스톡스의 법칙 이해:구형 물체의 항력

스톡스의 마찰 법칙은 층류 흐름이 통과하는 구형 몸체에 작용하는 항력을 설명합니다.

유동저항 및 항력계수

유체(액체 또는 기체)가 신체 주위를 흐를 때 유체는 신체에 마찰력을 가합니다. 원칙적으로 신체가 정지하고 유체가 그 주위로 흐르는지 또는 그 반대인지는 중요하지 않습니다. 유체는 정지하고 신체는 유체를 통해 이동합니다. 따라서 주변 유체에 대해 상대적으로 움직이는 물체는 마찰력을 받습니다. 이 마찰력을 흐름 항력이라고도 합니다.

일반적으로 물체의 항력 Fd는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{f}
&\boxed{F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~A~ c_\text{d}} \\[5px]
\end{정렬}

이 공식에서 ϱ는 유체의 밀도를 나타냅니다. 즉, 유체의 밀도가 높을수록 항력이 커집니다. 따라서 공기 중에서 움직이는 물체는 물 속에서 움직이는 물체보다 저항이 적습니다.

더욱이, 항력은 주변 유체에 대해 물체가 움직이는 속도 v  또는 유체가 몸 주위를 흐르는 속도에 따라 달라집니다. 후자의 경우 속도는 방해받지 않는 흐름(자유류)의 속도, 즉 유체가 흐르는 몸체로부터 충분히 먼 거리에서의 속도를 나타냅니다. 항력은 유속의 제곱에 비례합니다. 따라서 속도가 2배 빠르면 항력이 4배 증가한다는 의미입니다.

흐름 방향을 가리키는 몸체의 영역 A(투영 영역 )도 항력에 결정적인 영향을 미칩니다. 물체가 흐름 방향으로 램프에 의해 조명되는 것을 상상할 수 있습니다. 그러면 개체 뒤의 벽에 드리워진 그림자는 투영된 영역 A에 해당합니다.

투영된 영역은 흐름에 노출된 신체 표면의 크기만 설명할 뿐 정확한 모양은 설명하지 않습니다. 그러나 흐름 저항에 있어서는 모양이 결정적으로 중요합니다. 예를 들어, 속이 빈 반구의 항력은 흐름이 반구의 볼록한 면에 대해 있을 때보다 오목한 면에 대해 있을 때 거의 4배 더 큽니다. 하지만 투영된 면적은 두 경우 모두 분명히 동일합니다. 신체 형태가 항력에 미치는 영향은 무차원 항력 계수 cd로 표현됩니다.

층류에서 구형 물체의 항력 계수

기하학적으로 복잡한 물체의 항력 계수는 일반적으로 풍동이나 수로에서의 실험을 통해 결정됩니다. 그러나 매끄러운 구와 같은 상대적으로 단순한 기하학적 모양의 경우 과학자들은 단순화된 조건에서 항력 계수를 계산하려고 노력했습니다. 과학자 Kaskas 층류에서 구형 물체의 항력 계수를 대략적으로 계산하기 위해 다음 공식을 개발했습니다.

\begin{정렬}
&\boxed{c_\text{d} =\frac{24}{Re} +\frac{4}{\sqrt{Re}}+0.4}~~Re<2\cdot 10^5 \\[5px]
\end{정렬}

이 방정식에서 Re는 레이놀즈 수로 표현된 무차원 유속을 나타냅니다. 구형체의 경우 레이놀즈 수는 유속 v⁺, 유체의 밀도 ϱ 및 동적 점도 θ 및 특성 길이인 구의 직경 d에 의해 결정됩니다. :

\begin{정렬}
&\boxed{Re =\frac{v_\infty~d~\rho}{\eta}} \\[5px]
\end{정렬}

작은 레이놀즈 수에 대한 스톡스의 마찰 법칙

층류에도 불구하고 유동 박리(경계층 박리)와 와류는 일반적으로 구형체 뒤에 형성되며, 높은 레이놀즈 수에서는 난류 후류가 발생합니다. 아래 그림은 난류 후류가 있는 공 주위의 층류 유동에 대한 개략적인 유선형 이미지를 보여줍니다.

레이놀즈 수가 1보다 작은 낮은 유속에서만 대칭 유선형 패턴을 가정할 수 있습니다. 이러한 흐름을 크리핑 흐름이라고도 합니다. 구에 완전히 부착되어 하류측에 소용돌이를 형성하지 않습니다. 이 경우 과학자 Stokes는 Navier-Stokes 방정식에서 항력 계수를 결정하기 위한 다음 공식을 도출할 수 있었습니다.

\begin{정렬}
&\boxed{c_\text{d} =\frac{24}{Re} }~~Re<1 \\[5px]
\end{정렬}

Kaskas의 공식은 Stokes의 공식과 모순되지 않습니다. 작은 레이놀즈 수의 경우 Kaskas 공식의 마지막 두 항은 첫 번째 항에 비해 무시할 수 있습니다. 따라서 Kaskas 공식의 값은 Stokes 공식에서 얻은 항력 값에 점점 더 가까워집니다. 방정식(\ref{f})에 Stokes의 공식이 사용되지 않으면 구 주위의 완전한 층류 흐름의 항력에 대해 다음 관계가 생성됩니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~\color{red}{A}~ \color{blue}{c_\text{d}} \\[5px]
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~\color{red}{\frac{\pi}{4}d^2}~ \color{blue}{\frac{24}{Re}} \\[5px]
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\bcancel{\rho}~v_\infty^\bcancel{2}~\frac{\pi}{4}d^\bcancel{2}~ \frac{24~\eta}{\bcancel{v_\infty}~\bcancel{d}~\bcancel{\rho}} \\[5px]
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~v_\infty~\frac{\pi}{4}d~ 24~\eta \\[5px]
&F_\text{d} =3\pi~\eta~v_\infty~d \\[5px]
&\boxed{F_\text{d} =6\pi~\eta~v_\infty~r} ~~\text{스토크스의 마찰 법칙}\\[5px]
\end{정렬}

층류에 의해 발생하는 구형체의 유동 저항은 유체의 점도 θ, 유속 v 과 구의 반경 r에 따라 달라집니다. 유속은 더 이상 속도의 제곱에 비례하여 항력에 영향을 미치지 않고 비례적으로만 영향을 미칩니다!

구형 물체 주변의 층류 흐름에 대한 스톡스의 마찰 법칙은 항력이 유체의 점도, 유속 및 구의 반경에 비례한다고 명시합니다!

유체의 점도와 구에 발생하는 항력 사이의 관계는 예를 들어 소위 낙하구 점도계에서 구의 가라앉는 속도를 기준으로 유체의 점도에 대한 결론을 도출하는 데 사용됩니다.