토리첼리의 법칙:액체 토출 속도의 이해

토리첼리의 법칙(Torricelli의 정리)은 액체의 방출 속도가 액체 표면에서 탱크 입구까지 액체가 자유 낙하하는 것과 같다고 명시합니다.

유출속도(토출속도)

파생

정수압으로 인해 용기 안의 액체가 개구부를 통해 흘러나오는 속도를 결정하는 것은 비교적 쉽습니다. 이를 위해 우리는 물로 채워진 용기를 고려합니다. 바닥 근처에는 위쪽을 가리키는 구멍이 있습니다. 따라서 물은 우리가 알고 싶은 특정 속도로 위쪽으로 흐릅니다. 이 경우 다음 질문에 답해야 합니다. 에너지 보존 법칙을 위반하지 않도록 물이 흘러나올 수 있는 최대 속도는 얼마입니까?

대답은 다음과 같습니다. 물이 너무 강하게 흘러나와 제트기가 물 표면보다 높지 않을 수 있습니다(마찰을 무시함). 만약 그렇다면, 더 높은 용기에 이 제트가 채워질 수 있습니다. 이제 다른 더 높은 그릇을 채울 수 있습니다. 물은 사실상 저절로 위쪽으로 움직일 것입니다. 하지만 이는 에너지 보존 법칙에 위배됩니다. . 반대로, 물이 원래 수면보다 낮은 높이에 도달하면 에너지가 파괴됩니다.

따라서 에너지 관점에서 볼 때 물 입자의 운동 에너지(Wkin=½⋅m⋅vd2)는 기껏해야 위치 에너지(Wpot=m⋅g⋅h)로 완전히 변환될 수 있다는 것이 분명합니다. 높이 h는 개구부 위의 수면 높이(또는 수면 아래 개구부의 깊이)에 해당하고 m은 물 입자의 질량에 해당합니다. 따라서 오리피스에서 흘러나오는 유체의 속도는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
W_{L} &=W_{kin} \\[5px]
\bcancel{m} \cdot g \cdot h &=\frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v_d^2 \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
\라벨{tl}
&\boxed{v_d=\sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{정렬}

이 공식은 액체가 자유롭게 흘러나올 수 있는 조건에서만 유효하다는 점에 유의하십시오. 유출 중에 역압이 쌓이면 액체가 유출되는 것이 방지되므로 이 공식은 더 이상 유효하지 않습니다. 예를 들어, 유출되는 액체가 호스를 통해 닫힌 용기로 유입되는 경우가 이에 해당됩니다. 밀폐된 용기의 액체 수위가 상승함에 따라 용기 내부의 공기가 압축되고 역압이 형성됩니다. 그러면 유출 속도(방출 속도)는 방정식(\ref{tl})이 제안하는 것보다 낮습니다.

공식 해석

방정식에서 알 수 있듯이 구멍이 있는 용기에서 유체가 흘러나오는 속도는 입구와 액체 표면 사이의 높이 차이에만 의존합니다. 또한 개구부가 위를 향하는지, 아래를 향하는지, 옆을 향하는지 여부는 개구부에서 직접 측정되는 배출 속도와도 관련이 없습니다.

방정식(\ref{tl})은 또한 토출 속도가 액체의 밀도에 의존하지 않는다는 것을 보여줍니다! 마찰을 무시하면 용기에 어떤 액체가 들어있는지는 중요하지 않습니다. 밀도가 높은 액체의 정수압도 더 크기 때문에 처음에는 이것이 역설적으로 보입니다. 결과적으로, 더 밀도가 높은 액체가 더 큰 압력으로 개구부를 통해 압축되어 더 높은 높이에 도달한다고 생각할 수 있습니다. 압력이 더 높다는 사실은 완전히 정확하지만 이것이 바로 "무거운" 액체가 같은 높이에 도달하는 방법입니다!

이 해석은 또한 방정식 (\ref{tl})이 액체 표면의 침강 속도가 방출 속도에 비해 무시할 정도로 작은 경우에만 유효하다는 것을 분명히 합니다. 그렇지 않으면 물 표면의 입자는 위치 에너지뿐만 아니라 운동 에너지도 갖게 됩니다. 그런 다음 에너지 방정식에서도 이를 고려해야 합니다(나중에 자세히 설명).

토리첼리의 정리

그러나 방전 속도의 도출은 또 다른 흥미로운 해석을 가능하게 합니다. 이를 위해 우리는 용기 외부의 유출 과정을 고려하지 않고 내부 과정을 고려합니다. 물은 표면에서 아래쪽으로 흘러나온 다음 개구부 밖으로 흘러나옵니다. 따라서 우리는 개구부(기준 레벨) 위 높이 h에 질량 m인 소량의 액체를 고려합니다. 따라서 이 질량은 위치 에너지 Wpot=m⋅g⋅h로 할당될 수 있습니다. 개구부로 가는 도중에 이 위치에너지가 운동에너지로 변환됩니다. 개구부에서 운동에너지는 완전히 운동에너지 Wkin=½⋅m⋅vd2로 변환됩니다. 에너지를 동일시하면 방정식(\ref{tl})과 동일한 결과가 나옵니다.

현재 접근 방식에서는 표면에서 고려되는 수괴가 개구부로 자유 낙하한다고 가정합니다. 물 입자가 실제로 자유낙하하지 않더라도 에너지적인 관점에서는 여전히 동일합니다. 개구부에서 특정 질량이 유출될 때마다 물은 동일한 정도로 가라앉아야 합니다. 즉, 아래로 떨어지게 됩니다.

이러한 연속 과정은 불연속 과정으로도 생각할 수 있습니다. 손가락으로 입구를 닫는다고 상상해 보세요. 잠시 동안 배출구가 열려서 갑자기 소량의 물이 즉시 흘러나옵니다. 이로 인해 수위가 갑자기 떨어지게 됩니다. 자유낙하로 짧은 거리 동안 추락합니다. 그러므로 물이 작은 자유낙하를 많이 하면서 개구부 밖으로 흘러나올 때 액체 표면이 가라앉는 것을 상상할 수 있습니다.

구멍에서 흘러나오는 다량의 액체의 가상 자유낙하를 토리첼리의 법칙이라고도 합니다. 또는 토리첼리의 정리 .

통신 선박

방정식(\ref{tl})은 서로 다르게 채워진 용기가 서로 연결될 때 공통 액체 레벨이 발생하는 이유를 설명하는 데 사용될 수도 있습니다. 이는 선박 통신의 원리라고도 합니다. .

액체 수위가 낮은 용기는 다른 용기의 개구부로 간주될 수 있습니다. 물은 방정식 (\ref{tl})에 따라 속도 v로 이 구멍을 통해 흘러나옵니다. 그래서 물의 높이에 차이가 있는 한 물은 위로 흐릅니다. 더 이상 수위에 차이가 없을 때만 물이 흘러나오는 것을 멈춥니다. 그 이유는 배출 속도가 0이기 때문입니다. 이 경우에는 동일한 수위에 도달했습니다.

배수시간(배수시간)

액체가 탱크 밖으로 배출될 때 탱크를 완전히 비우는 데 시간이 얼마나 걸릴지에 대한 의문이 종종 제기됩니다. 예를 들어 욕조에 물이 가득 차 있을 때 그러한 경우가 있을 수 있습니다. 따라서 다음에서는 방전 시간을 결정하고자 합니다. 간단한 기하학적 컨테이너의 경우. 단순화하기 위해 출구 개구부의 높이(오리피스 직경)가 탱크의 충전 수준에 비해 작다고 가정합니다.

용기가 얼마나 빨리 배수되는지는 무엇보다도 액체가 얼마나 빨리 흘러나오는지에 따라 달라집니다. 결국 유출 속도가 높다는 것은 시간당 유출되는 질량이 크다는 것을 의미합니다. 방정식(\ref{tl})에 따르면 유출 속도는 수두 h(유량 깊이)에 따라 달라집니다. 처음에는 액위가 높을 때 단위 시간당 많은 양의 액이 탱크 밖으로 흘러나옵니다. 따라서 처음에는 레벨이 비교적 빨리 떨어집니다. 그러나 레벨이 떨어지면 배출 속도가 점점 더 감소하고 탱크의 배출 속도가 더 느려집니다.

일상생활과 기술에 대한 중요성

이 시점에서 이미 중요한 결론이 도출될 수 있습니다. 액체 수위가 높을수록 탱크를 더 빨리 비울 수 있습니다. 욕조에 누워 있으면 물이 더 빨리 빠지는 이유도 바로 이 때문입니다. 그 이유는 주변의 물을 대체하고 욕조에서 나올 때보다 물을 채우는 높이가 더 길어지기 때문입니다.

기술적인 측면에서 이는 매우 빠르게 배수해야 하는 탱크를 너비보다는 높이로 구축해야 함을 의미합니다. 이에 대한 간단한 대안은 호스를 사용하여 배출구를 최대한 낮게 배치하는 것입니다. 호스를 깊게 깔수록 물이 빨리 빠져나가고 배출시간이 짧아집니다.

연속 방정식(질량 보존)

배출 시간을 결정하는 것은 일반적으로 탱크의 모양에 따라 달라지므로 쉽지 않습니다. 그러나 기술적으로는 단면이 일정한 용기가 주로 사용됩니다. 이는 액체 레벨이 떨어지더라도 액체의 표면적이 일정하게 유지됨을 의미합니다. 예를 들어 식품 산업의 빗물통이나 음료수 탱크를 생각해 보세요. 욕조의 경우에도 물의 표면적은 높이에 따라 거의 변하지 않습니다(물이 거의 완전히 빠져나가는 끝 부분을 제외하고).

따라서 다음에서는 단면적 A가 항상 일정하게 유지되는 탱크를 고려합니다. 용기 바닥에서 액체는 단면적이 Ad인 구멍을 통해 흘러나옵니다. 우선 방출 속도 사이의 연관성을 찾아야 합니다. 탱크의 액체 양과 하강 속도 탱크의 액체 표면. 이는 구멍을 통해 흘러나오는 질량이 탱크 내부의 액체가 감소하는 질량과 정확히 일치한다는 간단한 조건에 의해 수행됩니다(질량 보존 ). 비압축성 유체의 경우 , 이는 탱크 내부의 액체 부피가 정확히 배출되는 부피만큼 감소한다는 것을 의미합니다.

이를 위해 임의의 헤드 h에서 매우 짧은 시간 ⋅Δt를 고려합니다. 액체는 일정한 속도 vd로 개구부를 통해 배수되므로 거리 Δs=vd⋅Δt를 커버합니다. 이제 구멍 Ad의 단면을 사용하여 배출된 액체량 ΔV를 결정할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{v1}
&\Delta V =\Delta s \cdot A_d =v_d \cdot \Delta t \cdot A_d \\[5px]
\end{정렬}

토출된 액체로 인해 탱크 내부의 액체 레벨이 저하됩니다. 고려된 기간 Δt) 내에서 하강 속도는 일정한 것으로 가정되고 v로 표시됩니다. 따라서 이 시간 내에 액체 수위는 거리 Δh=v⋅Δt만큼 떨어집니다. 따라서 탱크의 액체 부피는 위의 방정식과 유사한 ΔV만큼 감소합니다.

\begin{정렬}
\라벨{v2}
&\Delta V =\Delta h \cdot A =v \cdot \Delta t \cdot A \\[5px]
\end{정렬}

이미 언급한 질량 보존으로 인해 , 방정식 (\ref{v1})에 따른 배출 부피는 방정식 (\ref{v2})에 따라 용기에서 제거된 액체의 부피에 해당합니다. 따라서 두 방정식 모두 동일시될 수 있으며 방출 속도 사이의 관계는 다음과 같습니다. vd 및 하강 속도 v를 얻었습니다:

\begin{정렬}
\요구{취소}
&v \cdot \bcancel{\Delta t} \cdot A =v_d \cdot \bcancel{\Delta t} \cdot A_d \\[5px]
\레이블{k}
&\boxed{v =\frac{A_d}{A} \cdot v_d} ~~~~~\text{비압축성 물질의 연속 방정식} \\[5px]
\end{정렬}

방정식(\ref{k})은 연속 방정식이라고도 합니다. 궁극적으로 대량 보존을 설명합니다. 구체적으로 말하면, 단면적이 작을수록 액체가 더 빨리 흘러야 함을 의미합니다. 왜냐하면 동일한 질량이 같은 시간 내에 액체를 통과해야 하기 때문입니다. 이러한 점에서 탱크는 A에서 Ad로 단면이 가늘어지는 파이프 시스템으로 간주될 수 있습니다.

이 시점에서 높이에 걸쳐 일정한 컨테이너 단면적 A를 가정하는 것이 다음에서 훨씬 단순화되는 이유가 분명해집니다. 이는 하강 속도와 배출 속도가 충전 수준과 관계없이 항상 동일한 비율이기 때문입니다.

토리첼리의 법칙

하강 속도와 배출 속도 사이의 관계가 명확해지면 배출 속도가 헤드에 미치는 영향을 찾아야 합니다. Torricelli의 정리는 방정식(\ref{k})에서 직접 사용할 수 있는 방정식(\ref{tl})의 형태로 도움이 됩니다.

\begin{정렬}
\라벨{vv}
&\boxed {v =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh}} ~~\text{하강 속도} \\[5px]
\end{정렬}

이 시점에서 우리는 이미 설명된 내용을 수학적 형태로 볼 수 있습니다. 하강 속도는 액체 레벨에 따라 달라지며, 이는 다시 레벨 자체에 영향을 미치고 따라서 하강 속도에도 다시 영향을 미칩니다. 그러나 하강 속도는 액체 레벨의 변화율에 지나지 않습니다. 즉. 하강 속도는 시간 dt당 레벨 dh의 변화에 ​​해당합니다. 음수 부호는 양수 하강 속도에 따라 레벨이 감소함을 나타냅니다.

\begin{정렬}
&\boxed {v =– \frac{\text{d}h}{\text{d}t}} \\[5px]
\end{정렬}

두 방정식을 결합하면 최종적으로 다음과 같은 미분방정식을 얻게 됩니다. , 해결해야 할 문제:

\begin{정렬}
&-{\frac{\text{d}h}{\text{d}t} =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{정렬}

미분 방정식 풀기

계산을 보다 명확하게 하기 위해 미분 방정식의 상수 양이 상수 C)에 결합됩니다.

\begin{정렬}
&\boxed{-\frac{\text{d}h}{\text{d}t} =C \cdot \sqrt{h}} ~~\text{and } \boxed{C=\sqrt{2g} \cdot \frac{A_d}{A}}=\text{konstant} \\[5px]
\end{정렬}

이 미분 방정식을 풀려면 변수 h와 t를 분리하십시오. 즉. 변수 h에 종속된 모든 변수는 방정식의 한쪽에 나타나고 변수 t에 종속된 모든 변수는 방정식의 반대쪽에 나타납니다. 상수 C가 어느 쪽에 있는지는 중요하지 않습니다. 왜냐하면 두 변수 중 어느 것에도 의존하지 않기 때문입니다.

\begin{정렬}
&-\frac{\text{d}h}{ \sqrt{h}} =C \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{정렬}

이제 방정식의 양쪽을 독립적으로 적분할 수 있습니다. 통합 한계는 다음 사항을 고려한 결과입니다. 시간 0에서 머리는 H이고 다른 시간에는 머리가 h입니다.

\begin{정렬}
&-\int\limits_H^h \frac{\text{d}h}{ \sqrt{h}} =\int\limits_0^t C \cdot \text{d}t \\[5px]
&-\left[2\sqrt{h}\right]_H^h =C \cdot \left[ t \right]_0^t \\[5px]
&-2\left(\sqrt{h}-\sqrt{H}\right) =C \cdot t \\[5px]
&t =\frac{2}{C} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)\\[5px]
\end{정렬}

완전성을 기하기 위해 위 방정식에는 상수 C가 적용됩니다. 레벨 H에서 레벨 h까지 용기를 비우는 데 필요한 시간 t는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:

\begin{정렬}
&t =\frac{2}{ \underbrace{\sqrt{2g} \cdot \tfrac{A_d}{A}}_{=C} } \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)\\[5px]
\라벨{gl}
&\boxed{t =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{정렬}

탱크를 완전히 비우는 경우 h는 0이고 방출 시간은 t는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:

\begin{정렬}
&t_d =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{H}\\[5px]
&\boxed{t_d =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2H}{g}}} ~~\text{방전 시간} \\[5px]
\end{정렬}

비고

처음에는 동일한 충전량을 가진 높은 탱크가 넓은 탱크보다 배수 속도가 더 빠르다고 설명했습니다. 방전 시간을 계산하는 공식이 모순되는 것 같습니다. 이 방정식에 따르면 액체 레벨이 높을수록 방전 시간이 늘어납니다.

물론, 이는 동일한 충전량으로 충전량이 증가함에 따라 용기의 단면적이 감소하기 때문에 모순이 아닙니다. 예를 들어 단면적이 절반으로 줄어들면 머리가 두 배가 됩니다. 그러나 방전 시간을 계산할 때 양정은 제곱근으로 고려되지 않습니다. 머리를 두 배로 늘리면 이는 1.4배(=√2)에 해당합니다. 단면적을 절반으로 줄여 방전 시간을 0.7배(=√2⋅) 줄입니다. 0.5).

시간 경과에 따른 액체 수위 감소

시간의 함수로 액체 수위의 감소를 계산하려면 방정식(\ref{gl})을 액체 수위 h에 대해 재배열해야 합니다.

\begin{정렬}
t &=\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right) \\[5px]
\frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t &=\sqrt{H}-\sqrt{h} \\[5px]
\sqrt{h} &=\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \\[5px]
h &=\left(\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \right)^2 \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
&\boxed{h(t) =\left(\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \right)^2} \\[5px]
\end{정렬}

따라서 레벨은 시간이 지남에 따라 2차적으로 감소합니다. 포물선의 정점은 용기가 완전히 배출되는 시간에 해당합니다.

토출량 체적유량(유출율)

방정식(\ref{vv})에 따라 각 수두 h에 대한 토출 속도 v를 계산할 수 있습니다. 따라서 토출량의 체적유량을 계산하는 것도 가능합니다. V*(유출 속도라고도 함) 또는 방전율 ) 출구를 통해 흐르는 유체의. 체적 유량은 탱크에서 나오는 시간 Δt당 액체의 부피 ΔV입니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t}} ~~\left[\dot V \right] =\frac{\text{m³}}{\text{s}}~~~\text{방출 체적 유량} \\[5px]
\end{정렬}

방전율 V*는 방정식 (\ref{v1})을 재배열하여 이 정의에 따라 결정될 수 있습니다:

\begin{정렬}
&\델타 V =A_d \cdot v_d \cdot \델타 t \\[5px]
\라벨{vd}
&\frac{ \Delta V }{\Delta t} =\boxed{\dot V =A_d \cdot v_d} \\[5px]
\end{정렬}

마지막으로, 방정식 (\ref{tl})에 따른 방출 속도는 이제 방정식 (\ref{vd})에서 사용되어 수두의 함수로 방출 속도를 계산할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{dV}
&\boxed{\dot V =A_d \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{정렬}

하강 속도가 배출 속도에 미치는 영향

파생된 공식은 하강 속도가 배출 속도에 비해 무시할 정도로 작은 경우에만 적용된다는 것은 이미 알려져 있습니다. 그러나 특히 개구부가 크면 많은 양의 액체가 흘러나올 수 있습니다. 그러면 레벨이 비교적 빨리 떨어집니다. 토리첼리의 정리에 따르면 이는 더 이상 단순한 자유낙하가 아니라 초기 속도를 갖는 자유낙하입니다. 초기 속도는 현재 시간의 액체 레벨 하강 속도에 해당합니다.

에너지 관점에서 볼 때, 표면에 있는 액체의 고려된 양은 위치 에너지(m⋅g⋅h)뿐만 아니라 운동 에너지(½⋅m⋅v2)도 갖습니다. 이 일반적인 경우 배출 속도 vd에 대한 다음 공식은 다음과 같습니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&\bcancel{m} \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v^2 =\frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v_d^2 \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
&\boxed{v_d=\sqrt{v^2+2gh}} \\[5px]
\end{정렬}

액체 표면이 빠르게 가라앉을 때 토출 속도가 더 높아집니다. 유출되는 액체는 말하자면 액체 레벨의 강하로부터 추가 운동 에너지를 끌어옵니다. 물론 연속방정식 방정식(\ref{k})에 따르면 여전히 적용됩니다. 따라서 하강 속도 v와 방출 속도 vd는 이제 다음과 같은 방식으로 관련됩니다.

\begin{정렬}
&v =\frac{A_d}{A} \cdot v_d \\[5px]
&v =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{v^2+2gh} \\[5px]
\end{정렬}

하강 속도 v에 대한 이 방정식을 풀면:

\begin{정렬}
&\boxed{v =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{ 1- \left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2 }}} \cdot \frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{정렬}

이 공식을 하강 속도를 무시하여 얻은 공식 (\ref{vv})과 비교하면 두 공식은 빨간색으로 표시된 항만 다릅니다. 이 기하학적 항은 궁극적으로 개구부와 탱크의 단면적 비율에 의해서만 결정됩니다. 아래 그림은 이 용어의 과정을 비율의 함수로 보여줍니다. 개구부의 단면적이 컨테이너 단면적의 10%보다 작은 경우 이 계수는 1.005에 불과합니다. 하강 속도의 영향은 단면비 0.1 이하에서는 무시할 수 있습니다! 이는 많은 경우에 적용됩니다.

이것이 적용되지 않는 경우에는 이 요소를 고려해야 합니다. 따라서 이는 토출 속도 vd, 토출 시간 t 및 토출 유속 V*에 영향을 미칩니다(싱크율을 무시한 것에 비해 추가 항은 빨간색으로 표시됨).

\begin{정렬}
&\boxed{v_d =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}}} \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
&\boxed{\dot V =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}}} \cdot A_d \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
&\boxed{t =\color{red}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}} \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{정렬}

큰 구멍을 통한 배출

지금까지는 개구부의 크기가 헤드에 비해 작다고 가정했습니다. 이 가정은 측면 방전에 특히 유리합니다. 이는 전체 개구부에 걸쳐 (거의) 일정한 압력을 제공하므로 거의 일정한 배출 속도를 제공합니다. 반면에 개구부가 상대적으로 높으면 위쪽 가장자리의 정수압이 아래쪽 가장자리보다 낮습니다. 결과적으로 배출 속도도 개구부에 따라 다릅니다.

단순화를 위해 탱크 측면의 직사각형 배출 단면을 고려합니다(위 그림 참조). 개구부가 많은 작은 “슬롯”으로 구성되어 있다고 상상해 보십시오. 이러한 슬롯의 단면적 dAd는 슬롯 폭 b와 슬롯 높이 dh의 곱으로 인해 발생합니다. 깊이 h의 각 슬롯을 통과하는 각 체적 유량 dV*는 방정식(\ref{dV})에 따라 계산할 수 있습니다.

\begin{정렬}
&\text{d} \dot V =\text{d}A_d \cdot \sqrt{2gh} =b \cdot \text{d} h \cdot \sqrt{2gh} \\[5px]
&\text{d} \dot V =b \cdot \sqrt{2gh} \cdot \text{d}h \\[5px]
\end{정렬}

정의된 좌표계에 따르면, 이 방정식은 hu(개구의 상부 가장자리)와 hl(개구의 하부 가장자리)의 한계 내에서 통합되어 전체 개구를 통한 총 배출율 V*를 제공합니다.

\begin{정렬}
\dot V &=\int\limits_{h_u}^{h_l} b \cdot \sqrt{2gh} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\sqrt{2g} \cdot b \int\limits_{h_u}^{h_l} \sqrt{h} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\sqrt{2g} \cdot b \int\limits_{h_u}^{h_l} h^{\frac{1}{2}} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot |h^{\frac{3}{2}}| _{h_u}^{h_l} \\[5px]
&=\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot \left(h_u^{\frac{3}{2}} – h_l^{\frac{3}{2}} \right) \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
&\boxed{\dot V =\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot \left(\sqrt{h_l^3} – \sqrt{h_u^3} \right)} \\[5px]
\end{정렬}

표시된 깊이 hu 및 hl은 탱크 바닥이 아니라 액체 표면을 나타냅니다!

실제 배출과정

방출계수

탱크의 배출 과정에 대한 이론적 예측과 실제 측정을 비교하면 경우에 따라 매우 큰 차이가 발견될 수 있습니다. 실제로 탱크는 일반적으로 훨씬 더 천천히 배수됩니다.

따라서 방정식 (\ref{dV})에 따른 유출 유량은 실제로 더 낮습니다. 이상적인 방전율의 감소는 소위 방전계수로 고려될 수 있습니다. CD<1:

\begin{정렬}
&\dot V_{\text{실제}} =C_d \cdot V_{\text{이상적인}} \\[5px]
\레이블{t}
&\boxed{\dot V_\text{실수} =C_d \cdot A_d \sqrt{2gh} ~} ~~\text{및 } C_d <1 ~~\text{방전계수}\\[5px]
\end{정렬}

방전계수는 이상적인 방전율에 비해 실제 방전율이 감소하는 계수를 나타냅니다! 두 가지 현상이 방전 계수에 큰 영향을 미치며 아래에서 더 자세히 설명합니다.

점도(내부마찰)

오리피스를 통해 배수할 때 액체 내에서 전류가 발생합니다. 이는 액체 층이 다른 층보다 빠르게 이동한다는 것을 의미합니다. 이는 특히 오리피스를 향해 흐르는 액체가 깎여나가는 배출구 근처의 경우입니다. 주변 레이어에서. 마찰 액체 층의 결합력은 층 내의 분자 사이의 결합력으로 인해 발생합니다. 이는 반데르발스 힘 중 하나입니다. (쌍극자-쌍극자 상호작용 ) 또는 수소 결합 .

액체의 한 층을 다른 층으로 이동시키려면 이러한 결합력을 극복해야 합니다. 따라서 액체 층은 역학의 마찰력과 유사한 이러한 결합력에 의해 서로 분리되는 것을 방지합니다. 이것이 액체의 경우 내부 마찰에 대해서도 언급되는 이유입니다. . 결합력이 강할수록 액체층이 이동할 때 내부 마찰도 커집니다. 내부 마찰의 크기는 점도로 설명됩니다 액체.

속도 계수

점도는 실제로 액체가 이론적으로 예상되는 것보다 느린 속도로 출구를 통해 흐르는 이유입니다. 토출 속도의 감소는 소위 속도 계수로 고려될 수 있습니다. 방정식의 Cv<1(\ref{tl}):

\begin{정렬}
&v_\text{d,real} =C_v \cdot v_\text{d,ideal} \\[5px]
\라벨{vvv}
&\boxed {v_\text{d,real} =C_v \cdot \sqrt{2gh}} ~~\text{및 } C_v<1 ~\text{속도 계수} \\[5px]
\end{정렬}

속도 계수의 실험적 결정

수평 배출의 경우 제트의 궤적을 통해 속도 계수를 결정할 수 있습니다. 공기 마찰을 무시하면 제트는 수평 방향으로 일정한(방출) 속도 vd,real을 유지합니다. 따라서 제트기는 시간 t 내에 다음 거리 x를 이동합니다.

\begin{정렬}
&x =v_{\text{d,real}} \cdot t \\[5px]
\end{정렬}

시간 t 내에 중력은 제트의 하향 운동을 가속시킵니다(자유 낙하). 수직 방향의 낙하 거리 y에 대해서는 아래 공식이 적용됩니다. 그런 다음 이 방정식은 시간 t에 대해 풀고 위의 방정식에 사용되며 방전 속도 vd,real에 대해 풀립니다.

\begin{정렬}
&y =\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 ~~~~\오른쪽 화살표 ~~~~t =\sqrt{\frac{2y}{g}} \\[5px]
&x =v_{\text{d,real}} \cdot t =v_{\text{d,real}} \cdot \sqrt{\frac{2y}{g}} \\[5px]
&\underline{v_{\text{d,real}} =x \cdot \sqrt{\frac{g}{2y}}} \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식은 이제 방정식(\ref{vvv})과 동일하며 속도 계수 Cv에 대해 풀이됩니다.

\begin{정렬}
&C_v \cdot \sqrt{2gh} =x \cdot \sqrt{\frac{g}{2y}} \\[5px]
&\boxed{ C_v =\frac{x}{2 \sqrt{hy}}} \\[5px]
\end{정렬}

속도 계수를 실험적으로 결정하려면 궤적의 한 지점(x와 y로 설명됨)만 결정하면 됩니다. 이러한 궤적에 대한 테스트에서는 물과 같은 저점도 액체의 경우 속도 계수가 약 0.95 이상인 것으로 나타났습니다.

따라서 방전 속도의 작은 감소는 이론적인 방전 속도와 관찰된 속도 사이의 상대적으로 큰 편차의 원인일 수는 없습니다. 훨씬 더 큰 현상이 이에 영향을 미치게 될 것이며, 이에 대해서는 다음 섹션에서 더 자세히 논의하겠습니다.

유선형의 수축

간소화

실습에 따르면 배출 위치와 모양이 체적 유량의 편차에 결정적인 영향을 미칩니다. 이러한 영향은 탱크와 배출구 사이의 날카로운 모서리 전환에서 특히 두드러집니다. 탱크의 단순한 구멍은 매우 날카로운 모서리입니다. 아래 그림은 바닥에 있는 둥근 구멍을 통해 배출이 이루어지는 탱크를 보여줍니다. 흐름 경로는 소위 유선에 의해 표시됩니다. (아래 그림의 흰색 선). 이러한 유선형은 질량이 없는 입자가 유체에 배치될 경우 흐르는 경로입니다.

유선형은 질량이 없는 입자가 유체와 함께 흐를 때 취하는 궤적입니다!

눈에 보이는 유선형은 지금까지 모델이 예측한 것보다 실제로 더 낮은 방전율이 관찰되는 이유에 대한 답을 제공합니다. 실제로, 유출되는 액체는 단면을 통해 완전히 수직으로 빠져나오지 않지만, 개구부는 대부분 측면에서 반대 방향으로 흐릅니다. 물리적인 관점에서 보면 흐름 경로(유선)는 직각으로 구부러질 수 없습니다. 이를 위해서는 관성 없이 힘을 따라갈 수 있도록 유체에 질량이 없어야 합니다.

수축계수

실제로, 방출된 제트의 단면적은 출구의 단면적보다 작습니다. 유선이 실제로 아래쪽으로 평행하게 이어지는 이 단면은 개구부의 하류에 위치합니다. 이것은 기초로 삼아야 할 방전 Ad,real의 실제 단면입니다. 이 단면은 유효 단면이라고도 합니다. . 유선형이 좁아지고 그에 따른 제트 단면적의 감소 현상은 축축맥으로도 알려져 있습니다. .

축축이라는 용어는 단면 변화로 인한 유선의 수축, 즉 제트 단면이 실제 튜브 단면보다 작아지는 것을 의미합니다.

제트 단면적의 감소는 소위 수축 계수에 의해 고려됩니다. 참조. 실제 제트 단면적 Ad,real과 방전 단면적 Ad의 비율을 나타냅니다.

\begin{정렬}
&\boxed {A_\text{d,real} =C_c \cdot A_\text{d} } ~~\text{및 } C_c<1 ~~\text{수축 계수} \\[5px]
\end{정렬}

유출계수, 유속계수, 수축계수의 관계

속도 감소 현상과 유선형 수축의 훨씬 더 큰 효과는 실제로 체적 유량에 영향을 미칩니다. 유량이 방정식(\ref{vd})에 따른 실제 값을 기반으로 하는 경우 배출 계수 Cd, 수축 계수 Cc 및 속도 계수 Cv 사이에는 다음 관계가 분명합니다.

\begin{정렬}
\dot V_\text{d,real} &=A_\text{d,real} \cdot v_\text{d,real} \\[5px]
&=\underbrace{ C_c \dot A_d}_{ A_\text{d,real} } \cdot \underbrace{C_v v_d}_{ v_\text{d,real} } \\[5px]
&=C_c \cdot C_v \cdot A_d v_d ~~~\text{그리고 }~~~ v_d=\sqrt{2gh} ~~\text{:}\\[5px]
\라벨{u}
&=\underbrace{ C_c \cdot C_v }_{=C_d } \cdot A_d \sqrt{2gh} \\[5px]
\end{정렬}

\begin{정렬}
&\boxed{\dot V_\text{d,real} =C_d \cdot A_d \sqrt{2gh}} ~~~\text{und}~~~ \boxed{ C_d =C_c \cdot C_v } \\[5px]
\end{정렬}

If one compares equation (\ref{u}) with equation (\ref{t}), then it becomes apparent that the discharge coefficient Cd results from the product of the contraction coefficient Cc and the velocity coefficient Cv. Since the coefficient of velocity for fluids commonly used in practice is usually negligible compared to the coefficient of contraction, the coefficient of discharge is decisively determined by the vena contracta. In practice, however, one is usually only interested in the discharge coefficient anyway, so that the velocity coefficient and the contraction coefficient are not determined separately.

Experimental determination of the coefficient of discharge

The coefficient of discharge directly influences the time required to empty a container. The discharge coefficient has therefore a direct impact on the equation (\ref{gl}) and increases the discharge time accordingly:

\begin{정렬}
&\boxed{t =\frac{1}{ C_d } \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{정렬}

In practice, one only has to determine the time t during which the liquid level decreased from the level H to the level h. Solving the above equation with respect to the discharge coefficient:

\begin{정렬}
&\boxed{ C_d =\frac{1}{t} \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{정렬}

Influence of the shape of the outlet on the coefficient of discharge

Round openings

In the case of a round hole in a tank, the coefficient of discharge for water is about 0.65. In practice, a high discharge coefficient is usually desirable in order to get as close as possible to the ideal (maximum) volumetric flow rate. This requires a adaptation of the opening shape.

Since the discharge coefficient is decisively determined by the vena contracta, the contraction of the streamlines must be kept as low as possible. This is achieved by adjusting the geometry of the opening. A simple possibility is to use pipe sockets . The liquid then does not flow out of the tank straight away, but is led through a short piece of pipe.This ensures that the streamlines can be arranged parallel again and can occupy the entire cross-section.

In order to achieve an optimal effect, pipe sockets should be about 2 to a maximum of 3 times as long as their diameter. Within this range, it is possible to increase the discharge rate by about 25 % compared to the discharge at sharp-edged openings leading directly into the environment. For reasons of increased pipe friction, the pipe sockets should be kept as short as possible.

A further increase in the discharge rate can be achieved by rounding out the edges (“fairing”) so that the streamlines are smoothly guided around these edges. In this way, discharge coefficients above 0.9 and higher are possible.

In contrast, the discharge can also be made considerably less favourable than with a hole. For example, if a short pipe socket does not protrude from the tank, but into it. Then the streamlines make very strong changes with a more pronounced vena contracta. Such an unfavourable arrangement of a pipe socket is also called Borda’s opening . The coefficients of dicharge are about 0.53.

Rectangular openings

Until now, round openings were tacitly assumed. Above all, however, when liquids discharge sideways, the shape of the cross-section has a very strong influence on the coefficient of discharge. With rectangular openings, it is always unfavorable if liquid flows into the opening from the side. In this way the streamlines show very strong changes in direction. Therefore, the opening height should be kept as low as possible and the width should be greater than the height.

For square openings where the opening height corresponds to the opening width, the discharge coefficient is about 0.58. If the opening height is twice as large as the opening width, the discharge coefficient drops to about 0.44. If the opening height is only half the opening width, the discharge coefficient rises to 0.64. Although the opening height can be further reduced, a maximum discharge coefficient of 0.67 can be achieved with rectangular openings.