고유 값과 고유 벡터는 수학의 선형 대수에서 사용되지만 물리학에서는 진동 분석, 간단한 고조파 발진기, 양자 역학, 매트릭스 대각 화 및 원자 궤도에 널리 사용됩니다. 특히, 분자 물리학은 고유 값을 이온화 전위로 사용합니다.
물리적 시스템에는 파동 기능이 있습니다. Schrodinger의 방정식은 물리적 시스템의 특정 고유 값을 얻는 솔루션입니다. 따라서 물리학이 환경의 모든 곳에있는 것처럼 보이면 고유 값과 고유 벡터를 해결 한 문제 노트 를 만들었습니다. 당신을 위한. 우리는 고유 값과 고유 벡터가 무엇인지 설명하려고 노력할 것입니다. 우리는 심지어 고유 값에 대한 간단한 기술을 사용하고 고유 벡터를 해결 한 문제 . 탐험합시다.
고유 값과 고유 벡터 란 무엇입니까?
간단하고 단순화 된 고유 값과 고유 벡터는 종종 역학에서 역할을하는 고유 함수입니다. 고유 벡터는 주요 축을 나타내며 응력 텐서에서 분해 될 수 있습니다. 고유 값은 대각선을 정의하고 고유 벡터는 기초로 간주됩니다. 일반적으로 고유 값은 𝜆로 표시되는 특징적인 스칼라 값으로 정의 될 수 있습니다. 동시에, 고유 벡터는 스칼라 인자, 즉 적용시 고유 값에 의해 영향을받는 벡터입니다. 고유 값은 고유 벡터의 방향을 변형시킵니다.
방정식은 다음과 같이 표시 될 수 있습니다.
𝑨𝒙 =/
여기서,
a =벡터 공간에서 선형 변환
𝜆 =a
의 고유 값𝒙 =벡터 공간의 벡터 v
고유 값과 고유 벡터를 논의하기 전에 문제를 해결했습니다 , 고유 값 및 고유 벡터의 응용에 대해 논의 해 봅시다.
고유 값 및 고유 벡터의 응용
고유 값 및 고유 벡터의 방정식은 시스템을 통해 전달되는 광파 및 전자 레인지와 관련된 문제를 해결할 때 적용됩니다. 때때로 고유 벡터는 정점의 중심성을 측정 할 수 있습니다. 고유 벡터는 주요 구성 요소 분석에서도 큰 데이터 세트를 연구하는 수단입니다. 상관 관계 행렬의 고유 값은 실질적인 중요성을 결정합니다.
이제이 고유 값과 고유 벡터에서 고유 값을 찾는 방법을 찾으십시오. .
고유 값을 찾는 방법?
고유 값과 고유 벡터를 쉽게 이해하려면 문제를 해결하려면 다음 단계를 수행하십시오.
- 접근 방식을 시작하기 전에 질문에는 정사각형 매트릭스가 있다는 것을 기억하십시오.
- 𝑨가 𝑛 × 𝑛 행렬이라고 가정합니다. A. 의 고유 값으로 an을 봅시다
- 고유 벡터 𝒙는 고유 값이 그것을 스트레칭하는 방향을 가리키는 실제가 아닌 벡터가 될 것입니다.
- 선형 변환은 𝒚 =𝑨𝒙임을 기억하십시오.
따라서 고유 값을 찾으려면 선형 대수 접근 방식을 따라야합니다.
행렬 방정식은 𝑨𝒙 =𝜆𝒙
입니다그런 다음, (𝜆𝑰 − 𝑨) 𝒙 =𝟎
여기서 𝑛는 the × 𝑛 정체성 행렬이지만, 위의 방정식은 결정적인 값이 0과 같을 때만 고려해야합니다.
따라서 매트릭스 (𝑨 − 𝜆𝑰)는 단일 ⟹ ⟹ 𝑑𝑒𝑡 (𝑨 − 𝜆𝑰) =0입니다.
(𝑨 −𝜆𝑰)가 확장되면 𝑝𝜆 =𝑑𝑒𝑡 (𝑨 − 𝜆𝑰)은 도의 다항식이 될 것입니다.
고유 값 및 고유 벡터를 해결했습니다
다음은 고유 값과 고유 벡터를 해결 한 문제 입니다 .
1 1
문제 1 :a a ie (4 1 찾고 𝜆1 =3, 𝜆2 =-1
인 경우→
if (𝑨 −𝜆𝑰) v =0
→ →
그런 다음 v1과 v2를 찾으십시오.
해결책 :
1 1 1 0 x1 0 1 1 1 0 x1 0
(4 1) -3 (0 1) (x2) =(0),
(4 1)-(-1) (0 1) (x2) =(0)
1 -3 1 x1 0 1 +1 1 x1 0
(4 1 -3) (x2) =(0), () () ()
4 1 +1 x2 =0
-2 1 x1 0 2 1 x1 0
(4-2) (x2) =(0), 높이 (4 2) (x2) =(0)
-2 x1 +x2 =0 2 x1 +x2 =0
2 × 1 =x2 2x1 =x2
x1 =1 x1 =-1
一 一 一 一
x2 2 x2 2
→ 1 → 1
따라서 v1 =(2), v2 =(-2)
1 2
문제 2 :A가 ie (3-4) 인 경우 𝜆1, 𝜆2.
를 찾으십시오솔루션 :우리가 알고 있듯이 know (𝑨 −𝜆𝑰) =0
1-> 2
그래서 (3-4 -3)
=(1-() (-4-𝜆) -2-3
=-4-𝜆+ 4++ 𝜆2-6
=𝜆2+3 +-10
=(𝜆 -2) (𝜆+5) =0
따라서, =1 =2, 𝜆2 =-5
1 4
문제 3 :a a (3 2) 𝜆 =5, -2
인 경우→
if (𝑨 −𝜆𝑰) v =0
→ →
그런 다음 v1, v2를 찾으십시오.
해결책 :
1 - 4 x1 1- 𝜆 4 x1
+ (3 2 -𝜆) (x2) =0, ay (3 2 -𝜆) (x2) =0
-4 4 x1 3 4 x1
(3 2 -5) (x2) =0, ay (3 4) (x2) =0
1-4
따라서 v1 =(1), v2 =(3)
결론
고유 값과 고유 벡터는 수학의 선형 대수에서 사용되지만 물리학에서는 진동 분석, 간단한 고조파 발진기, 양자 역학, 매트릭스 대각 화 및 원자 궤도에 널리 사용됩니다. 특히, 분자 물리학은 고유 값을 이온화 전위로 사용합니다.
고유 값과 고유 벡터는 물리와 화학의 흥미로운 주제 중 하나입니다. 양자 역학에서 고유 값과 고유 벡터는 Hartree-Fock 이론을 통해 원자와 분자의 궤도를 결정하는 데 도움이 될 수있는 문제를 해결했습니다. 이 고유 값과 고유 벡터는 고유 값과 고유 벡터의 문제 노트를 해결하여 학생들이 시스템을 통해 운반하는 가벼운 파와 전자 레인지와 관련된 문제에 도움이 될 수 있습니다.
