 냉각된다는 사실에 기인할 수 있습니다. 이러한 현상은 스프레이 캔에서도 관찰할 수 있습니다. 가압된 가스는 주변으로 팽창할 때, 즉 더 낮은 압력으로 팽창할 때 상당히 냉각됩니다.

따라서 압력 프로파일을 보다 정확하게 설명하려면 온도 변화를 고려해야 합니다. 온도 변화를 모델링하기 위해 다음과 같은 공기 덩어리를 고려합니다. 공기 덩어리는 압력 감소로 인해 상승 및 팽창하고 결과적으로 냉각됩니다. 단순화를 위해 공기 덩어리는 환경에 어떤 열도 발산하지 않으며 열을 흡수하지도 않는다고 가정합니다. 그러므로 이는 단열 시스템이다. 이러한 맥락에서 소위 단열 대기에 대해서도 이야기합니다. .

고도 변화와 기온 변화(감률)의 관계

단열 상태 변화 중에 열이 전달되지 않는다고 해서 온도가 변하지 않는다는 의미는 아닙니다. 이 경우 온도 변화는 외부 열 전달이 아닌 상승 중 압력이나 부피의 변화에만 기인하므로 이에 따라 모델링이 단순화됩니다.

따라서 단열 시스템으로 간주되는 공기 덩어리의 경우 먼저 압력 변화(고도 변화와 연관됨)와 그에 따른 온도 변화 사이의 관계를 찾아야 합니다. 이러한 방식으로 온도 감소는 수학적으로 설명된 다음 기압 공식에 통합될 수 있습니다.

이를 위해서는 미분 표기법에 따른 열역학 제1법칙이 필요합니다. 이 방정식은 일 dW와 열 dQ의 (무한한) 공급이 내부 에너지 dU의 변화로 이어진다는 점을 나타냅니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\text{d}W + \text{d}Q =\text{d}U}~~~~~\text{열역학 제1법칙} \\[5px]
\end{정렬}

그러나 공기 덩어리가 단열된다고 가정하기 때문에 이 경우 정의에 따라 열이 전달되지 않습니다(dQ=0). 따라서 내부 에너지의 변화는 전적으로 작업에 의해 발생합니다.

\begin{정렬}
\라벨{erst}
&\text{d}U =\text{d}W~~~~~\text{단열 시스템에만 적용됩니다.} \\[5px]
\end{정렬}

작업은 압력 감소로 인해 공기 덩어리의 부피가 증가하기 때문입니다. 작용하는 기압에 대해 공기의 양을 늘리려면 일이 필요하므로 압력-체적 일이라고도 합니다. . 주어진 기압 p에서의 압력-부피 일은 부피 dV의 변화에만 의존합니다(아래 방정식의 음수 부호는 부피가 증가할 때 일은 기체에 의해 수행되므로 음수로 계산되어야 한다는 관례에서 비롯됩니다):

\begin{정렬}
\라벨{dw}
&\boxed{\text{d}W =– p \cdot \text{d}V}~~~~~\text{압력-부피 일} \\[5px]
\end{정렬}

방정식(\ref{erst})에 따르면 부피를 늘리는 데 필요한 에너지는 내부 에너지에서 얻어지며, 이는 질량이 m인 이상 기체의 경우 온도 변화 dT에만 의존합니다(cv는 특정 등방성 열 용량을 나타냄).

\begin{정렬}
\라벨{du}
&\boxed{\text{d}U =c_v \cdot m \cdot \text{d}T}~~~~~\text{내부 에너지 변화} \\[5px]
\end{정렬}

방정식 (\ref{du}) 및 (\ref{dw})를 방정식 (\ref{erst})에 사용하면 높은 고도에서 부피(dV>0)가 증가하면 온도(dT<0)가 직접적으로 감소하는 것을 볼 수 있습니다.

\begin{정렬}
&\text{d}W =\text{d}U \\[5px]
&c_v \cdot m \cdot \text{d}T =– p \cdot \text{d}V \\[5px]
\라벨{dt}
&\밑줄{\text{d}T =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \text{d}V } \\[5px]
\end{정렬}

부피, 압력 및 온도는 이상기체 법칙과 관련이 있으며, 이 경우 밀도가 아닌 공기 덩어리의 부피와 질량으로 표현됩니다. 이는 다음과 같은 관계로 이어집니다:

\begin{정렬}
\라벨{i}
&\boxed{p \cdot V =R_s \cdot m \cdot T}~~~~~\text{이상기체 법칙} \\[5px]
&T =\frac{p \cdot V}{R_s \cdot m} \\[5px]
\end{정렬}

따라서 온도는 압력 및/또는 부피 변화에 따라 변합니다. 우리의 경우 두 변수가 모두 변경됩니다. 따라서 곱의 법칙에 따르면 온도 dT의 미소한 변화는 압력 dp 또는 부피 dV의 변화와 관련됩니다("미분 형태의 이상 기체 법칙"):

\begin{정렬}
&\text{d}T =\frac{\text{d}p \cdot V}{R_s \cdot m} + \frac{p \cdot \text{d}V}{R_s \cdot m} ~~~~\text{미분 형태의 이상 기체 법칙} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식을 부피 dV의 변화에 대해 풀면 방정식(\ref{dt})에 사용할 수 있습니다:

\begin{정렬}
&\text{d}T =\frac{\text{d}p \cdot V}{R_s \cdot m} + \frac{p \cdot \text{d}V}{R_s \cdot m} \\[5px]
&R_s \cdot m \cdot \text{d}T =\text{d}p \cdot V + p \cdot \text{d}V \\[5px]
&\밑줄{\text{d}V=\frac{ R_s\cdot m\cdot\text{d}T}{p}- \frac{\text{d}p\cdot V}{p} } \\[5px]
\end{정렬}

방정식(\ref{dt})에서 이 방정식을 사용하면 극소 압력 변화 dp와 관련 온도 변화 dT 사이에 다음 관계가 얻어집니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&\text{d}T =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \color{red}{\text{d}V} =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \color{red}{\left( \frac{ R_s\cdot m\cdot\text{d}T}{p}- \frac{\text{d}p\cdot V}{p} \right) } \\[5px]
&\text{d}T =-\frac{R_s \cdot \bcancel{m} \cdot \text{d}T \cdot \bcancel{p}}{c_v \cdot \bcancel{m} \cdot \bcancel{p}}
+ \frac{\bcancel{p} \cdot \text{d}p \cdot V}{c_v \cdot m \cdot \bcancel{p}} \\[5px]
&\text{d}T =-\frac{R_s \cdot \text{d}T}{c_v}+\frac{\text{d}p \cdot V}{c_v \cdot m} \\[5px]
&\text{d}T \cdot c_v =-R_s \cdot \text{d}T+\frac{V}{m} \cdot \text{d}p\\[5px]
&\text{d}T \cdot (c_v+R_s) =\frac{V}{m} \cdot \text{d}p\\[5px]
\end{정렬}

이 시점에서 비등방성 열용량의 합을 사용할 수 있습니다. cv 및 특정 가스 상수 Rs는 비등압 열용량에 해당합니다. CP. 또한, 이상기체 법칙(\ref{i})에 따라 몫 V/m은 Rs⋅T/p 표현식으로 대체될 수 있습니다. 따라서 주어진 압력 p에서의 압력 변화 dp와 주어진 온도 T에서의 결과적인 온도 변화 dT 사이에는 다음 관계가 적용됩니다.

\begin{정렬}
&\text{d}T \cdot \underbrace{(c_v+R_s)}_{c_p} =\underbrace{\frac{V}{m}}_{ \frac{R_s \cdot T}{p} } \cdot \text{d}p\\[5px]
&\text{d}T \cdot c_p=\frac{R_s \cdot T}{p} \cdot \text{d}p \\[5px]
\라벨{zz}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{T} =\frac{R_s}{c_p} \cdot \frac{\text{d}p}{p}} \\[5px]
\end{정렬}

위 방정식(\ref{zz})은 압력 변화에 따른 온도 변화를 설명합니다. 그러나 이 경우 온도 변화는 압력 변화로 설명할 수 없고 고도 변화로 설명해야 합니다. 이를 위해서는 압력 변화 dp와 고도 변화 dh를 연결하는 방정식(\ref{c})이 필요합니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&\frac{\text{d}T}{T}=\frac{R_s}{c_p}\cdot\frac{\overbrace{-\frac{g}{R_S \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h}^{\text{d}p} }{p}\\[5px]
&\frac{\text{d}T}{ \bcancel{T}}=-\frac{ \bcancel{R_s} \cdot g \cdot \bcancel{p} \cdot \text{d}h}{c_p \cdot \bcancel{R_s} \cdot \bcancel{T} \cdot \bcancel{p}}\\[5px]
\라벨{grad}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{ \text{d}h } =-\frac{g}{c_p}}:=\Gamma ~~~~~\text{감률(온도 구배)} \\[5px]
\end{정렬}

이 형식에서 위의 방정식은 고도 변화 dh당 온도 변화 dT, 즉 단위 고도당 온도 감소(켈빈 단위)를 설명합니다. 이 표현은 온도 구배라고도 합니다. 또는 실률 Γ. 위의 방정식에서 알 수 있듯이 감률은 상수에서만 발생합니다. 따라서 단열 가정된 대기에서는 선형적인 온도 감소가 나타난다.

비열 용량이 cp=1005 J/(kg⋅K)인 건조한 공기의 경우 고도 100미터당 약 1 켈빈(1 °C)의 온도 감소가 발생합니다.

\begin{정렬}
&\Gamma =-\frac{g}{c_p} =-\frac{9,81 \frac{\text{N}}{\text{kg}} }{ 1005 \frac{\text{ J}}{\text{kg K}} } \대략 \underline{\underline{\frac{ – 1 \text{K}}{100 \text{ m}}}}\\[5px]
\end{정렬}

단열 대기를 가정하면 건조한 공기의 온도는 고도 100m당 약 1°C씩 선형적으로 감소합니다(건조 단열 감률이라고 함)!

기준 고도의 온도 T0를 알고 있는 경우 모든 고도 h에서의 온도 T는 다음 방정식에 따라 결정될 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{일}
&\boxed{T(h) =T_0 + \Gamma \cdot h} ~~\text{mit}~~~ \boxed{\Gamma=-\tfrac{g}{c_p}} \\[5px]
\end{정렬}

감률의 대체 도출

감율의 대안적 유도는 다음 방정식에 따라 압력과 온도를 연관시키는 단열 과정을 기반으로 합니다. γ는 열 용량 비율을 나타냅니다. :γ=cp/cv):

\begin{정렬}
&T_1^{\gamma } \cdot p_1^{1-\gamma} =T_2^{\gamma} \cdot p_2^{1-\gamma} \\[5px]
&\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{-\gamma } =\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1-\gamma} \\[5px]
\end{정렬}

방정식의 양변을 로그화하고 로그몫이 뺄셈으로도 쓸 수 있다는 사실을 이용하면 다음 방정식을 얻을 수 있습니다.

\begin{정렬}
&\ln\왼쪽[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{-\gamma}\right] =\ln\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1-\gamma}\right] \\[5px]
&-\gamma \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) =(1-\gamma) \cdot \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) \\[5px]
&-\gamma \cdot \left[\ln\left(T_2\right) – \ln\left(T_2\right) \right] =(1-\gamma) \cdot \left[ \ln\left(p_2\right) – \ln\left(p_1\right) \right] \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식은 최종적으로 다음 통합을 통해 얻을 수 있습니다.

\begin{정렬}
&-\gamma \cdot \int_{T_1}^{T_2} \frac{1}{T}~ \text{d}T=(1-\gamma) \cdot \int_{p_1}^{p_2} \frac{1}{p} ~ \text{d}p \\[5px]
\end{정렬}

이제 이 방정식의 양쪽 변을 도출하면 적분 기호를 간단히 생략할 수 있습니다. 이러한 방식으로 압력 변화와 그에 따른 온도 변화 사이에 다음과 같은 미분 관계를 얻을 수 있습니다.

\begin{정렬}
&-\gamma \cdot \frac{1}{T} ~\text{d}T =(1-\gamma) \cdot \frac{1}{p} ~ \text{d}p \\[5px]
\라벨{z}
&\boxed{ \frac{ \text{d}T }{T} ~ =\frac{\gamma-1}{\gamma} \cdot \frac{\text{d}p}{p} } \\[5px]
\end{정렬}

열용량 비율 γ=cp/cv의 정의를 사용하면 (γ-1)/γ 항은 특정 기체 상수 Rs 및 특정 등압 열용량 cp로 표현될 수도 있습니다.

\begin{정렬}
\frac{\gamma-1}{\gamma}&=\frac{\tfrac{c_p}{c_v} -1}{\tfrac{c_p}{c_v}} ~~\text{항을 곱하면}\tfrac{c_v}{c_v} \text{는 다음과 같이 됩니다.} \\[5px]
&=\frac{c_p-c_v}{c_p} ~~\text{사용 } c_p-c_c =R_s \text{는 다음으로 이어집니다:} \\[5px]
&=\frac{R_s}{c_p} \\[5px]
\end{정렬}

따라서 방정식 (\ref{z})에서 표현식 (γ-1)/γ를 Rs/cp 항으로 바꾸면 최종적으로 이전 섹션에서와 동일한 방정식을 얻게 됩니다. [방정식 (\ref{zz}) 참조]:

\begin{정렬}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{T} =\frac{R_s}{c_p} \cdot \frac{\text{d}p}{p}} \\[5px]
\end{정렬}

감율의 추가 도출은 이전 섹션의 도출과 동일합니다. 이를 위해 다시 방정식(\ref{c})에 따른 압력 변화가 위 방정식에 사용됩니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&\frac{\text{d}T}{T}=\frac{R_s}{c_p}\cdot\frac{\overbrace{-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h}^{\text{d}p} }{p}\\[5px]
&\frac{\text{d}T}{ \bcancel{T}}=-\frac{ \bcancel{R_s} \cdot g \cdot \bcancel{p} \cdot \text{d}h}{c_p \cdot \bcancel{R_s} \cdot \bcancel{T} \cdot \bcancel{p}}\\[5px]
\label{grad2}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{ \text{d}h } =-\frac{g}{c_p}} \\[5px]
\end{정렬}

감률에 대한 공기 습도의 영향

약 -1 K/(100m)의 온도 구배는 엄밀히 말하면 기체수를 포함하지 않는 건조한 공기에만 적용됩니다. 이것이 바로 이 온도 구배를 건조 단열 감률이라고도 부르는 이유입니다. .

그러나 공기에는 항상 일정량의 수분이 포함되어 있습니다. 즉, 공기 중에 기체 상태의 물(수증기라고 함)이 있습니다. ). 따라서 비열 용량 cp가 변하고 감률도 변합니다. 그러나 공기에는 약 1%의 수증기만 포함되어 있기 때문에 변경된 열용량이 감율에 미치는 영향은 무시할 수 있는 경우가 많습니다.

공기 덩어리에 포함된 수증기의 응축 가능성은 감율에 훨씬 더 큰 영향을 미칩니다. 온도가 낮아지면 기체상의 물 일부가 결국 응축되어 다시 액체가 됩니다. 차가운 공기가 보류될 수 있기 때문입니다. 따뜻한 공기보다 물이 적습니다. 20°C에서 공기 1입방미터에는 최대 약 17g의 수증기가 포함되어 있습니다. 그러나 -20°C에서는 약 1g에 불과합니다.

고도가 높아짐에 따라 온도가 떨어지면 상승하는 공기 덩어리가 더 이상 완전히 저장될 수 없습니다. 그 안에 들어있는 물. 이로 인해 물이 응축되고 액체 물방울이 과포화 공기 덩어리에서 침전됩니다. 이 상태에서 공기 온도는 이슬점과 정확히 일치합니다.

물의 응축과 구름의 형성을 매우 잘 관찰할 수 있습니다. 응축이 발생하여 구름이 형성되는 고도를 구름층이라고도 합니다. . 구름 기저가 위치한 고도는 환경과 기상 조건에 따라 크게 달라집니다. 예를 들어, 구름 밑바닥은 고도 3km에서 형성될 수 있지만 구름은 지면 바로 위에 형성될 수도 있습니다. 이 현상을 안개라고 합니다. .

열역학적 관점에서 볼 때 구름의 형성은 중요한 현상을 동반합니다. 응축열(잠열이라고도 함) ) 물이 응축되는 동안 방출되어 공기 냉각을 방해합니다. 따라서 구름 밑면 위에서 상승하는 공기 덩어리는 구름 밑면 아래만큼 냉각되지 않습니다. 결과적으로, 응결 중 감율은 구름이 형성되지 않은 경우보다 낮습니다. 결과적으로, 건조 단열 감률 간에 차이가 있습니다. (결로 없음) 및 습윤 단열 감률 (응축됨).

건조 단열 감률과 달리 습윤 단열 감률은 고도가 높아짐에 따라 수증기가 응결되는 현상을 고려합니다! 응축열 방출로 인해 습윤 단열 감률은 건조 단열 감률보다 낮습니다.

소위 표준 대기의 경우 , 습윤 단열 감률은 해발 처음 11km 동안 0.65°C/100m로 가정됩니다. 표준 대기에 대한 자세한 내용은 나중에 별도 섹션에서 다루겠습니다.

단열 대기에 대한 압력 프로파일

이제 고도에 따른 온도는 방정식 (\ref{th})에 따라 알려져 있으므로 방정식 (\ref{c})에서 압력 프로파일을 도출할 때 이 함수를 고려할 수 있습니다.

\begin{정렬}
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T(h)} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot \left(T_0 + \Gamma \cdot h \right)} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\frac{\text{d}p}{p} =-\frac{g}{R_s} \cdot \frac{\text{d} h}{ T_0 +\Gamma \cdot h } \\[5px]
\end{정렬}

이제 방정식의 양쪽을 해당 한계 내에서 통합할 수 있습니다. 하한은 기준 레벨, 즉 h0=0 및 p0을 나타냅니다. 상한은 압력 p가 결정되는 고도 h에 해당합니다.

\begin{정렬}
\라벨{p0}
&\boxed{\int_{p_0}^p~\frac{\text{d}p}{p} =-\frac{g}{R_s} \cdot \int_{h_0=0}^h\frac{\text{d} h}{T_0+\Gamma \cdot h}} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식의 왼쪽은 이미 알려진 표현식 ln(p/p0)을 산출합니다[방정식 유도(\ref{bar}) 참조]. 이 방정식의 오른쪽에 있는 적분을 풀려면 수학 공식 모음을 살펴보는 것이 도움이 됩니다. 분수의 분모에 있는 선형 함수의 경우 다음과 같은 부정 적분이 발생합니다.

\begin{정렬}
&\int \frac{\text{d}x}{b+a \cdot x} =\frac{1}{a} \cdot \ln\left(b+a\cdot x\right) \\[5px]
\end{정렬}

이제 이 방정식을 우리의 경우에 적용할 수 있습니다. x=h, b=T0 및 a=Γ인 경우 방정식 왼쪽의 적분(\ref{p0})에 대한 다음 해는 다음과 같습니다.

\begin{정렬}
\int_{0}^h\frac{\text{d} h}{T_0 +\Gamma \cdot h} &=\left[\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) \right]^h_0 \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) – \frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0\right) \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \left[ \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) -\ln\left(T_0\right)\right] \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(\frac{T_0+\Gamma \cdot h}{T_0}\right) \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right) \\[5px]
\end{정렬}

따라서 방정식(\ref{p0})은 다음과 같이 표현됩니다:

\begin{정렬}
\color{red}{\int_{p_0}^p~\frac{\text{d}p}{p}} &=-\frac{g}{R_s} \cdot \color{blue}{\int_{h_0=0}^h\frac{\text{d} h}{T_0 +\Gamma \cdot h}} \\[5px]
\color{red}{\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) } &=-\frac{g}{R_s} \cdot \color{blue}{ \frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right) } \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식은 먼저 양쪽에 지수 함수를 적용한 다음 다양한 로그 항등식을 사용하여 결과 방정식을 단순화하여 압력 p에 대해 풀 수 있습니다(예:eln(x)=x und \(\text{e}^{a \cdot b}=\left(\text{e}^{a}\right)^b\)):

\begin{정렬}
\text{e}^{\ln\left(\frac{p}{p_0}\right)} &=\text{e}^{-\frac{g}{R_s \cdot \Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)}\\[5px]
\frac{p}{p_0} &=\left(\text{e}^{\ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)} \right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }}\\[5px]
\frac{p}{p_0} &=\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
\라벨{ext}
&\boxed{p(h) =p_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }}}~~~\text{단열 대기에 대한 기압 공식} \\[5px]
\end{정렬}

위의 방정식은 선형 온도 프로파일(단열 대기)을 고려하여 기준 레벨보다 높은 높이 h에서의 압력을 제공합니다. 이 방정식에서는 감률 Γ가 음수로 사용된다는 점에 유의하세요. 감률은 K/m("미터당 켈빈") 단위로, 온도 T0는 켈빈 단위로 입력해야 합니다.

아래 그림은 등온 대기에 대한 기존 기압 공식과 단열 대기에 대한 확장된 기압 공식을 비교한 것입니다.

단열 대기에 대한 밀도 프로파일

단열 시스템을 가정하면 압력은 부피, 즉 밀도와 직접적으로 관련됩니다. 이러한 방식으로 밀도에 대한 기압 공식을 공식화할 수도 있습니다. 단열 과정의 경우 두 상태의 압력과 부피는 다음 방정식으로 서로 관련됩니다.

\begin{정렬}
&p \cdot V^\gamma =p_0 \cdot V_0^\gamma \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식에서 압력 p0와 부피 V0는 기준 높이에서 고려된 공기 덩어리를 나타내고 p와 V는 임의의 높이 h에서의 상태를 나타냅니다. 일정한 질량에서 – 공기 덩어리의 질량은 상승하는 동안 변하지 않습니다. – 부피와 밀도는 서로 반비례 관계에 있습니다(ϱ=m/V). 따라서 압력과 밀도 사이에는 다음 관계가 적용됩니다.

\begin{정렬}
&p \cdot \frac{1}{\rho^\gamma} =p_0 \cdot \frac{1}{\rho_0^\gamma} \\[5px]
&\frac{p}{\rho^\gamma} =\frac{p_0}{\rho_0^\gamma} \\[5px]
&p =p_0 \cdot \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma \\[5px]
\end{정렬}

압력에 대한 이 공식은 이제 방정식(\ref{ext})에 사용되며 밀도 ϱ에 대해 해결됩니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
p &=p_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\bcancel{p_0} \cdot \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma &=\bcancel{p_0} \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\frac{\rho}{\rho_0} &=\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{\gamma \cdot R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
\boxed{\rho(h) =\rho_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{\gamma \cdot R_s \cdot \Gamma }}} \\[5px]
\end{정렬}

공식적으로 밀도에 대한 공식은 지수에 의해서만 압력에 대한 공식과 다르며, 이 시점에서는 열용량 비율로 나뉩니다.

표준 대기

단열 대기에 대한 기압 공식은 소위 표준 대기 를 설명하는 데 사용됩니다. 고도 약 85km까지. 대기는 여러 층으로 나누어져 있으며, 각 층 내에서는 일정한 감율이 있다고 가정합니다.

출처:https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770009539.pdf

성층권의 온도 상승(약 20km에서)은 주로 오존층에 의한 UV 복사 흡수로 인해 발생합니다. 그런 다음 온도는 약 90km에서 다시 최저 약 -86°C로 떨어집니다. 100km에서 온도가 다시 급격히 상승하고 300km에서는 700°C를 초과하기도 합니다! 그 이유는 공기 밀도가 낮고 평균 자유 경로가 크기 때문입니다. 이를 통해 분자는 충돌 없이 장거리를 이동할 수 있습니다. 이는 상대적으로 높은 분자 속도로 이어져 온도가 높아집니다. 분자 수가 적기 때문에 고온에도 불구하고 가스와 관련된 내부 에너지는 매우 낮습니다. 그러므로 높은 온도에도 불구하고 아주 적은 양의 열만 전달되기 때문에 얼어 죽게 됩니다!

등온층의 압력을 설명할 때 단열 대기에 대한 기압 공식을 사용할 수 없습니다. 이 경우 감률은 0이지만 지수에서 분수의 분모입니다. 이에 대한 수학적 해결책은 없습니다. 이 경우 오류가 최소로 유지되도록 충분히 작은 감율을 가정하거나 등온 대기에 대한 "고전적인" 기압 공식을 사용해야 합니다.