기압 공식 이해:고도 및 기압

기압 공식은 고도가 증가함에 따라 기압이 감소하는 것을 설명합니다.

소개

해수면에서 대기압은 약 1bar입니다. 그러나 실습에 따르면 고도가 높아짐에 따라 기압이 점점 더 감소하는 것으로 나타났습니다. 예를 들어, 2000미터 높이의 산에서 대기압은 약 0.8bar에 불과합니다. 해발 8848m의 에베레스트 산에서는 공기의 압력이 0.3bar에 불과합니다.

입자모형을 이용하면 이 현상을 명확하게 이해할 수 있다. 결국, 모든 가스 분자는 아무리 작더라도 질량을 가지고 있습니다. 이는 가스 입자도 중력의 영향을 받는다는 사실로 이어집니다. 입자와 분자 사이에는 영구적인 충돌이 발생하며 겉으로는 무작위 방향으로 날아가는 것처럼 보입니다. 그러나 특히 크기가 매우 큰 경우에는 중력의 영향으로 공기 분자가 지구 표면에 오히려 가까이 있다는 것을 알 수 있습니다. 이러한 지구의 중력 때문에 공기 분자는 말하자면 아래로 끌어당겨져 다른 공기 입자와 충돌하여 다시 공기 중으로 튀어오르게 됩니다.

이 동작은 모델에서 생생하게 재현될 수 있습니다. 이를 위해 볼은 수직 유리관에 채워집니다. 유리관은 진동판 위에 서 있습니다. 진동은 공에 임의의 속도를 제공합니다. 이로 인해 공은 공기 중의 분자처럼 서로 영구적으로 충돌하게 됩니다. 공은 실제 공기 분자처럼 임의의 고도로 스스로 발사됩니다.

마지막으로 대부분의 볼이 진동판 근처에 위치하는 것을 볼 수 있습니다. 높이가 증가함에 따라 공의 밀도는 감소합니다. 왜냐하면 몇 개의 공만이 충돌하여 공중으로 여러 번 튀어오르기 때문입니다. 높이에 따른 밀도 분포는 공기 분자에서도 발견됩니다! 고도가 높아짐에 따라 공기의 밀도도 점점 더 감소합니다. 그처럼 높은 고도에 도달할 수 있는 공기 분자의 수가 점점 줄어들기 때문입니다. 이는 또한 많은 등반가가 높은 고도에서 압축 공기 병에 추가 산소를 운반하는 이유이기도 합니다. 적은 수의 공기 분자로는 더 이상 신체에 산소를 공급하기에 충분하지 않기 때문입니다.

감소된 공기 밀도는 또한 기압 감소에 직접적인 영향을 미칩니다. 가스 압력 기사에서는 가스 압력이 분자와 계면의 충돌로 인해 발생한다는 사실을 이미 자세히 설명했습니다. 컨테이너 벽이나 피스톤과 같습니다. 따라서 입자 밀도가 감소하면 충돌 횟수도 줄어듭니다. 결과적으로 가스 압력이 낮아집니다.

고도가 증가함에 따라 기압이 감소하는 것은 공기 밀도가 감소하기 때문입니다. 공기 밀도의 감소는 공기 입자도 지구의 중력에 영향을 받아 지구 표면에 더 가깝게 남아 있기 때문입니다!

고도가 증가함에 따라 압력이 감소하는 현상은 힘의 균형을 통해 수학적으로 유도할 수 있습니다. . 이를 위해 임의의 고도 h에서 기본 면적 A와 두께 Δh를 갖는 얇은 공기층을 고려합니다. 이 층 내의 공기는 특정 질량 Δm을 갖습니다. 공기층이 보이지 않는 봉투로 둘러싸여 있는 것으로, 즉 일종의 공기 소포로 상상할 수 있습니다. . 이 공기층을 정지 상태로 간주하면 주변 공기와 평형을 이루고 있습니다. 원칙적으로 이러한 힘의 균형은 항공 소포가 일정한 속도로 위나 아래로 움직이는 경우에도 적용되지만 마찰력을 고려해야 합니다.

이 평형을 바탕으로 이제 고려하는 공기 덩어리 아래의 기압이 필연적으로 위보다 높아야 하는 이유를 명확하게 이해할 수 있습니다. 주변 공기 분자는 공기 덩어리와 아래쪽 및 위쪽에서 충돌하여 압력을 가합니다. 위로 작용하는 경우에만 하단 측의 압력이 하향 작용보다 큽니다. 위쪽에 압력이 가해지면 힘이 효과적으로 위쪽으로 작용할 수 있습니다. 이 위쪽으로 향하는 힘은 공기 덩어리의 무게에 반작용을 하여 공기 중의 안정성(즉, 평형 상태)을 유지합니다.

고려되는 공기층의 아래쪽 압력은 위쪽보다 높아야 공기층의 무게가 위쪽으로 향하는 힘에 의해 균형을 이룰 수 있습니다!

이제 대기는 무수히 많은 얇은 공기층으로 구성되어 있다고 상상할 수 있습니다. 따라서 층마다 공기압이 영구적으로 감소해야 하므로 각 층은 바닥에서 더 강한 힘에 의해 균형을 유지할 수 있습니다. 보다 정확한 수학적 설명을 위해서는 이제 공기층에 작용하는 힘을 더 자세히 조사해야 합니다.

주어진 밀도에서 고도 변화와 기압 변화의 관계

이를 위해 먼저 공기 덩어리 바닥면의 압력을 더 자세히 조사합니다. 바닥면에 작용하는 기압 p에 의해 생성되는 위쪽 방향 힘 Fb는 공기 덩어리의 압력과 기저 면적 A의 곱으로 인해 발생합니다.

\begin{정렬}
&F_b =p \cdot A ~~~~~\text{공기 소포의 바닥면에 힘} \\[5px]
\end{정렬}

공기 덩어리의 상단에서 기압은 일정량 Δp만큼 감소합니다. 따라서 이 압력이 공기 덩어리의 상단에 가하는 하향 작용력은 다음과 같습니다.

\begin{정렬}
&F_t =\left(p-\Delta p \right) \cdot A ~~~~~\text{공기 소포의 상단에 작용하는 힘} \\[5px]
\end{정렬}

공기 덩어리의 질량 Δm은 부피 ΔV와 기존 공기 밀도 ϱ(Δm=ΔV⋅ϱ)로부터 결정될 수 있습니다. 이미 설명했듯이 공기 밀도는 고도가 증가함에 따라 감소하지만 이 경우 매우 얇은 공기 덩어리(공기층)만 고려하므로 이 공기층 내에서는 일정한 밀도를 가정할 수 있습니다. A를 기본 면적으로 하고 Δh를 공기층의 두께로 하면 무게는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

\begin{정렬}
&F_g =\Delta m \cdot g \\[5px]
&F_g=\델타 V \cdot \rho \cdot g \\[5px]
&F_g=A \cdot \Delta h \cdot \rho \cdot g ~~~~\text{항공 소포의 무게} \\[5px]
\end{정렬}

아래쪽으로 작용하는 중량 Fg와 공기 덩어리 Ft의 위쪽에 작용하는 아래쪽으로 작용하는 힘은 이제 공기 덩어리 Fb의 아래쪽에 작용하는 위쪽으로 작용하는 힘과 평형을 이루어야 합니다. 이러한 방식으로 고도의 변화 Δh(공기층의 두께)와 이에 따른 압력의 변화 Δp 사이에는 다음과 같은 관계가 도출될 수 있습니다.

\begin{정렬}
\요구{취소}
&F_b \overset{!}{=} F_g + F_t \\[5px]
&p \cdot \bcancel{A} =\bcancel{A} \cdot \Delta h \cdot \rho \cdot g + \left(p-\Delta p \right) \cdot \bcancel{A} \\[5px]
&\bcancel{p} =\Delta h \cdot \rho \cdot g + \bcancel{p} – \Delta p \\[5px]
\라벨{dp}
&\underline{\Delta p =\rho \cdot g \cdot \Delta h} ~~~~~\text{고도의 작은 변화에만 적용 }\Delta h \\[5px]
\end{정렬}

이 공식은 고도 변화 Δh가 너무 크지 않은 경우에만 유효합니다. 왜냐하면 그러한 경우에만 (대략) 일정한 공기 밀도 ϱ가 가정될 수 있기 때문입니다. 고도 변화가 너무 크면 공기층 내의 밀도가 더 이상 일정하지 않습니다. 이 경우 평균 공기 밀도를 고려해야 합니다.

특정 온도에서 고도 변화와 기압 변화의 관계

실제로 100m 이내에서는 공기 밀도가 눈에 띄게 변하지 않으므로 일정한 것으로 간주할 수 있습니다. 지면 근처의 공기 밀도가 약 1.2kg/m³라고 가정하면 위의 공식으로 인해 고도 100미터에서 약 12mbar의 압력 변화가 발생합니다.

\begin{정렬}
&\델타 p =\rho \cdot g \cdot \델타 h =1.2 \tfrac{\text{kg}}{\text{m³}}\cdot 10 \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 100 \text{ m} =120 \text{ Pa} =12 \text{ mbar} \\[5px]
\end{정렬}

예를 들어, 지면의 압력이 1.0bar라면 고도 100미터에서는 12mbar 감소하여 총 0.988bar가 됩니다. 이제 고도 200미터에서의 압력을 계산하기 위해 다음 100미터에 대해 동일한 계산을 할 수 있습니다. 그러나 고도가 달라질 때마다 공기 밀도가 조금씩 변한다는 점을 명심해야 합니다. 고도가 높아질수록 공기는 얇아집니다. 즉, 공기 밀도가 감소합니다. 따라서 각각의 새로운 압력에 대해 새로운 공기 밀도를 기초로 삼아야 합니다.

예를 들어 밀도와 압력이 온도에 따라 서로 직접적으로 관련된다는 이상기체 법칙을 통해 이를 수행할 수 있습니다.

\begin{정렬}
\라벨{이상적}
&\boxed{p=R_s \cdot \rho \cdot T}~~~~~\text{이상기체 법칙} \\[5px]
\라벨{로}
&\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T }\\[5px]
\end{정렬}

이 방정식에서 T는 열역학적 온도(켈빈)를 나타내고 Rs는 특정 가스 상수를 나타냅니다. 이 경우 특정 가스 상수 Rs=287 J(kg⋅K)의 건조 공기가 가정됩니다. 방정식 (\ref{rho})이 방정식 (\ref{dp})에 사용되면 주어진 온도에서의 압력 변화를 결정할 수 있습니다:

\begin{정렬}
&\델타 p =\rho \cdot g \cdot \델타 h \\[5px]
&\델타 p =\frac{p}{ R_s \cdot T } \cdot g \cdot \델타 h \\[5px]
\라벨{dr}
&\밑줄{\Delta p =\frac{g}{ R_s \cdot T } \cdot p \cdot \Delta h} \\[5px]
\end{정렬}

방정식 (\ref{dp})과 비교하여 이 방정식은 어떤 이점을 제공합니까? 왜냐하면 모든 실습을 통해 고도가 증가함에 따라 밀도뿐만 아니라 온도도 낮아지기 때문입니다(둘 다 알 수 없는 변수). 이는 원칙적으로는 맞지만 밀도에 비해 고도가 높아질수록 온도는 덜 변합니다. 따라서 고도의 차이가 작은 경우 일정한 온도를 가정하는 것이 일반적으로 일정한 밀도를 가정하는 것보다 더 타당합니다!

예를 들어 고도 10km 이하에서는 고도 100m 내에서 공기 밀도가 평균 약 1.5% 감소합니다(온도 변화 포함). 이에 비해 온도(켈빈 단위)는 평균 약 0.4% 정도만 낮아집니다. 따라서 온도 변화의 영향은 밀도 변화의 영향의 1/3도 되지 않습니다. 단열 대기에 대한 기압 공식 기사에서는 온도 감소가 압력 곡선에 미치는 영향에 대해 자세히 설명합니다.

그러나 단순화를 위해 다음에서는 항상 일정한 온도를 가정합니다. 이러한 맥락에서 등온 대기에 대해서도 이야기합니다. . 마찬가지로, 고도 증가에 따른 중력 가속도의 감소는 고려되어서는 안 되며, 대기 조성의 변화에도 불구하고 특정 가스 상수는 일정한 것으로 간주되어야 합니다.

실제로 중력 가속도의 감소는 일반적으로 실제로는 아무런 역할을 하지 않습니다. 100km 높이까지 중력 가속도는 3%만 감소합니다. 어쨌든, 소위 대류권(“기상층”)이라고 불리는 하부 15km만이 날씨와 관련이 있습니다. 또한 고도 100km 이하에서는 대기 가스가 잘 혼합되어 있기 때문에 화학적 조성의 영향이 큰 역할을 하지 않습니다. 그러므로 고도 100km 이하에서도 호균권(homosphere)을 말합니다. 아래 그림과 애니메이션은 지구 대기를 여러 층으로 분류하는 것을 보여줍니다. 이 계층화 이는 이러한 층 내의 다양한 온도 또는 특징적인 온도 곡선을 기반으로 합니다(자세한 내용은 단열 대기에 대한 기압 공식 문서 참조).

공식(\ref{dr})을 사용할 때 수학적 의미에서 고도의 양의 변화(Δh>0)는 압력의 음의 변화(Δp<0)를 초래한다는 점을 항상 염두에 두어야 합니다. 왜냐하면 압력은 결국 고도가 증가함에 따라 감소하기 때문입니다. 따라서 올바른 수학적 정의를 위해서는 상위 방정식에 여전히 음의 부호가 부여되어야 합니다. 이는 다음에서 파생된 기압 공식에 중요해집니다.

\begin{정렬}
\라벨{a}
&\boxed{\Delta p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \Delta h} ~~~~~\text{고도의 작은 변화에만 적용 }\Delta h \\[5px]
\end{정렬}

기압과 고도변화의 관계

이전 섹션에서 설명했듯이 먼저 높은 고도에 대한 압력 변화를 예를 들어 100미터의 작은 공기층으로 나누는 것이 좋습니다. 그런 다음 모든 압력 변화를 총 압력 변화로 합산해야 합니다. 그러나 이 절차는 상당히 복잡합니다. 이 시점에서 미분 또는 적분은 더 간단하고 일반적인 방법을 제공합니다.

이를 위해 거시적 고도 차이는 점점 더 작게 선택됩니다. 제한적인 경우에는 극미량, 즉 무한히 작은 고도차나 기압차가 발생합니다. 거시적 변화 Δh 또는 Δp와 대조적으로 최종적으로 해당 미분 dh 및 dp를 얻습니다. 늦어도 이 시점에서는 개별 공기층 내의 일정한 밀도 또는 일정한 온도 문제도 해결됩니다. 왜냐하면 어쨌든 다음에서는 무한히 작은 고도 차이가 고려되기 때문입니다.

미소한 높이 차이 dh와 결과적인 미소한 압력 변화 dp 사이의 관계에 대해서는 방정식(\ref{a})이 여전히 적용됩니다:

\begin{정렬}
\라벨{c}
&\boxed{\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h} \\[5px]
\end{정렬}

변수 p와 관련된 미분 dp는 이제 등호 왼쪽으로 재배열되어 두 관련 변수 모두 방정식 오른쪽의 미분 dh와 완전히 분리됩니다(변수 분리라고 함).

\begin{정렬}
&\frac{1}{p} ~ \text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
\end{정렬}

이제 방정식의 양쪽이 해당 한계 내에서 통합되어야 합니다. 고도 h0의 주어진 압력 p0에서 시작하여 모든 고도 h에서의 압력 p는 아래 공식을 사용하여 결정할 수 있습니다. 온도, 중력 가속도 및 특정 가스 상수는 상수로 가정됩니다.

\begin{정렬}
&\int_{p_0}^{p}\frac{1}{p} ~ \text{d}p =\int_{h_0}^h-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \text{d} h \\[5px]
&\int_{p_0}^{p}\frac{1}{p} ~ \text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \int_{h_0}^h \text{d} h \\[5px]
&\left[\ln{\left(p\right)}\right]_{p_0}^p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \left[~h~\right]_{h_0}^{h}\\[5px]
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \underbrace{\left(h-h_0\right)}_{\Delta h}\\[5px]
\end{정렬}

고도 h(압력 p가 결정되는)와 초기 고도 h0(초기 압력 p0이 존재하는 고도) 사이의 차이는 고도 Δh의 변화에 해당합니다.

\begin{정렬}
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} \\[5px]
\end{정렬}

방정식의 왼쪽도 약간 재배열될 수 있습니다. 알고리즘 동일성으로 인해 두 로그 수량 간의 차이는 이러한 수량의 로그 지수로 표현될 수도 있습니다 [ln(a)-ln(b)=ln(a/b)]:

\begin{정렬}
&\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}=-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} \\[5px]
\end{정렬}

압력 p에 관한 이 방정식을 풀기 위해 방정식의 양쪽을 지수 함수의 지수에 넣습니다.

\begin{정렬}
&\text{e}^{\Large{\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}}}=\text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} }}\\[5px]
\end{정렬}

자연 로그(“ln”)는 지수 함수의 역함수이므로 일반적으로 다음 관계가 적용됩니다:eln(a)=a. 따라서 위 방정식의 왼쪽 변은 몫 p/p0에 해당합니다. 이러한 방식으로, 기준 레벨 위의 주어진 높이 Δh에서의 압력 p는 기준 압력 p0으로 계산될 수 있습니다.

\begin{정렬}
&\frac{p}{p_0}=\text{e}^{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} }\\[5px]
\라벨{바}
&\boxed{p(\Delta h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}}} ~~~~\text{기압 공식} \\[5px]
\end{정렬}

이 공식은 최종적으로 기압 공식이라고 불립니다. 알려진 압력 p0를 사용하여 기준 레벨 위의 고도 Δh의 함수로 압력 p를 나타냅니다. 공식(\ref{a})과 비교하여 기압 공식은 더 큰 고도에서 더 높은 정확도를 제공합니다. 그러나 이 공식은 온도와 중력 가속도가 고도나 특정 기체 상수(즉, 대기의 구성)에 따라 변하지 않는다는 가정에서 파생되었다는 점에도 유의해야 합니다. 따라서 엄밀히 말하면 이 공식은 이러한 조건이 대략적으로 충족되는 작은 고도에만 유효합니다.

해수면 기준 p0=1.013bar(h0=0), 온도 T0=288K(15°C), 특정 기체 상수 Rs=287J(kg⋅K)에서 고도 3km 이하의 표준 대기와 비교한 기압 공식의 편차는 최대 1%입니다. 고도 6km에서 편차는 약 5%로 증가하고 계속해서 증가합니다. 12km 고도에서 편차는 약 27%에 이릅니다. 편차는 주로 고려되지 않은 온도 변화로 인해 발생합니다.

기압 공식은 온도뿐만 아니라 기준 수준의 밀도로도 표현할 수 있습니다. 이를 위해 기압 공식(\ref{bar})의 특정 기체 상수와 온도의 곱은 이상 기체 법칙(\ref{bar})에 따른 압력과 밀도의 몫으로 대체됩니다.

\begin{정렬}
&p=R_s \cdot \rho \cdot T \\[5px]
&p_0=R_s \cdot \rho_0 \cdot T \\[5px]
&\underline{R_s \cdot T =\frac{p_0}{\rho_0}} \\[5px]
\end{정렬}

이 표현식은 방정식(\ref{bar})에 사용됩니다:

\begin{정렬}
&p=p_0 \cdot \text{e}^{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}} ~~~~~\text{mit}~R_s \cdot T =\frac{p_0}{\rho_0} ~\text{folgt:} \\[5px]
\라벨{bar2}
&\boxed{p(\Delta h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \rho_0 \cdot \Delta h}{p_0}}}} ~~~~\text{기압 공식} \\[5px]
\end{정렬}

고도변화와 밀도의 관계

방정식 (\ref{rho})에 따른 밀도는 압력과 직접적으로 관련되어 있으므로 고도가 증가함에 따라 밀도가 감소하는 것도 기압 공식을 사용하여 결정할 수 있습니다. 이를 위해 방정식(\ref{rho})에는 기압 공식(\ref{bar})이 사용됩니다.

\begin{정렬}
\라벨{x}
&\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T}\\[5px]
\라벨{y}
&\rho(\Delta h)=\frac{p(\Delta h)}{ R_s \cdot T}=\frac{ p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}} }{ R_s \cdot T}=\underbrace{\frac{p_0}{ R_s \cdot T}}_{\rho_0} \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}} \\[5px]
\라벨{z}
&\boxed{\rho(\Delta h)=\rho_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}}} \\[5px]
\end{정렬}

방정식 (\ref{y})에서 방정식 (\ref{x})에 따른 항 p0/(Rs⋅T)는 기준 수준의 밀도 ϱ0에 해당하는 것으로 사용되었습니다. 마찬가지로 방정식(\ref{z})의 Rs⋅T 항은 p0/ϱ0으로 대체될 수 있습니다.

\begin{정렬}
&\boxed{\rho(\Delta h)=\rho_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \rho_0 \cdot \Delta h}{p_0}}}} \\[5px]
\end{정렬}

기압 공식에 따른 밀도 과정을 표준 대기의 밀도 과정과 비교하면 특히 3km 미만의 고도에서 최대 7%의 더 큰 편차가 관찰될 수 있습니다. 이러한 상대적으로 큰 편차는 온도로 인해 발생하며 온도는 일정하다고 가정하지만 실제로는 온도가 감소하여 밀도에 큰 영향을 미칩니다. 고도가 증가함에 따라 밀도 계산의 기초가 되는 압력 계산 시 발생한 오류는 일정하지 않은 온도로 인한 편차를 보상합니다. 표준 대기와 밀도의 최대 편차는 고도 9km에서 10%이며 이후 다시 감소합니다.

기압 공식과 정수압 방정식

비압축성 액체에 대한 정수압 방정식과 유사하게 압축성 기체에 대한 기압 공식을 고려할 수 있습니다. 액체 표면으로부터 깊이가 깊어질수록 위의 액체 층으로 인해 압력이 점점 더 증가합니다. 마찬가지로, 높은 고도에서 지구 표면으로 이동할 때 대기압이 증가합니다. 우리는 말하자면 “공기의 바다” 밑바닥에 살고 있습니다. 대기의 가스와 바다의 액체의 유일한 차이점은 액체는 압축될 수 없다는 점입니다. 이는 액체의 압력은 밀도의 증가 없이 (거의) 증가하는 반면, 기체의 경우 압력이 증가함에 따라 밀도도 증가한다는 것을 의미합니다.

비압축성 유체에 대한 정수압 방정식은 이전 고려 사항에서 파생될 수도 있습니다. 이 목적을 위해 방정식(\ref{dp})은 무한한 변화에 사용됩니다. 그러면 이 방정식은 일정한 밀도 ϱ의 가정과 통합될 수 있습니다.

실제적인 이유로 액체의 바닥이 아닌 액체 표면을 기준 레벨로 간주합니다. 따라서 적분 한계는 주변 압력 p0이 적용되는 액체 표면 h=0을 기준으로 하며 액체 압력 p가 결정되는 깊이 h까지 내려갑니다.

\begin{정렬}
\text{d}p &=\rho \cdot g \cdot \text{d} h \\[5px]
\int_{p_0}^{p} ~ \text{d}p &=\rho \cdot g \cdot \int_{0}^{h} \text{d} h \\[5px]
\left[p\right]_{p_0}^{p} &=\rho \cdot g \cdot \left[h\right]_{0}^{h} \\[5px]
\left[p-p_0\right] &=\rho \cdot g \cdot \left[h-0\right] \\[5px]
\underbrace{p}_{\text{총 압력}} &=\underbrace{p_0}_{\text{주변 압력}} + \underbrace{\rho \cdot g \cdot h}_{\text{정수압}}
\end{정렬}

\begin{정렬}
\boxed{p=p_0 + \rho g h} ~~~~\text{유체정역학 방정식}\\[5px]
\end{정렬}

파생된 정수압 방정식은 액체의 압력이 주변 압력과 정수압의 합으로 인해 발생함을 나타냅니다.