우리 마음의 눈으로 보면 우주는 영원히 계속되는 것처럼 보입니다. 그러나 기하학을 사용하면 "일반적인" 무한 공간에 대한 대안을 제공하는 다양한 3차원 모양을 탐색할 수 있습니다.
소개
밤하늘을 바라보면 공간이 모든 방향으로 영원히 확장되는 것처럼 보입니다. 그것은 우주에 대한 우리의 정신 모델이지만 반드시 정확하지는 않습니다. 결국 모든 사람들이 지구가 평평하다고 생각하던 시절이 있었습니다. 왜냐하면 우리 행성의 곡률은 감지하기에는 너무 미묘하고 구형 지구는 헤아릴 수 없었기 때문입니다.
오늘날 우리는 지구가 구형이라는 것을 알고 있습니다. 그러나 우리 대부분은 우주의 모양에 대해서는 거의 생각하지 않습니다. 구체가 평평한 지구에 대한 대안을 제시한 것처럼, 다른 3차원 모양도 "보통" 무한 공간에 대한 대안을 제시합니다.
우리는 우주의 모양에 대해 별개이지만 서로 연관된 두 가지 질문을 할 수 있습니다. 하나는 기하학에 관한 것입니다. 즉, 각도나 면적과 같은 사물을 세밀하게 국소적으로 측정하는 것입니다. 다른 하나는 토폴로지에 관한 것입니다. 즉, 이러한 로컬 조각이 어떻게 전체적인 모양으로 함께 연결되는지입니다.
우주론적 증거에 따르면 우리가 볼 수 있는 우주의 일부는 적어도 대략적으로는 매끄럽고 균일합니다. 공간의 지역적 구조는 모든 지점과 모든 방향에서 거의 동일하게 보입니다. 평면형, 구형 및 쌍곡선형의 세 가지 형상만이 이 설명에 적합합니다. 이러한 기하학, 몇 가지 위상학적 고려 사항, 그리고 어떤 형태가 우리 우주를 가장 잘 묘사하는지에 대해 우주론적 증거가 말하는 내용을 살펴보겠습니다.
플랫 지오메트리
이것이 우리가 학교에서 배운 기하학이다. 삼각형의 각의 합은 180도이고 원의 넓이는 πr입니다. 2. 평평한 3차원 모양의 가장 간단한 예는 수학자들이 유클리드 공간이라고 부르는 일반적인 무한 공간이지만 고려해야 할 다른 평평한 모양도 있습니다.
이러한 모양은 시각화하기가 더 어렵지만 3차원 대신 2차원으로 생각하면 직관을 구축할 수 있습니다. 일반적인 유클리드 평면 외에도 평면의 일부를 잘라내고 가장자리를 테이프로 붙여서 다른 평평한 모양을 만들 수 있습니다. 예를 들어, 직사각형 종이 조각을 잘라내어 반대쪽 가장자리에 테이프를 붙인다고 가정해 보겠습니다. 상단과 하단 가장자리를 테이핑하면 원통형이 됩니다.
다음으로 오른쪽과 왼쪽 가장자리를 테이프로 붙여 도넛(수학자들이 토러스라고 부르는 것)을 만듭니다.
이제 여러분은 “이건 나한테는 밋밋해 보이지 않아.”라고 생각할 수도 있습니다. 그리고 당신 말이 맞을 것입니다. 우리는 편평한 토러스가 어떻게 작동하는지 설명하는데 약간의 부정행위를 했습니다. 실제로 이런 식으로 종이 한 장으로 원환체를 만들려고 한다면 어려움에 부딪힐 것입니다. 원통을 만드는 것은 쉽지만 원통의 끝 부분을 테이프로 붙이는 것은 효과가 없습니다. 종이는 토러스의 내부 원을 따라 구겨지고 외부 원을 따라 충분히 늘어나지 않습니다. 종이 대신 신축성이 있는 소재를 사용해야 합니다. 그러나 이렇게 늘리면 길이와 각도가 왜곡되어 기하학이 변경됩니다.
일반적인 3차원 공간 내에서는 평평한 형상을 왜곡하지 않고 평평한 재료로 실제적이고 부드러운 물리적 토러스를 만들 수 있는 방법이 없습니다. 하지만 평평한 원환체 내부에 사는 것이 어떤 느낌인지 추상적으로 추론할 수 있습니다.
당신이 우주가 평평한 토러스인 2차원 생물이라고 상상해 보세요. 이 우주의 기하학은 평평한 종이에서 나오므로 우리가 익숙한 모든 기하학적 사실은 적어도 작은 규모에서는 평소와 동일합니다. 삼각형의 각도의 합은 180도입니다. 하지만 자르고 테이핑을 통해 글로벌 토폴로지를 변경한 것은 토러스에서의 생활 경험이 우리가 익숙했던 것과는 매우 다르게 느껴질 것임을 의미합니다.
우선, 원환체에는 순환하고 시작한 곳으로 돌아가는 직선 경로가 있습니다:
이 경로는 왜곡된 원환체에서 곡선으로 보이지만 평평한 원환체의 주민들에게는 직선으로 느껴집니다. 그리고 빛은 직선 경로를 따라 이동하기 때문에 다음 방향 중 하나로 앞을 바라보면 뒤에서 자신의 모습을 볼 수 있습니다.
원본 종이에서는 마치 당신이 보는 빛이 당신 뒤에서 왼쪽 가장자리에 도달할 때까지 이동한 다음 오른쪽에 다시 나타나는 것처럼 보입니다. 마치 당신이 랩 어라운드 비디오 게임에 있는 것처럼:
이에 대해 생각하는 동등한 방법은 당신(또는 빛의 광선)이 네 모서리 중 하나를 가로질러 이동하면 새로운 "방"으로 보이지만 실제로는 새로운 유리한 지점에서 본 동일한 방에 나타난다는 것입니다. 이 우주를 돌아다니면서 원래 방의 무한한 복사본을 만날 수 있습니다.
즉, 다른 방향을 보면 자신의 모습을 무한히 많이 볼 수 있다는 의미입니다. 당신의 복사본이 반사되지 않는다는 점을 제외하면 일종의 거울 홀 효과입니다.
도넛에서 이것은 빛이 사용자에게서 다시 사용자에게로 이동할 수 있는 다양한 루프에 해당합니다.
마찬가지로, 정육면체나 다른 상자의 반대면을 접착하여 평평한 3차원 토러스를 만들 수 있습니다. 우리는 이 공간을 평범한 무한 공간 내의 물체로 시각화할 수 없습니다. 단순히 맞지 않습니다. 하지만 그 안에 있는 생명체에 대해 추상적으로 추론할 수 있습니다.
2차원 토러스에서의 삶이 동일한 직사각형 방의 무한한 2차원 배열에서 사는 것과 마찬가지로 3차원 토러스에서의 삶은 동일한 입방체 방의 무한한 3차원 배열에서 사는 것과 같습니다. 당신은 무한히 많은 사본을 보게 될 것입니다:
TechR에서 각색
3차원 토러스는 10개의 서로 다른 평면 유한 세계 중 하나일 뿐입니다. 무한 원통의 3차원 유사체와 같은 평평한 무한 세계도 있습니다. 각 세계에는 경험할 수 있는 다양한 거울의 방이 있습니다.
우리 우주는 다른 평면 형태 중 하나인가요?
우리가 우주를 바라볼 때 우리 자신의 복사본을 무한히 많이 볼 수는 없습니다. 그럼에도 불구하고 이러한 평면적인 형태를 배제하는 것은 놀라울 정도로 어렵습니다. 우선, 그들은 모두 유클리드 공간과 동일한 로컬 기하학을 가지므로 로컬 측정으로는 이들을 구별할 수 없습니다.
그리고 만약 당신이 자신의 사본을 본다면, 그 먼 이미지는 빛이 당신에게 도달하기 위해 오랜 시간을 이동해야 했기 때문에 먼 과거에 당신(또는 예를 들어 당신의 은하계)이 어떻게 보였는지를 보여줄 것입니다. 어쩌면 우리는 인식할 수 없는 우리 자신의 복사본을 밖에서 보고 있을 수도 있습니다. 설상가상으로, 자신의 여러 사본은 일반적으로 자신으로부터 서로 다른 거리에 있으므로 대부분이 서로 동일하게 보이지 않습니다. 어쩌면 우리가 보기에는 너무 멀리 떨어져 있을 수도 있습니다.
이러한 어려움을 해결하기 위해 천문학자들은 일반적으로 우리 자신의 복사본을 찾는 것이 아니라 우리가 볼 수 있는 가장 먼 곳에서 반복되는 특징, 즉 빅뱅 직후 남은 우주 마이크로파 배경(CMB) 복사를 찾습니다. 실제로 이는 CMB에서 열점과 냉점의 패턴이 일치하는 원 쌍을 검색하는 것을 의미하며, 이는 두 개의 서로 다른 방향에서 본 동일한 원임을 암시합니다.
2015년에 천문학자들은 플랑크 우주 망원경의 데이터를 사용하여 그러한 검색을 수행했습니다. 그들은 평평한 3차원 토러스나 슬래브라고 불리는 다른 평평한 3차원 모양 내부에서 볼 수 있을 것으로 예상되는 일치하는 원의 종류에 대해 데이터를 샅샅이 뒤졌지만 찾지 못했습니다. 즉, 우리가 토러스에 살고 있다면 그 크기가 너무 커서 반복되는 패턴이 관측 가능한 우주 너머에 있을 수 있다는 의미입니다.
구형 기하학
우리 모두는 공의 표면, 오렌지, 지구 등 2차원 구체에 익숙합니다. 그런데 우리 우주가 3차원 구체라는 것은 무엇을 의미할까요?
3차원 구체를 시각화하는 것은 어렵지만 간단한 비유를 통해 정의하는 것은 쉽습니다. 2차원 구가 일반적인 3차원 공간의 어떤 중심점에서 고정된 거리에 있는 모든 점의 집합인 것처럼, 3차원 구(또는 '3구')는 4차원 공간의 어떤 중심점에서 고정된 거리에 있는 모든 점의 집합입니다.
3개 구에서의 삶은 평면 공간에서의 삶과 매우 다르게 느껴집니다. 그것에 대한 느낌을 얻으려면 당신이 2차원 구체에 살고 있는 2차원 존재라고 상상해 보세요. 2차원 구체는 전체 우주입니다. 주변의 3차원 공간은 보거나 접근할 수 없습니다. 이 구형 우주 내에서 빛은 가능한 가장 짧은 경로인 대원을 따라 이동합니다. 당신에게는 이 큰 원이 직선처럼 느껴집니다.
이제 당신과 당신의 2차원 친구가 북극에서 놀고 있고, 당신의 친구가 산책하러 간다고 상상해 보세요. 친구가 걸어가면서 처음에는 평범한 세상과 마찬가지로 시각적 범위에서 점점 더 작아 보일 것입니다(비록 우리가 예전처럼 빨리 줄어들지는 않지만). 그 이유는 시각적 범위가 커질수록 친구가 차지하는 비율이 줄어들기 때문입니다.
하지만 친구가 적도를 지나면 이상한 일이 발생합니다. 친구가 당신에게서 멀어질수록 친구가 점점 더 크게 보이기 시작합니다. 그 이유는 그들이 시각적 서클에서 차지하는 비율이 증가하고 있기 때문입니다:
당신의 친구가 남극에서 10피트 떨어져 있으면 당신에게서 10피트 떨어져 있을 때와 똑같이 커 보일 것입니다:
그리고 그들이 남극에 도달하면 모든 방향에서 볼 수 있어 시야 전체를 가득 채울 수 있습니다.
남극에 아무도 없다면, 당신의 시각적 지평선은 더욱 낯선 것, 바로 당신 자신입니다. 왜냐하면 당신에게서 나오는 빛은 당신에게 돌아올 때까지 구 주위를 계속 돌기 때문입니다.
이는 3차원 영역의 삶에도 직접적으로 적용됩니다. 3구체의 모든 점은 서로 반대되는 점을 가지며, 거기에 물체가 있으면 마치 하늘인 것처럼 전체 배경으로 보입니다. 거기에 아무것도 없다면 우리는 우리 자신을 배경으로 보게 될 것입니다. 마치 우리의 외관이 풍선 위에 겹쳐졌다가 뒤집어져서 전체 지평선이 되는 것처럼 말입니다.
3구는 구형 기하학의 기본 모델이지만 그러한 공간이 유일한 것은 아닙니다. 유클리드 공간에서 덩어리를 잘라서 붙여서 다양한 평면 공간을 만든 것처럼, 3구체의 적당한 덩어리를 붙여서 구형 공간을 만들 수 있습니다. 이러한 접착된 모양 각각은 토러스와 마찬가지로 거울 홀 효과를 갖지만 이러한 구형 모양에서는 이동할 수 있는 공간이 제한되어 있습니다.
우리 우주는 구형인가?
우리 중 가장 자기애적인 사람조차도 일반적으로 자신을 밤하늘 전체의 배경으로 여기지 않습니다. 그러나 평평한 토러스와 마찬가지로 현상을 볼 수 없다고 해서 그것이 존재할 수 없다는 의미는 아닙니다. 구형 우주의 둘레는 관측 가능한 우주의 크기보다 더 클 수 있으며, 이로 인해 배경이 너무 멀어서 볼 수 없게 됩니다.
그러나 토러스와는 달리 구형 우주는 순전히 국소적인 측정을 통해 감지할 수 있습니다. 구형 모양은 전역 토폴로지뿐만 아니라 세밀한 기하학에서도 무한한 유클리드 공간과 다릅니다. 예를 들어, 구형 기하학의 직선은 대원이기 때문에 삼각형은 유클리드 기하학보다 더 부풀고 각의 합은 180도 이상입니다.
사실, 우주 삼각형을 측정하는 것은 우주론자들이 우주가 곡선인지 여부를 테스트하는 주요 방법입니다. 우주 마이크로파 배경의 각 뜨겁거나 차가운 지점에 대해 직경과 지구로부터의 거리가 알려져 삼각형의 세 변을 형성합니다. 우리는 밤하늘에서 그 지점이 차지하는 각도(삼각형의 세 각도 중 하나)를 측정할 수 있습니다. 그런 다음 변의 길이와 각도 측정의 조합이 평면, 구형 또는 쌍곡선 기하학(삼각형 각도의 합이 180도 미만임)에 적합한지 확인할 수 있습니다.
다른 곡률 측정과 함께 대부분의 이러한 테스트는 우주가 평평하거나 평면에 매우 가깝다는 것을 암시합니다. 그러나 최근 한 연구팀은 플랑크 우주 망원경의 2018년 출시 지점의 특정 데이터가 구형 우주가 아니라고 주장했지만, 다른 연구자들은 이 증거가 통계적 우연일 가능성이 높다고 반박했습니다.
쌍곡선 기하학
자체적으로 휘어지는 구와 달리 쌍곡선 기하학은 바깥쪽으로 열립니다. 플로피 햇, 산호초, 안장의 기하학입니다. 쌍곡기하학의 기본 모델은 평평한 유클리드 공간과 마찬가지로 무한한 공간입니다. 그러나 쌍곡선 기하학은 평면 기하학보다 바깥쪽으로 훨씬 더 빠르게 확장되기 때문에 기하학을 왜곡하지 않는 한 일반 유클리드 공간 안에 2차원 쌍곡선 평면조차 맞출 수 있는 방법이 없습니다. 예를 들어, 다음은 푸앵카레 원반으로 알려진 쌍곡선 평면의 왜곡된 보기입니다.
우리의 관점에서는 경계원 근처의 삼각형이 중심 근처의 삼각형보다 훨씬 작게 보이지만 쌍곡선 기하학의 관점에서는 모든 삼각형의 크기가 동일합니다. 실제로 삼각형을 같은 크기로 만들려고 하면(예:디스크에 신축성 있는 재료를 사용하고 각 삼각형을 차례로 부풀려 중심에서 바깥쪽으로 작업) 디스크는 플로피 모자처럼 보이기 시작하고 바깥쪽으로 작업할 때 점점 더 휘어질 것입니다. 경계에 가까워질수록 이 좌굴 현상은 걷잡을 수 없을 정도로 커졌습니다.
쌍곡기하학의 관점에서 볼 때, 경계원은 내부 점으로부터 무한히 멀리 떨어져 있습니다. 거기에 도달하려면 무한히 많은 삼각형을 교차해야 하기 때문입니다. 따라서 쌍곡선 평면은 유클리드 평면과 마찬가지로 모든 방향으로 무한대로 늘어납니다. 하지만 국지적 기하학 측면에서 쌍곡선 평면에서의 생활은 우리가 익숙했던 것과는 매우 다릅니다.
일반적인 유클리드 기하학에서 원의 원주는 반지름에 정비례하지만, 쌍곡기하학에서는 원주가 반지름에 비해 기하급수적으로 늘어납니다. 쌍곡선 디스크의 경계 근처에 삼각형 덩어리가 기하급수적으로 쌓이는 것을 볼 수 있습니다.
이 기능 때문에 수학자들은 쌍곡선 공간에서 길을 잃기 쉽다고 말하고 싶어합니다. 당신의 친구가 평범한 유클리드 공간에서 당신에게서 멀어진다면, 당신의 시각적 범위가 그렇게 빨리 성장하지 않기 때문에 그들은 더 작게 보이기 시작할 것입니다. 그러나 천천히 보일 것입니다. 그러나 쌍곡선 공간에서는 당신의 시각적 범위가 기하급수적으로 커지기 때문에 당신의 친구는 곧 기하급수적으로 작은 점으로 줄어들게 될 것입니다. 친구의 경로를 주의 깊게 추적하지 않으면 나중에 친구에게 가는 길을 찾는 것이 거의 불가능합니다.
그리고 쌍곡선 기하학에서 삼각형의 각도의 합은 180도 미만입니다. 예를 들어 푸앵카레 디스크 타일링의 삼각형의 각도의 합은 165도입니다.
이 삼각형의 측면은 직선으로 보이지 않지만 이는 왜곡된 렌즈를 통해 쌍곡선 기하학을 보고 있기 때문입니다. 푸앵카레 원반 거주자에게는 이 곡선이 직선입니다. 왜냐하면 A 지점에서 B 지점으로 가는 가장 빠른 방법은 중심을 향해 지름길을 택하는 것이기 때문입니다.
푸앵카레 디스크와 유사한 3차원 유사체를 만드는 자연스러운 방법이 있습니다. 간단히 3차원 공을 만들고 푸앵카레 디스크의 삼각형처럼 경계 구에 접근할수록 작아지는 3차원 모양으로 채우면 됩니다. 그리고 평면 및 구형 기하학과 마찬가지로 3차원 쌍곡선 공의 적절한 부분을 잘라내고 면을 접착하여 다양한 3차원 쌍곡선 공간을 만들 수 있습니다.
우리 우주는 쌍곡선인가요?
좁은 삼각형과 기하급수적으로 늘어나는 원으로 이루어진 쌍곡선 기하학은 우리 주변 공간의 기하학에 맞지 않는 것처럼 느껴집니다. 그리고 실제로, 우리가 이미 본 것처럼, 지금까지 대부분의 우주론적 측정은 평평한 우주를 선호하는 것 같습니다.
하지만 우리가 구형 세계나 쌍곡선 세계에 살고 있을 가능성을 배제할 수는 없습니다. 왜냐하면 이 두 세계의 작은 조각들은 거의 평평해 보이기 때문입니다. 예를 들어, 구형 기하학의 작은 삼각형은 각도의 합이 180도보다 약간 더 크고, 쌍곡선 기하학의 작은 삼각형의 각도의 합은 180도보다 약간 작습니다.
그렇기 때문에 초기 사람들은 지구가 평평하다고 생각했습니다. 그들이 관찰할 수 있는 규모로 볼 때 지구의 곡률은 감지하기에는 너무 작았습니다. 구형 또는 쌍곡선 모양이 클수록 각 작은 조각은 더 평평해집니다. 따라서 우리 우주가 극도로 큰 구형 또는 쌍곡선 모양이라면 우리가 관찰할 수 있는 부분은 평면에 너무 가까워 그 곡률은 아직 발명하지 않은 초정밀 도구로만 감지할 수 있습니다.
